全等三角形的模型

1、全等三角形的 经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短三角形8级全等三角形的经典模型（一三角形9级全等三角形的经典模型（二）漫画释义j I作弊?等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（ AC=BC或90° 45 ,45）.如图1 ；常见辅助线为作高，禾U用三线合一的性质解决问题如图2；BBAC 90° O为BC的中点,典题精练【例1】 已知：如图所示，RtA ABC中，AB=AC,写出点O到厶ABC的三个顶点 A、B、C的距离的关系（不要 求证明）如果点M、N分别在线段 AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM试判断 OMN的形状，并证明你的结论 .如果点M

2、、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中 保持AN=CM，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明.M【解析】OA=OB=OC连接OA,/ OA=OC BAO C 45° AN = CM ANO N CMOON = OM NOAMOC NOABONMOC BON 90 NOM 90 OMN是等腰直角三角形厶ONM依然为等腰直角三角形，证明：/ BAC=90° , AB=AC, O 为 BC 中点/ BAO=Z OAC=Z ABC=Z ACB=45° , AO=BO= OC,MC在 ANO和厶CMO中， ANOCMO (SAS) ON=OM, / AON

3、=Z COM,又/ COM / AOM =90° , OMN为等腰直角三角形.【例2】两个全等的含30° , 60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置， 巳A,C三点在一条直线上，连接 BD，取BD的 中点M ,连接ME , MC 试判断 EMC的形状，并说明理由.【解析】 EMC是等腰直角三角形.证明：连接AM 由题意，得 DAB为等腰直角三角形/ DM MB , MA MB DM , MDA MAB 45° MDE MAC 105° , EDM CAM EM MC, DME AMC 又 EMCEMA AMC EMA DME 90&

4、#176; CM EM , EMC是等腰直角三角形.【例3】【解析】点，AF求证：BD于E，交BC于F，连接DF .ADBCDF .证法一：如图，过点A作AN BC于N，交BD于M/ ABAC ,BAC90° , 3DAM45°./ C45° , 3C ./ AFBD ,1BAE 90°BAC 90°, 2BAE 90° . 12 .已知：如图， ABC中，AB AC , BAC 90° D是AC的中C ADB CDF .【例4】 如图，等腰直角 ABC中，AC90° , P ABC内部一点，满足【解析】PB PC

5、 , AP AC , 补全正方形ACBD , 易证 ADP是等【探究对象】等 在解有关等腰 复杂时，可将PC求证：BCP 15 .连接DP,边三角形,DAP60 , BAD45 ,BAP15 ,PAC 30 , ACP 75 ,BCP15 .BC , ACBA腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型直角三角形中的一些问题， 若遇到不易解决或解法比较 等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形在 ABM和 CAF中， ABM CAF . AM CF .在 ADM和 CDF中， ADM CDF . ADB CDF .证法二：如图，作 CM AC交AF的延长线于 M ./ AF BD , 329

6、0° ,BAC 90° , 12 90° 13.在 ACM和 BAD中， ACM BAD .M ADB, AD CM AD DC , CM CD .在 CMF和 CDF中， CMF 也厶 CDF . M CDF4为求角度的应用,的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例 其他应用探究如下:【探究一】证角等【备选1】如图，RtA ABC中，/ BAC=90°,AB=AC, M为AC中点，连结BM,作AD丄BM 交BC于点D,连结 DM，求证：/AMB= / CMD.【解析】 作等腰Rt ABC关于BC对称的等腰 Rt BFC,延长AD交

7、CF于点N,/ AN丄BM,由正方形的性质，可得 AN=BM,易证 Rt ABMB Rt CAN, /AMB=Z CND, CN=AM ,/ M 为 AC 中点， CM = CN,/ 1 = Z2，可证得 CMD也厶 CND,/ CND=/ CMD, / AMB=/ CMD.【探究二】判定三角形形状【备选 2】如图，RtA ABC 中，/ BAC=90°, AB=AC, AD= CE AN 丄 BD 于点 M，延长 BD 交NE的延长线于点 F,试判定 DEF的形状.【解析】 作等腰Rt ABC关于BC对称的等腰 Rt BHC, 可知四边形 ABHC为正方形，延长 AN交HC于点K,

8、/ AK丄 BD,可知 AK=BD,易证：Rt ABD Rt CAK,/ ADB=Z CKN, CK=AD, AD=EC, CK=CE易证 CKNY CEN, / CKN=Z CEN,易证/ EDF=Z DEF,DEF为等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图，RtA ABC 中，/ A=90°,AB=AC, D 为 BC上一点，DE/ AC, DF/ AB,且 BE=4 , CF=3，求 S 矩形DFAE.【解析】作等腰Rt ABC关于BC的对称的等腰 Rt GCB,可知四边形 ABGC为正方形，分别延长 FD ED交BG、CG于点N、M,可知 DN=EB=4 ,

9、DM= FC=3 ,由正方形对称性质，可知 S矩形 DFAE= S 矩形 DMGN = DM DN=34=12 .【探究四】求线段长【备选4】如图， ABC中，AD丄BC于点D, / BAC=45°, BD=3 , CD=2，求AD的长.【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但/ BAC=45° ,若分别以AB AC为对称轴作RtADB的对称直角三角形和 RtADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等 且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正 方形.【解析】

10、以AB为轴作Rt ADB的对称的RtAEB,再以AC为轴作Rt ADC的对称的 Rt AFC.可知 BE= BD=3 , FC=CD=2 ,延长 EB FC交点 G, / BAC=45° ,由对称性，可得 / EAF=90° ,且AE=AD=AF,易证四边形AFGE为正方形，且边长等于 AD,设 AD=x，贝U BG=x- 3, CG=x 2,在Rt BCG中，由勾股定理，得 x 2 x 352,解得x=6，即AD=6 .【探究五】求最小值【备选5】如图，RtA ABC中，/ ACB=90°, AC=BC=4 , M为AC的中点，P为斜边 AB上 的动点，求PM+

11、 PC的最小值.【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtACB关于AB对称的Rt ADB,可知四边形 ACBD为正方形，连接 CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交 AB于点P,连接CP,则PM+ PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM= 42222.5.思路导航例题精讲EEEEEAAAC ABC CDE90AC 丄 CiE典题精练求角形DCA21EB题型二：三垂直模型1 EDC1EACBACBC1ED0, 10 ,8, 4，点 C 在第CiB D在直角三y)C1EDDC1E 90B C1 D C常见三垂直模型B C1D (C)F【引例】已知AB丄BD, ED丄BD, A

12、B=CD, BC=DE,求证若将 CDE沿CB方向平移得到 等不同情形AC 丄 CE;AB CQ其余条件不变，试判断 AC丄CE这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由A/I2BC DBCi C D【解析】 AB丄BD, ED± BD B D 90 在厶ABC与 CDE中 ABCCDE ( SAS)/2 E 90 ACE 90，即 AC丄 CE图四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为正方形边长及顶点C的坐标.(计算应用 中，两条直角边的平方和等于斜边的平方【解析】 过点C作CG丄x轴于G,过B作BE1

13、y轴于E,并反向延长交 CG于F点A、B的坐标分别为 0,10 ,8 , 4 BE=8，AE=6， AB=10四边形 ABCD是正方形， AB= BC13 9023 90- AEB BFC 90 AEBA BFC【点评】【例6】 CF=BE=8 , BF=AE=6 CG=12EF=14C(14 , 12)，正方形的边长为 10 此题中三垂直模型： 如图所示，在直角梯ABC 90 ,形ABCD中,AD / BC ,【解析】AB BC , E 是 AB 的中点，CE BD . 求证：BE AD ;求证：AC是线段ED的垂直平分线； DBC是等腰三角形吗？请说明理由. ABC 90 , BD EC

14、,B ECBDBC90 , ABDDBC90 , ECB ABD ,/ABCDAB90 , AB BC, BAD 也厶 CBE , AD BE . E是AB中点， EB EA由得：AD BE , AE ADACB 45 ,DACEM MD , AM DE/ AD / BC , CADT BAC 45 , - BAC由等腰三角形的性质，得： 即AC是线段ED的垂直平分线. DBC是等腰三角形，CD BD由得：CD CE ,由得：CE BD CD BD , DBC是等腰三角形.【例7】【解析】如图1, ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且 BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你

15、补全图形，并直接写出 / APD的度数=;如图 2 , Rt ABC 中，/ B=90° ,M、N 分别是 AB BC 上的点，且 AM=BCBM=CN , 连接AN、CM相交于点P.请你猜想/ APM=°,并写出你的推理过程.(2013平谷一模) 图略，60°45°证明：作 AE丄AB且AE CN BM .可证 EAM也 MBC - ME MC , AME BCM .CMB MCB 90 , CMB AME 90 .EMC 90 . EMC是等腰直角三角形，MCE 45 . 又厶 AE3A CAN (SAS)ECA NAC. EC/ AN.45 ./思

16、维拓展训练（选讲）训练h 已知：如图， abc中，AC= BC, aCB 90 , D是AC上一点，AE丄BD的延 1E,并且AEBD，求证：BD平分 ABC .长线于【解析】延长AE交BC的延长线于F1- AE - AF EF2 BE是AF的中垂线 BD平分 ABC训练2. 已知，在正方形 ABCD中，E在BD上，DG丄CE于G，DG交AC于F.求证：OE=OF 【解析】/ ABCD是正方形 OD=OC DOC 90DG 丄 CE. DGC 90DOCDGC / OFD GFCBA=BF ODF ECO在厶DOF和厶COE中，C DOFA COE ( ASA) OE=OF训练3.已知：如图,

17、G .求证：【解析】 AB AC ABC 中，AB AC , BAC 90° D 是 BC 的中点，AF BE 于DH AD=BD=CD, ADB 90/ AF BEDFBAC 90° D是BC的中点AD 丄 BCD FAGH 90 APM ECMDBE DAF在厶BDH和厶ADF中, BDHA ADF (ASA)DH=DF训练4. 如图，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFL EC,且EF=EC,DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长. 【解析】 在 Rt AEF和 Rt DEC 中，/ EFL CE,FEC=90° ,

18、/ AEF+Z DEC=90° ,而 / ECC+Z DEC=90° ,/ AEF=Z ECD.又 Z FAE=Z EDC=90° . EF=EC Rt AEF Rt DCE. AE= CD. AD= AE+4 .矩形ABCD的周长为32 cm ,【练习1】如图， ACB、A ECD均为等腰直角三角形，则图中与 2 (AE+ AE+4 ) =32 .BDC全等的三角形为【解析】 AEC【练习2如图，已知 Rt ABC中 ACB 90° AC BC , D是BC的中点，CE AD ,垂足为E . BF / AC ,交CE的延长线于点 F .求证：AC 2B

19、F .【解析I ACB 90 ° , BF / AC , ACD CBF 90° ,ADC CAD 90° . CE AD ,FCB ADC 90° ,CAD FCB .又 AC CB , ADC CFB . DC FB . D是BC的中点， BC 2BF ,即 AC 2BF .题型二三垂直模型巩固练习【练习3 已知：如图，四边形 ABCD是矩形（AD>AB）,点E在BC上，且AE=AD, DF 丄AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予 证明.【解析经探求，结论是：DF=AB.证明如下：四边形ABCD是矩形,B= 9

20、0°, AD / BC,/ DAF=Z AEB DF丄 AE, / AFD= 90°,/ AE=AD, ABE 刍DFA . AB=DF.【练习4】如图， ABC中，AC BC , BCA 90° , D是AB上任意一点,AE CD交CD延长线于E， BF CD于F .求证：EF BF AE .【解析】根据条件， ACE、 CBF都与 BCF互余， ACE CBF .在 ACE和ACBF中，AC CB , AEC CFB 90° , ACE CBF .则 CE BF , AE CF , EF CE CF BF AE .【练习5】四边形ABCD是正方形.如图1,点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG,作BF丄AG 于点F, DE丄AG于点E.求证： ABFA DAE;在中，线段 EF与AF、BF的等量关系是（直接写出结论即可，不需要证明 ）;如图2,点G是CD边上任意一点（不与C、D两点重合），连接AG,作BF丄AG于点F, DE丄AG于点E.那么图中全等三角形是，线段EF