MATLAB在非线性曲线拟合中的应用研究

1、MATLAB在非线性曲线拟合中的应用小结摘要：归纳总结了非线性曲线拟合的方法、求解步骤和上机操作过程关键词:曲线拟合非线性MAT L AB正文：1. 曲线拟合的基本原理已知一组测定的数据（例如N个点（xi,yi）去求得自变量x和因变量y的一个近似解 析表达式y=p（ x ）。若记误差6 i寿（xi） -yi, i=l, 2，N,则要使误差的平方和最小, 即要求：N =rr-1为最小，这就是常用的最小二乘法原理。2 .MATLAB曲线拟合的相关方法2. 1.函数形式：多项式拟合函数po 1 y f i t,调用格式为：p = polyfit （x, y,n）其中x, y为参与曲线拟合的实验数据小

2、为拟合多项式的次数，函数返回值为拟合多项 式的系数（按降幕排列）。n= 1时，就为线性拟合。例1：给出表1数据，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。表1 数据X-1.00-0.75O 500.2500.250.500.751.00y-0 2 2090. 3 2 950.88 261.43922 0 0032.5 6 453. 13343.70614. 2836在MATLAB命令窗口中输入：cle a r；cl o s e ；x=-1:0.25： 1;y=-0.2209, 0 .3 2 95, 0 .8826, 1 .4392,2.0 0 03, 2.5 645, 3.1 3 34,3.7 0

3、 61,4. 2836 pl=po 1 yfit(x,y, I)p2 = po 1 yf i t(x,y,2)y 1 =polyva 1 (p 1 ,x)；y 2 =p o ly v al(p2, x );pl o t( xy 1； r :, x, y2 J kJ )运行结果:360.5O.&08q B -0.62.521.6拟合多项式为:y*=2. 0516+2.0 1 3 1 和 y 法=0. 0 3 13 x 2 +2.25 1 6x+2. 20001(2)非线性数据拟合函数lsq c u r vefit调用格式为：c=ls q cur v efi (t f u n ,x0, xdata

4、,yd a ta)其中f ud为拟合函数的M-函数文件名，x 0为初始向量,xdata, ydat a为参与曲线拟合 的实验数据。函数返回值c为非线性函数fun的拟合系数。例2： 2 004年全国大学生数学建模竞赛C题(酒后驾车)中给出某人在短时间内喝下两瓶 啤酒后，间隔一定的时间测量他的血液中酒精含量y (毫克/白毫升)，得到数据如表2。表2 酒精含量与饮酒时间的实验数据时间(小时)0.25050.7511.522 . 533.541 .55酒精含量306875828277686858515 041时间(小时)6789116酒精含量383528251 81 51 21 0774通过建立微分方

5、程模型得到短时间内喝酒后血液中酒精浓度与时间的关系为：y = c1 (小-严)(2)根据实验数据，利用非线性拟合函数lsq c urve f it,确定模型(2)式中的参数c 1 , c2,c3。求解过程为：先编写一个M-函数文件Example2_l:f un c t ion f=Ex a mple2_ 1 (c,td a ta)f=c(l) *(ex p (-c( 2 )*t d a t a )exp (-c(3)*t data);保存后，在命令窗口中输入：clea rtdata= 0 .25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 33. 5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11

6、1213 14 1516;y d a t a= 3 0 68 75 82 8 2 7 7 68 68 58 51 5 0 41 38 352 8 25 8 1 512 1 077 4 ；cO= 1 11;fo r i = 1 :50：c = lsqciirvefit(*Exampl e 2 _ 1 cO,tdata,ydata);cO=c;得到最优解为:c= 117.0 5, 0 .1930, 1.954 6从而得出拟合曲线: =11705（/9酣_亦钿） 2. 2 图形窗口形式（1）利用多项式拟合的交互图命令（GUI）polytool,调用格式为：polytoo （lx,y） 其中x,y分别

7、为实验数据构成的向量，例如利用po 1 y t o o 1求解例1的MATLAB命令 如下：x=- 1 : 0.25:1 y=-0.2209, 0 3 29 5 ,0.8826. 1 .439220 003 ,2.564 5 ,3 1 334,3.7061, 4 2 836; po 1 y t ool（ x , y ）打开多项式拟合的交互式界面，山于要拟合的函数为线性函数，因此在多项式拟合交互 式界面中的Degre e中输入1,点击导出数据Expor t，出现保存对话框E xport t oWor k spa ce,选中 P a r a me t ers（参数）,R e sidua 1 s（残

8、差）后点击 OK ,在 MATLAB 的 Wo r ksp a c e窗口中可以看到参数为:2.251 6和2.0 13 1,即拟合函数为Y* = 2.2516x+2. 01 3 1 o同样如果拟合的函数为二次函数，则只要在Degree中输入2 ,其它步骤相同，可得拟合 函数为：Y*=0.03 I 3x2+2.2516x+ 2 . 00 0 1通过查看Res i d ual s （残差）值，可以发现二次函数拟合的残差值比线性函数的要小一 些，从拟合的效果看，可以选择二次函数作为拟合函数，但由于线性函数较简单，残差值也 很小，从简单出发，也可选择线性函数作为拟合函数。（2）基本拟合界面MATLA

9、B提供了一个方便简洁的拟合界面。具有拟合快速和操作简便的优势,只能拟 合多项式。例如用基本拟合界面求解例1的过程如下：clear;close;x = -l: 0 . 25:1;y=- 0 .2209,0.3 2 9 5,0. 8826, 1 .4392, 2. 00 03,2.5645, 3.1 3 34, 3.706 1 , 4.2836;P 1 Ot (x,y,屮); 运行结果：Lin ear: norm of residuals = 0.034364 Quadratic: norm of residuals = 0.00132690.20.10-0.10.2-1-0.8-0.6-0.4-

10、0.200.20.40.60.81在散点图的图形窗口上分别点击菜单档中的To o IsBa s ic F itting,在Plots Fit s中 分别选中 1 i n ear、qua d r a tic、Show equations、plot residua 1 s、show no r m o f r e sid u a 1 s,所得拟合直线方程为：y *=2.3x+2;拟合二次多项式为：Y*=0 . 03 1 x2 +2.3x+2(3)曲线拟合工具界面c fto o 1曲线拟合工具界面cftool是一个可视化的图形界面，具有强大的图形拟合功能，下面通过 一个具体例子来介绍cf t o o

11、1的用法。例3某生化系学生为研究嚓吟霉素在某项酶促反应中对反应速度与底物浓度之间关系的影 响，设计了一个实验,所得的实验数据见表3。根据问题的背景和数据建立一个合适的数学模 型，来反映这项酶促反应的速度与底物浓度之间的关系。表3噪吟霉素实验中的反应速度与底物浓度数据底物浓度(p P m)x0. 020060丨0.220.5 6110反应速度y7 6479711 521 9120120720 0酶促反应的速度y与底物浓度x之间的关系可用下面两个简单模型描述:Mic h aeli s -Menten 模型:y=f(x, B :心指数增长模型:y=f(x, p)=Pi (1- e p,x )(5)使

12、用曲线拟合工具界面eft。1来确定模型(4)和(5)中的参数，并比较模型(4)、(5 )的 拟合效果。在MATL AB命令窗口中输入以下语句：cl e a r;clos e ；x= 0.0 2 0. 0 2 0. 0 6 0. 06 00.110 .2 2 0.22 0.56 0.56 1.1 0 1. 1 0;y=76 47 97 1 0 7 123 1 39 1 59 1 5 2 191 2 01 20 7 200;c fto o l(x,y);在C u rve F i t t i ng T o o 1 对话框中单击Fitti ng,打开Fitting对话 框，点击Newfit,在Fit

13、N a me:中输入有理函数，在Typeof fit中选中Rational，f ,在Numerator中选中linear po 1 ynom i a 1 ,在D e nom i na t or中选中1 i nc a r polynom i al ”然后点击Apply,完成有理函数拟 合。然后，再次点击New fit,在Fit Name:中输入指数函数，在Type of fit中选中Cu s tom Equation，点击New e quation 7，打开用户自定义方程对话 框,点击G e neral Eq u a t i on ，在E q u a tion中输入y=a*(l-e x p(b*

14、x), 点击Ok后回到拟合窗口,点击Apply ，完成指数函数拟合，参数计算结果见表4。表4 模型(4)、(5)计算结果Table of FitsFi tsetEquationSSE 有理函数y vs. xRtll19209.1017415. 指数函数y vs xa*(-b*x)3041.55299481. 拟合图为:通过表 4 可以看出，有理函数(Mic h ae 1 is-Menten 模型)y s =2 2 1. 7x+3.318x+0. 1 0 47拟合剩余标准差较小，R- square较大(越接近1越好)，故用有理函数y s =2 2 1 .7 x +3.318x+O. 1 047拟合数据比用指数函数ys =192. 1 (1-e-l 1. 3 8 x)拟合的效果好。 3结束语利用MATLAB的绘图功能和曲线拟合功能，可以很方便地进行多项式拟合和其它非 线性曲线拟合，并