所有三角函数公式

1、所有三角函数公式Document serial number KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一的值相等:sin (2k n + a ) =sina (kGZ)cos (2k n + a ) =cos Q (k£Z)tan (2k n + a )=cot (2k n + a )二=tan a (keZ)= cot a (k£Z)公式二：设a为任意角，H+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin ( n + a )=" cos ( n + a )=-sin a

2、-cos atan ( n + a ) =tan Qcot ( it + Q ) =cot Q公式三：任意角Q与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a ) = sin Qcos ( a ) =cos Qtan ( a ) = tan Qcot ( a ) = cot Q公式四：利用公式二和公式三可以得到兀-。与a的三角函数值之间的关系: sin ( n a ) =sin acos ( Ji a )=- tan ( n a )=- cot ( n a )=- 公式五：-COS Q-tan a-cot a利用公式一和公式三可以得到2冗-。与a的三角函数值之间的关系:sin (2 n a ) =

3、 sin acos (2 n a ) =cos atan (2 n a ) =tanacot (2 n a ) =cot a公式六：冗/2土。及3八/2±。与a的三角函数值之间的关系：sin ( n /2+ a ) =cos acos ( n /2+ a ) = sinatan ( n /2 + a )二 cot ( n /2+ a )二=cot Q二一 tan asin ( n /2 a )= COS Qcos ( n /2 a )= sin Qtan ( n /2 a )= cot Qcot ( ji /2 a )= tan Qsin (3 Ji /2+ a)=cos acos

4、(3 Ji /2+ a)=sin atan (3 n /2+ a)=cot acot (3 n /2+ a)=tanasin ( 3 n /2 a)=cos acos ( 3 n /2 Q)=sin atan ( 3 n /2 Q)=cot acot (3 n /2 Q)=tana(以上kez)注意：在做题时,将a看成来做会比较好做诱导公式记忆口诀上面这些诱导公式可以概括为：对于n/2*k ± a (k£Z)的三角函数值，当k是时，得到a的同名函数值，即函数名不改变；当k是时，得到a相应的余函数值，即sin-*cos ; cosf sin; tanf cot, c ot-*

5、tan.(奇变偶不变)然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)例如：sin(2 Ji a ) =sin(4 n/2a), k = 4 为偶数，所以取 sina。当 a 是锐角时，2 n - a 6(270° , 360° ), sin(2n a) V0,符号为 u _ ”o所以 sin(2 n a ) = sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看。公式右边的符号为把a视为锐角时，角k- 360° +a (kez) , -a、180° ± a , 3600 -a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。

6、#各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正 弦(余割)；三两切;四余弦(正割)”.这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ + ”； 第二象限内只有正弦是“ + ”，其余全部是“一”； 第三象限内切函数是“ + ”，弦函数是“一”； 第四象限内只有余弦是“ 十 ”，其余全部是“一”.上述记忆口诀，一全正，二，三内切，四#还有一种按照函数类型分象限定正负：类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦+-余弦+-+正切+余切+同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式关系：tan。 cot a =1sin a esc Q = 1cos a

7、 sec a =1商的关系：sin a /cos a =tan a =sec Q /esc a cos a /sin a =cot a =csc a /sec a 关系：sin-2( a ) + cos'2( a ) =1l + tan2 ( a ) =sec2( Q )l + cot-2 ( a ) =csc'2( a )两角和差公式两角和与差的sinsina + B) =sin Q cos B+cos Q sin 6QB) = sin a cos P cos a sin P cos ( Q + B ) =cos Q cos P sin a sin 0 cos ( a P )

8、 =cos o cos P +sin a sin Ptan ( a + B ) = (tan a +tan B ) / (1 -tan Q tan B )tan ( q B ) = (tan Q tan P ) / (l+tan Q tan B )二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升暴缩角公式)sin2 Q =2sin Q cos Qcos2 a =cos-2( Q ) sir/2 ( Q ) =2cos-2 ( a ) 1 = 1 2sin2 ( a )tan2 Q =2tan a /l tan2(a )半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(扩角公式)sin"2(a /2) =

9、 (1 cos。)/ 2cos'2 ( a /2) = (1+cos a ) / 2tan"2 ( Q /2) = (1cos Q ) / (1 + cos a )另也有 tan( Q /2) = (1 cos a )/sin a =sin a / (1+cos Q )万能公式万能公式sin a =2tan(a /2)/l+tan*2(a /2)cos a =l-tan"2 ( Q /2) / l+tan2 ( a /2) tana =2tan( a /2)/1 -tar/2( Q /2)万能公式推导附推导：sin2 Q 二2 sin a cos a =2sin a

10、 cos a / (cos-2 ( a ) +sin2 ( a )*,(因为 co因2( a )+si为2( a )=1)再把*分式上下同除 cos-2 ( « ),可得 sin2 a =2tan a / (1 + tan-2 ( a ) 然后用a/2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角推导可借助二倍角公式，可以自行证明三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 Q =3sin a 4sirT3(Q )cos3 Q =4cos"3 ( a ) 3cos atan3 Q = 3tan Q tan3 ( a ) / 1 3tan2

11、 ( a )三倍角公式推导附推导:tan3 Q =sin3 Q /cos3 Q=(sin2 Q cos a +cos2 a sin a ) / (cos2 a cos a -sin2 a sin a )=(2sin a cos"2 ( a ) +cos"2( a ) sin a sin3 ( a )/(cos"3( a ) cos Q s in 2 ( a ) 2sir/2(a ) cos a )上下同除以cos-3(a),得：tan3 Q = (3tan Q tan 八 3(。)/ (1 -3 tan”( a )sin3 a =sin(2 a +。)=sin2

12、a cos Q +cos2 Q sin Q=2s in a cos2( a ) + (1 2s in -2(。) sin a= 2sin a 2sin3 ( a ) +sin a 2sin-3(Q )= 3sin a 4sin-3 ( a )cos3 Q =cos (2 Q + a ) =cos2 a cos Q sin2 Q sin Q=(2cos"2 ( a ) 1) cos Q 2cos a sin"2 ( a )= 2cos"3 ( a ) cos Q + (2cos Q 2cos3 ( a )= 4cos3 ( a ) 3cos a即sin3 a =3s

13、in a 4sin"3 ( a )cos3 Q =4cos"3 ( a ) 3cos a和差化积公式三角函数的公式sin a +sinP=2sin (Q+ B )/2, cos ( aB )/2sin a sinP=2cos (a+ B )/2, sin ( aP )/2cos a +cosP=2cos (a+ P )/2, cos ( QB )/2cos a cosB= -2sin(a + P )/2 sin (a P )/2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin a,cosP=0. 5 sin( a+ B)+sin(aP )cos asinP=0. 5 sin( a+

14、 P ) sin( aP )cos acosB=0. 5 cos ( Q+ B ) +cos (aP )sin asinB= 0. 5cos (a + B ) cos (a P )和差化积公式推导首先，我们知道 sin(a+b) =sina*cosb+cosa*sinb, sin(a-b) =sina*cosb-cos a*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b) +sin(a-b) =2sina*cosb所以，sina*cosb= (sin(a+b) +sin(a-b)/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb= (sin(a+b) -sin(a-b)/2同样的，我们还知道 cos

15、 (a+b) =cosa*cosb-sina*sinb, cos (a-b) =cosa*cosb+sina*sinb所以，把两式相加,我们就可以得到cos (a+b) +cos (a-b) =2cosa*cosb所以我们就得到，cosa*cosb=(cos (a+b) +cos (a-b) /2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=- (cos (a+b) -cos (a-b) /2这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积 的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x, a-b设为y,那么a=(x+y)/2, b= (x-y)/2 把a, b分别用x, y表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx