-元二次方程知识重点

1、资料一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式：a却时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关 问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c；其中a、 b,、c可能是具 体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用 范围较小；公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误；因式分解法适用范围较大,且计算简 便,是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式：当ax,bx+c=0 (a却)时,&b 2-4ac叫一元二次方程根的判别

2、式.请注意以下 等价命题：A> 0 <=> 有两个不等的实根；A=0 <=> 有两个相等的实根；A< 0 <=> 无实根；AR <=> 有两个实根(等或不等).一b 二.b2 -4ac1 x1,2 = 2aX 5 .当 ax2+bx+c=0a 却以下等价关系要求会用公式4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0(a却)时,如AR,有以下公式：bc;(2) xi +x2 = ,x1x2 =一.aa时,有以下等价命题：bcxi +x2 =一一,x1x2 =- ； A=b2-4ac 分析,不要求背记) aa(1)两根互为相反数 =

3、 -=0且AR U b = 0且AR;ac (2)两根互为倒数 U - =1且AR U a = c且AR;a(3)只有一个零根 u - = 0且一2刈 u c = 0且b却； aa(4)有两个零根 U - = 0且3=0 u c = 0且b=0 ; aac(5)至少在一*个苓根W =0 U c=0 ；a(6)两根异号 u cv0 U a、c异号；ac 一 b(7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值u 2<0且-口>0= a、c异号且a、b异号； aa(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值u 2<0且-2<0= a、c异号且a、b同号；cb(9)有两个正根 u - &g

4、t;0, b>0且AR u a、c同号,a、b异号且AR;aacb(10)有两个负根 u - >0, bv0且A力 u a、c同号,a、b同号且AR.aa资料6.求根法因式分解二次三项式公式:ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x 2) 或ax2+bx+c= a x-b +<b2 -4ac 1r x2ab b2 4ac2a注意：当AV 0时,二次三项式在实数范围内不能分解.7 .求一元二次方程的公式：x2 - (xi+x2)x + x 1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8 .平均增长率问题应用题的类型题之一(设增长率为x):(1)第一年为a ,第二年为a

5、(1+x),第三年为a(1+x)2.(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.9 .分式方程的解法：两边同乘最简(1)去分母法一一验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母),值00.公分母(2)换元法 俟:：仅兀'验增根代入原方程每个 分母,值¥0. 换兀.10 .二元二次方程组的解法:(1)代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;分解降次法方程组中含有能分解为()()=0的方程；注意: 3 "制应分组为(1 )=0 1(2 )=03)=0<4)=0(1 )J4)；(2)=0、(3)=0几个常见转化:x2 +x2 =(x

6、1+x2 )2 -2x1x2 ;(x1 - x2)2 =(x1x2)2-4x1x2 ;211 2x 2 =(x ) -2;x2 x或x21)2 2;x1x-x2j 1 (x 1 -x2 )2 = j -J(x1 -Xz).(x1x2)2 -4x1x2 (x1 _x2)一 .(x1?2'/、'X2) - 4X1X2(X1 ： X2)(2)1.分类为x1 -x2 =2 和 x1 -x2 =-2(4)x1X1X2-x 2R.两边平方为(x1 -x2)2=4,(1)分类为4=4和)=-X23X1X2(2)两边平方一般不用,由于增加次数.如 x1 =sin A,可推出 x2 +x2 =1

7、.x2 =sin B 且 /A +/B =90 用i,由公式 sin2 A +cos2 A =1, cos A =sin B 注意隐含条件：x1 0, x2 0.资料(5) x1,x2假设为几何图形中线段长 时,可利用图形中的相等关 系(例如几何定理,相似形,面积 等式,公式)推导出含有 Xi , X2的关系式.注意隐含条件:X1 >0, X2 >0.(6)如题目中给出特殊的直 角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比,并且 引入“辅助未知元k.(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值；方程个数比未知数个数少一个时,一 般求不出未知数的值,但

8、总可求出任何两个未知数的关系.解三角形1.三角函数的定义：在RtMBC中,如/C=90° ,那么对sinA=露a二一； c对cosA=蒋b=-； c对a邻btanA=；cotA=.邻/b对a资料ZA0°30°45° -6090°sinA012在T褥 V1cosA1昱 2与120tanA0正 V1后不存在cotA不存在石1收30X 6.函数值的取值范围：在0°90°时正弦函数值范围：0 1;余弦函数值范围：1 0;正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0.7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素,可以“知二

9、可求三,但“知二中至少应该有一个是边.X 8.关于直角三角形的两个公式：RtABC中： 假设/C=90a b -c cr =； R =_ =m22r:内切圆半径,R:外接圆半径,mc:斜边上中线. c9.坡度：i = 1:m = h/l = tan a; 坡角：a.10.方位角:l11 .仰角与俯角:12.解斜三角形：“SAS“SSS"ASA“AAS条件的任意三角形都可以经过“斜化直求资料出其余的边和角.派13.解符合“SSA条件的三角形：假设三角形存在且符合“SSA条件,那么可分三种情况：(1) ZA>90° , 图形唯一可解；(2) “<90° ,

10、 A的对边大于或等于它的邻边,图形唯一可解；(3) ZA<90.,A的对边小于它的邻边,图形分两类可解.14.解三角形的根本思路：(1) “斜化直,一般化特殊 加辅助线的依据；(2)合理设“辅助元k,并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法 转化思想；(3)三角函数的定义,几何定理,公式,相似形等都存在着大量的相等关系,利用其列方程(或方程组) 是解决数学问题的常用方法方程思想.函数及其图象函数根本概念1.函数定义：设在某个变化过程中,有两个变量x,、y,如对x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就 说y是x的函数,x是自变量.X 2.相同函数三个条件：(1)自变量范围相同；(2

11、)函数值范围相同；(3)相同的自变量值所对应的函数值 也相同.X3.函数确实定：对于y=kx2 (k刈),如x是自变量,这个函数是二次函数；如x2是自变量,这个函数是y-+ +一次函数中的正比例函数.4 .平面直角坐标系：(1)平面上点的坐标是一对有序实数,表示为：M (x,y), x叫横坐标,y叫纵坐标;(2) 一点,两轴,(四半轴),四象限,象限中点的坐标符号规律如右图：(3) x轴上的点纵坐标为0, y轴上的点横坐标为0;即“x轴上的点纵为0, y轴上的点横为0 ；反之也 成立；(4)象限角平分线上点M(x,y)的坐标特征：x=y <=> M在一三象限角平分线上；x=-y &

12、lt;=> M在二四象限角平分线上.(5)对称两点M(x1,y1), N(x2,y2)的坐标特征：y1 pxoaM o N"Q关于y轴对称的两点 <=> 横相反,纵相同； 关于x轴对称的两点 <=> 纵相反,横相同； 关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反.5 .坐标系中常用的距离几个公式 “点求距(1)如图,轴上两点M、N之间的距离：MN=|x 1-x2|=x大-x小,PQ=|y1-y2|=y大-y小.资料(2)如图,象限上的点M (x,y):至U y轴距离：dy=|x| ; 至ij x轴距离：dx=|y| ;到原点的距离：r = .x2

13、-y2 .如图,轴上的点M (0,y)、N (x,0)到原点的距离:MO=|y| ;NO=|x|.X (4)如图,平面上任意两点M (x2,y2)、N (x2,y2)之间的距离:d = (xi -x2)2 (yi -y2)2 .X 6.几个直线方程：y轴 <=> 直线x=0 ; x轴 <=> 直线y=0 ;与y轴平行,距离为la I的直线 <=> 直线x=a ；与x轴平行,距离为lb I的直线 <=> 直线y=b.7 .函数的图象：r oM(x,y)y“ M(0,y)xN(x,0) 0yby=ba-Ox(1)把自变量x的一个值作为点的横坐标,把与

14、它对应的函数值y作为点的纵坐标,组成一对有序实数对, 在平面坐标系中找出点的位置,这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；(2)图象上的点都适合函数解析式,适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入 重要代入！(3)坐标平面上,横轴叫自变量轴,纵轴叫函数轴；利用的图象,可由自变量值查出函数值,也可由函 数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围,也可由函数值取值范围查出对应自 变量取值范围；(4)函数的图象由左至右如果是上坡,那么y随x增大而增大(叫递增函数)；函数的图象由左至右如果是 下坡,那么y随x增大而减小(叫递减函数).8 .自变量取值范围与函数取

15、值范围：解析式x取值范围Y取值范围整式类例 y=2x-1取一切实数取一切实数分式类-1例y =x -2x #2yw0二次根式类例 y =ylx -2x>2非负数综合类有1区 J y - , 4x-2x>2正数应用问题类例s=vt (t是自变量)t>0非负数资料x0-b/k,即取点 对角0yb0(x,y)(0,b)(-b/k, 0)一次函数1 . 一次函数的一般形式：y=kx+b . k 却2 .关于一次函数的几个概念：y=kx+b k却的图象是一条直线,所以也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点0,b 和*轴上的点-b/k,0 ；注意：如图,这两 个点也是画直线图象时应取的

16、两个点.b叫直线y=kx+b k 利在y轴上的截距,b的本质是直线与y轴交 点的纵坐标,知道截距即知道解析式中b的值.3 .y=kx+bk前中,k, b符号与图象位置的关系：k>0, b<0图象过一三<=>四象限,图 象上坡.k<0, b<0图象过二三 四象限,图 象下坡.4 .两直线平行：两直线平行<=> k i=k2两直线垂直<=> k ik2=-1.5 .直线的平移：假设m >0,n >0,那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m ;向下 平移n个单位长度得y=kx+b-n直线平移时,k值不

17、变.6 .函数习题的四个根本功： 式求点：某直线的具体解析式,设y=0,可求出直线与x轴的交点坐标xo,0；设x=0 ,可求出直 线与y轴的交点坐标0,y.；两条直线的具体解析式,可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐 标x0,y.；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；资料2点求式：一次函数图象上的两个点,可设这个函数为y=kx+b ,然后代入这两个点的坐标,得到关 于k、b的两个方程,通过解方程组求出k、b,从而求出解析式-待定系数法； 距求点：点Mx0 ,y0到x轴,y轴的距离和所在象限,可求出点M的坐标；坐标轴上的点P到原 点的距离和所在半轴,可求出点P的坐标；4点求距：函数题经常和几

18、何相结合,利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长,从而 使得函数问题几何化.正比例函数1 .正比例函数的一般形式：y=kx k却；属于一次函数的特殊情况；即b=0的一次函数它的图象是x01y0K(x, y)(0,0)(1,K)条过原点的直线；也叫直线y=kx.2 .画正比例函数的图象：正比例函数y=kx k却的图象必过0,0点和1, k点,注意：如图,这两个点也是画正比例 函数图象时应取的两个点,即列表如右：3 .y=kx k却中,k的符号与图象位置的关系:k<0k>0%图象过二四 象限,图象 下坡.4 .求正比例函数解析式：正比例函数图象上的一点,可设这个正比例函数

19、为y=kx,把点的坐标代入 后,可求k,从而求出具体的函数解析式-待定系数法.二次函数1 .二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.a刈2 .关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax,bx+c ;抛物线关于对称轴 对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数 图象必过0, c点.3 . y=ax 2 a却的特性：当y=ax 2+bx+c a 旬中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 a却;这个二次函数 是一个特殊的二次函数,有以下特性：资料(1)图象关于y轴对称；(2)顶点(0, 0); (3) y=ax2 (a

20、却)可以经过补0看做二次函数的一般式,顶 点式和双根式,即：y=ax2+0x+0,y=a(x-0) 2+0, y=a(x-0)(x-0).4 .二次函数y=ax2+bx+c (a却)的图象及几个重要点的公式：(1)二次函数顶点坐标与最值公式5 .二次函数y=ax2+bx+c (a却)中,a、b、c与A的符号与图象的关系：(1) a>0 <=>抛物线开口向上；a<0 <=> 抛物线开口向下；(2) c>0 <=> 抛物线从原点上方通过；c=0 <=> 抛物线从原点通过；cv 0 <=>抛物线从原点下方通过；(3) a,

21、 b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧；a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧;b=0 <=> 对称轴是y轴；(4) A> 0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；A=0<=>抛物线与x轴有一个交点(即相切)；AV 0 <=> 抛物线与x轴无交点. .求二次函数的解析式：二次函数图象上三点的坐标,可设解析式y=ax2+bx+c ,并把这三点的坐标 代入,解关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,从而求出解析式待定系数法. .二次函数的顶点式：y=a(x-h) 2+k (a却)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点

22、坐标(h, k),对称轴 方程x=h和函数的最值y最彳1= k.9.求二次函数的解析式：二次函数的顶点坐标(x0,y.)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x -x0)2+ y.,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意：习题无特殊说明,最后结果要求化为 一般式)10.二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式,然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k资料的图象平行移动时,改变的是h, k的值,a值不变,具体规律如下：k值增大 <=> 图象向上平移；k值减小 <=>图象向下平移；(x-h)值增大 <=> 图象向左平移；(x-h

23、)值减小 <=>图象向右平移.11 .二次函数的双根式：(即交点式)y=a(x-x i)(x-x2) (a旬)；由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交 点(xi,0) , (x2,0).12 .求二次函数的解析式：二次函数图象与x轴的交点坐标(xi,0), (x2,0)和图象上的另一点的坐标, 可设解析式为y= a(x-x i)(x-x2),再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意：习题最后结果要 求化为一般式)13 .二次函数图象的对称性：二次函数图象上的点与对称轴,可利用图象的对称性求出点的对称点, 这个对称点也一定在图象上.反比例函数1.反比例函数的一般形式：y=k 或

24、y =kx(k ¥0);图象叫双曲线. xX 2.关于反比例函数图象的性质：反比例函数y=kx-1中自变量x不能取0,故函数图象与y轴无交点；函数彳t y也不会是0,故图象与x轴也不相交.3 .反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系:k>0图象过一三 象限,图象 下坡.图象过二四 象限,图象 上坡.4 .求反比例函数的解析式：反比例函数图象上的一点,即可设解析式y=kx-1,代入这一点可求k值,从而求出解析式.函数综合题1 .数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到表达,例如：分析函数习题常常需要先 估画符合题意的图象利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点

25、求距、距求点等根本操作那么是转化思 想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时,方程思想那么成为解决问题的根本思路；函数习题中,资料当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时,往往造成函数问题的分类.2 .数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、 相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经 常得到应用,了解这些数学方法是十分必要的.3 .函数与方程的关系：正比例函数y=kx (k却)、一次函数y=kx+b (k刈)都可以看作二元一次方程,而二k.次函数y=ax,bx+c (a却)可以

26、看作二兀二次方程,反比例函数y= (k =0)可以看作分式方程,这 x些函数图象之间的交点,就是把它们联立为方程组时的公共解.4 .二次函数与一元二次方程的关系：(1)如二次函数y=ax2+bx+c (a制)中的A>0时,图象与x轴相交,函数值y=0 ,此时,二次函数转化 为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 却),这个方程的两个根xi、x2是二次函数y=ax 2+bx+c与x轴相交 两点的横坐标,交点坐标为(xi ,0) (x2,0)；(2)当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时,应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程, 此时,一元二次方程的求根公式,A值,根系关系等都可用

27、于这个二次函数.(3)如二次函数y=ax 2+bx+c (a #0)中的A>0时,图象与x轴相交于两点A (xi ,0) ,B (地 ,0)有重要关 系式：OA=|xi|, OB=|x 2|,假设需要去掉绝对值符号,那么必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点 C(0,c),也有关系式：OC=|c|.5.二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,假设消去一个未知数, 那么转化为一元二次方程,此时的A值将决定原方程组解的情况,即：A>0 <=> 方程组有两个解； &0 <=>方程组有一个解；AV0 <=>方

28、程组无实解.初三数学应知应会的知识点(圆)几何A级概念：(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证实)1.垂径定理及推论:如图：有五个元素,“知二可推三；需记忆其中四个定理,即“垂径定理 “中径定理 “弧径定理“中垂定理.几何表达式举例： CD过圆心.CDXABAE=BEAC = BCAD = BDC资料2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：: AB / CDAC = BD3. “角、弦、弧、距定理：(同圆或等圆中)“等角对等弦；“等弦对等角；“等角对等弧；“等弧对等角；“等弧对等弦；“等弦对等(优,劣)弧；“等弦对等弦心距；“等弦心距对等弦.BD几何表达式举例：(1)

29、 /A°B= /CODAB = CD(2) AB = CDZA°B= /COD4.圆周角定理及推论：(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的-(2) 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角白(3) “等弧对等角“等角对等弧；(4) “直径对直角“直角对直径；(如图)(5)如三角形一边上的中线等于这边的T,左 角形.(如图)(1) (2)(匕勺T；(如图)取么这个三角形是直角三：B4)几何表达式举例：,、一1 一 ZACB= - ZAOB2 (2) AB是直径ZACB=90 °(3) ZACB=90 °AB是直径(4) CD=AD=BD AABC 是 RtA

30、5.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形/CDE = /ABCZC+ ZA =180 °6 .切线的判定与性质定理：如图：后二个兀素,知一可推一 ；/需记忆其中四个定理.'(1)经过半径的外端并且垂直于这条o 1L °) j是半径垂直是切线 A几何表达式举例：(1) .一是半径.OCXAB.AB是切线资料半径的直线是圆的切线；(2)圆的切线垂直于经过切点的半径；X (3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；X (4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2) .OC是半径, A

31、B是切线OCXAB(3)7.切线长定理：二线,P<5点的连线平分两条切线的夹角.7sX；/几何表达式举例： PA、PB是切线PA=PBpo过圆心ZAPO = ZBPO8.弦切角定理及其推论：(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；(2)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等；(如图)(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.(如图)乜BDC(1)(2)几何表达式举例：(1)二力口是切线,BC是弦ZCBD = /CAB(2) ; EF = AB ED, BC是切线ZCBA = ZDEF9.相交弦定理及其推论：(1)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等；(2)如果

32、弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 长的比例中项.: BAQh'/ 2)几何表达式举例：(1) 1. PAPB=PC PD (2) .AB是直径.PCXAB. .pc2=papb10.切割线定理及其推论：(1)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两 条线段长的比例中项；几何表达式举例：(1) ;PC是切线,PB是割线资料(2)从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等.-PC2=PA PB(2) .PB、PD 是害U线.PA PB=PC PD(1 )相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;(2)如果两圆相切,那么切点

33、一定在连心线上.几何表达式举例：(1) .Oi, O2是圆心,OiO2垂直平分AB(2) :.1、.2相切,Oi、A、O2 三点一线12.正多边形的有关计算：(1)中央角W ,半径RN ,边心距rn , 边长an ,内角Pn ,边数n；(2)有关计算在RtAAOC中进行.公式举例:O360n(2)几何B级概念：(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)根本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、 弦心距、弧、 等弧、 弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内(外)公切线长、正多边形、正多边形的中央、正多边形的半径、正多边形的边心距、正 多边形的中央角.定理：1 .不在一直线上的三个点确定一个圆.资料2 .任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.3 .正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三 公式：1 .有关的计算：1圆的周长C=2tiR; 2弧长L= 辿；3圆的面积SmttR2.1804扇形面积S扇形=n"R =1LR ; 5弓形面积S弓形=扇形面积Saob