-一元二次方程地整数根

1、实用文档第6讲一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的,而是人们长期切磋积累 的成果. 我也是慢慢学来的,而且还要继续不断的学习.阿贝尔知识方法扫描1 .当含有某个参数k的一元二次方程的左边比拟容易分解成两个一次因 式的积时,我们可以先利用因式分解直接求方程的解,通常它们是关于k的分式形式的解.然后利用其根是整数的要求来解不定方程.此时因参数k的条件不同,常有两种处理方法.其一是 k为整数,这时只需注意分式形式的解中, 分子是分母的倍数即可；其二是 k为实数,此时应该消去参数 k,得到关于两 根的关系式,也就是关于两根的不定方程,再解此不定方程即可.2 .我们知道一元二次方程 ax2+

2、bx+c=0在4 = b24ac10时有实数根x =-b八' o所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根,必须 = / 4ac2a为完全平方数,并且b 士线为2a的整数倍.故处理此类问题,常可用判别式来解决.又可细分为两类：(1)先求参数范围.可利用题设参数的范围,直接求解；也可由不等式 ?时出参数的范围.再求解.(2)再设参数法,即设Mk2 (k是整数).当 = ?为关于原参数的一 次式时,用代入法来解；当=/为关于原参数的二次式时,用分解因式法来 解.止匕外,对有理系数的二次方程有有理根的问题,上述解法也是适用的.3.韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质,我们也常用它

3、来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题,常用的方法有：(1)从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程.(2)利用“当两根为整数时,其和、积必为整数来解.4.在含有参数的一元二次方程中,参数和未知数都是用字母表示的,通常 是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元,即将方程看成是以参数为未知数的方程,这种方法就是变更主元法.(1)当方程中参数的次数为一次时, 可将参数直接用未知数表示出来, 再利 用参数的范围或性质来求解.(2)当方程中参数的次数为二次时,可考虑以参数为主元构造一个二次方程, 再运用前述的方法(如利用判别式,韦达定理)来处理.经典例题解析例1. (1995

4、年山东省初中数学竞赛试题 汴为什么整数时,方程(6 - k)(9 -k)x2-(117-15k)x+ 54= 0 的解都是整数？分析此方程的系数均为整数,而且方程的左边可以直接分解成两个整系 数的一次因式,故可考虑直接求根来解答此题.另外此题的条件中并未说明方 程是一元二次方程,故还应考虑二次项系数为 0,原方程是一次方程的情况.标准文案实用文档解 假设 k=6,贝 x=-2;假设 k=9,贝 x=3;=0,故方程的二假设 kw6 且 kw9,原方程可化为(k-6)x-9(k-9)x-6根为xi = 一9,x2= 6.为使xi和x2都是整数,那么应有k-6 = ±1,±3,

5、 ±9, k-6 k-9k=-3,3,5,7,9,15; 还应有 k-9 = ±1,±2, ±3, ±6, k=3,6 , 7,8,10,11,12 ,15.所以k=3,7,15时,x1和x2都是整数,综上所述,当k值为3, 6, 7, 9, 15时方程的解都是整数.例2 (2000年全国初中数学联赛试题)设关于x的二次方程(k2-6k+8) . x2+(2k2-6k-4)x+ k2 = 4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.分析此题也可通过直接求根法求出二根,但是它的条件与例 1不同,例1 中的参数k是整数,而此题中的参数k是实数.因

6、此求得二根后不能像例1那样 讨论,由于使x1 (或x2)为整数的实数k有无穷多个,所以要先消去k,得到关 于x1,x2的不定方程,先求出这个不定方程的整数解,然后再反过来求 k的值.解 将原方程变形得(k-2)(k-4)x2+(2k2-6k-4)x+ (k-2)(k+2) = 0.分解因式得(k 2)x +k+ 2(k-4)x+ k 2 = 0.显然,k*Z k*4隼得k-22k 24x1 = - = -1 - ；x2= - = 一 1 一.k-4k -4k-2 k-22于是有 k-4 = -x114,、, k2 = (x1w-1, x2*-1)x21x1x2 + 3x1 + 2 = 0两式相

7、减消去k整理得 即x1(x2 + 3)= 2.于是有X =1, 1J2 +3 = 2.'x1 = 2,'x1 =1,X = -1,或 ,或 L或 / (舍去)x2 = -4;x2 = -5; x2 = -1.2.一.10 .由于 k4 = -,当 x1 = -2 时,k=6;当 x1 = 2 时,k=一;当 x1 = 1x113时,k=3.经检验,k=6, 3, 都满足题意.3例3. (2000年广东奥林匹克学校高中入学测试数学试题)求当m为何整数时,关于x的一元二次方程 mx2-6x+9=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.分析从此题的两个方程无法得到用有理式

8、形式表示的二根,但方程有整数根的前提是有实数根,我们可以先求出两个方程有实根的条件, 从而求出参数m 的取值范围,再由m是整数的条件,确定其值.不过最后还得代入验证此时的 方程是否根都是整数.标准文案实用文档m : 0解 依题意有 (-6)2 -36m >0,、2,2_、_(-4m) -4(4m -4m -5) >05斛得- Em w1 ,且mw0Z m为整数,故m = t4当 m =1 时,方程 mx2-6x+9=0 的二根均为 1,方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 的二 根为-1和5,符合要求.当m =-1时,方程mx2-6x+9=0的二根均不是整数,不符合要求.所以仅

9、当m=1时,方程的两根都是整数.例4. (1996年上海市初中数学竞赛试题)假设关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数根,且a为整数,求a.分析 此题和上题不同在于：假设利用判别式求出参数a的取值范围,计算后会发现,满足此范围的整数a有无数多个,无法一一验证.注意到要使整系数的 一元二次方程方程有整数根,必须判别式为完全平方数.此题的判别式是关于参 数a的一次式,一般可以设其为t2 (t为非负整数),再将方程的根用t表示出来 从而求得其整数解.解 当a = 0时,方程为-6x-2=0,无整数解.当aw 0时,方程为一元二次方程,要使方程至少有一个整数根,必须判别式 为

10、完全平方数.2= =4(a-3) -4a(a-2)=4(9-4a),9-4a 为元全平方数.设9-4a = t2 (t为正奇数,且tw$ ,那么a=9二些.此时,方程的二根为4-2a 6 -2t 彳3 -t彳 3-t 彳 4(3-t)x1,2= = -1+ = -1 + = -1+ r2 aa9- t9-t4x1= -1 + , x2= -1 + 3 t3-t要使x1为整数,而t为正奇数,只能t=1,此时a=2;要使x2为整数,t只能为1,5,7,此时a = 2,-4,-10.综上所述,a的值为2,-4,-10.例5 (2004年全国初中数学联赛试题)方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是

11、整 数,求整数n的值.分析1此题与上题的差异在于其判别式是关于参数的一次式,而是二次式,就不能用代入法了.此类问题一般采用因式分解的方法求解.解法1因二次方程的根都是整数,故=4n2+32n+9应为完全平方数.设 4n2+32n+9=k2(k>0,k 为整数),即(2n+8)2-k2=55,所以(2n+8+k)(2n+8-k)=5513 2n+8+k> 2n+8-k,/可得如下4个方程组'2n +8+k =552n +8k =12n +8+k =112n +8k =52n + 8 + k = -12n +8 k = -552n + 8 + k= -52n+8 k = -11

12、标准文案实用文档分别解得 n=10,n=0,n=-18,n=-8.分析2因4n2+32n+9=k2又可以看作是关于n的一元二次方程,此题也可以 再用判别式来求解.解法2因二次方程的根都是整数,故i=4n2+32n+9应为完全平方数.设 4n2+32n+9=k2(k>0,k 为整数),即 4n2+32n+9-k2=0.将其看作关于 n 的一 元二次方程,其判别式也应为完全平方数,即 z=BZ2 MX9-k2)=16(k2+55)为 完全平方数设 k2+55=t2, (t>0,t 为整数),即(t + k)( t - k)=55因t+k>t-k故可得如下4个方程组t +k =55

13、t-k =1't +k =11t k =5't +k = -1t 一 k = -55,'t + k = -5 , t k = 11分别解得 k=27, 3,-27 或-3,于是 4n2+32n+9=272,或 4n2+32n+9=33,分别 解得 n=10, n=-18,n=-8, n=0.所以整数 n 的值为-18,-8,0,10.例6 (1996年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题)求使关于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a解当a=-1时,方程为-2x-8=0,x=-4为整数根；当 a*1 时,A=7a4-8a3+2a2+24a+

14、25假设 a?Z 由T-a4+2a2<0,-6a4+24a<0,-8c3+25<0,MW A <0 原方程无实根；假设 a<2,由于-4a4-8a3<0,-2a4+25<0,-a4+2a2<0,24a<0所以 A <0原方程无实根；当a=0时,原方程变为x2-x-6=0 ,二根为-2, 3;当a=1时,原方程变为2x2-2x-4=0 ,二根为-1, 2.综上所述,仅当a=-1,0,1,原方程才有可能有整数根评注1此题条件中的有整数根,应该理解成至少有一个整数根.2此题中的判别式是一个四次式,不易求出其取值范围.上面的解法是先对 判别式

15、的取值用分类讨论结合放缩的方法求出其范围来, 再对这个范围中的整数 逐一讨论.例7 ( 1998年全国初中数学联赛试题)求所有正实数a ,使得方程x2 -ax +4a =0仅有整数根.分析此题有许多方法去解,这里我们利用根与系数的关系式,将两根之和 与两根之积都用参数表示出来,然后消去参数,得到关于两根的不定方程.通过解不定方程求出两根,再回头求出参数. &+ x° = a > 0.解设两整数根为x1,股,那么12,x1 x2 = 4a a 0消去 a, 得 x1x2 -4( x1+ x2)=0(x1-4) (x2-4) =16x1-4 = ±1, ±

16、;2, ±4, ±8, ±16x2-4 = ±16, ±8, ±4, ±2, ± 1x1 + x? - 8 = ± 17, ±10, ± 8a - 8= ± 17, ±10, ±8a = 25, 18, 16, -9, -2, 0因a为正实数,于是a = 25或18或16均为所求.标准文案实用文档例8 (第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题)求使方程x2-pqx+p+q=0有 整数根的所有正整数p和q.解设原方程两根为xi、X2,那么xix2= p+q (1

17、)X1+X2 = pq(2)因此,这两根之和与两根之积均为正整数.假设xi是整数,由(2)知也是x2整数,由(1)知二根均为正整数.(1)-(2)得,xix2-( xi+x2)= p+q-pq,即(xi-1)(x2-1)+(p-1)(q-1)=2将2表为两个非负整数之和,只有三种情况：0+2; 1+1; 2+0.假设(p-1)(q-1)=2,那么 p=3, q=2 或 p=2, q=3;假设(p-1)(q-1)=1,那么 p=q=2;假设(p-1)(q-1)=0, 贝U p=1, q=5, 或 p=5, q=1.评注虽然都是用根与系数的关系解题,此题和上题在解法上又有一些差 别.这里用到了整数

18、根和参数间的和,差,积都是整数的性质.例9 (第三届“祖冲之杯初中数学竞赛试题)试求所有这样的正整数a, 使方程ax2+2(2a1)x+4(a3)=0至少有一个整数解.分析 直接利用判别式不能求出的范围,由于两根不一定都是整数,利用 韦达定理也不方便,这时我们可以考虑变更主元.在此题中参数a的次数为一次,所以可考虑将a用x表示出来,然后利用a是正整数的性质求出x的范围 再求解.解 a (x+2)2=2(x+6),显然 xd2,所以a=2(x 6)(x 2)2又a是正整数,那么2(x+6) >1.解得一4今xd2.(x 2)2故乂= -4,-3,-1,0,1,2.分别代入得 a=1,6,1

19、0,3,14,1.9因a为正整数,所以a的值可为1,3,6,10.例10. (1994年福州市初中数学竞赛试题)当 m是什么整数时,关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数？解 原方程可化为(x-1)m=x2+x+1.显然x=1不是原方程的解,即 xl所. x2 x -13以 m=,即 m= x+2 + .由于m是整数,所以整数x-1只能取± 1, ±3,即x=2,0,4,2,相应地m=7或 m = -1 o所以当m=7或m = -1时方程的两根都是整数评注 此题与上题相同的是参数都是一次式,不同白是m的范围不是的, 不宜用借不等式的方法求解.又将参数 m用

20、x表示后的分式中,分母比分子的 次数高,于是可以采用别离整式的方法求整数解.同步练习1 . (1993年天津市初二数学竞赛题)m 是什么整数时,方程标准文案实用文档(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根？2. (2000年“鲁中杯绍兴四市县数学联赛试题)关于x的方程 (4-k)(8-k)x 2-(80-12k)x+32=0的解都是整数,求整数k的值.3. (1993年天津市初中数学竞赛试题)设m为整数,且4Vm<40,又方程 x22(2m 3)x+ 4m214m+8=0有两个整数根.求m的值及方程的根.4. (2001年山东省初中数学竞赛试题)关于 x的方程k

21、x 21k-1)x+1=0有有 理根,求整数k的值.5. (2005年“卡西欧杯全国初中数学竞赛试题) p, q都是质数,且 使得关于x的二次方程x2 -(8p-10q )x+5pq = 0至少有一个正整数根,求所有的质数对(p, q).6. (1999年全国初中数学联赛试题)设a是大于零的实数,存在惟一 的实数k,使得关于x的二次方程x2+(k2 + ak)x+ 1999+ k2+ ak= 0的两个根均为质数.求a的值.7. 设方程a2x2+ax+1-7a2=0的两根都是整数,求所有的正数 a.8. . ( 1998年全国初中数学联合竞赛试题)求所有正实数 a ,使得方程x2 -ax +4a

22、 =0仅有整数根.9. .( 2003年湖南省高中理科实验班招生测试数学试题)设函数f(x)=x3+(2+2a-a2)x-2a(a+1), a 为实数.(1)证实：f(a)=0(2)如果关于的方程f(x)=0有三个整数根,试求实数a的所有值.10. (第17届江苏省初中数学竞赛试题)当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理数根？如果有,求出m的值；如果没有,请说 明理由.同步练习题参考答案61 . 原方程可分解为(m-1)x-6)(m+1)x-12=0.由于 m ± 折以 xi=,m - 112x2=.m 1,xi,x2 为正整数,二 m-1=1,

23、2,3,6,且 m+1=1,2,3,4,6,121t单彳3 m=2 或 m=3.但 m=3时,xi=X2,故舍去从而m=2为所求.2. 当 k=4 时,x=1 ; 当 k=8 时,x=-2 ; 4当kw4且kw8时,原万程可变形为(4-k)x-8 (8-k)x-4 = 0,所以xi= ,8- k8X2=.4 -'k因xi是整数,故8-k=虫,及,从而k=4 (舍),6, 7, 9, 10, 12.而k=7,9, 10时,X2不是整数,故k=6或12.综上所述,k=4, 6, 8或12.标准文案实用文档3 .考察判别式=4(2m+1),由4Vm<40,可知9<2m+1<

24、81.为使 判别式为完全平方数,只有 2m+ 1 = 25或2m+ 1 = 49.当2m+1=25时,m=12,方程两根分别为16, 26;当2m+1=49时,m= 24,方程两根分别为38, 52.4 .当k=0时,x=-1方程有有理根；当kwo时,二方程有有理根,判别式 1二(k-1)2-4k=k2-6k+1为完全平方数.设 k2-6k+1=m2(m 为非负整数),即 k2-6k+1-m2=0将式看作关于 k的二次方程,由题设知有整数根,故式的判别式 2=36-4(1-m2)=4(m2+8)应为完全平方数,从而m2+8是完全平方数.令m2+8=n2(n 为正整数,且m<n),那么有(

25、n+m)(n-m)=8 ,注意到n+m与n-m有相同的奇偶性, 那么有n -m = 2解得"n3m =1将n=3代入式得k=6或k=0(舍去).综上所述,方程kx 21k-1)x+1=0有有理根时有k=0或k=6.5 .设方程的两根为X1, X2 ( X12),那么有X1+X2 = 8p-10qX1X2 = 5pq由知,方程的另一根为整数,由知,方程的另一根为正整数.又由知,X1, X2有如下几种可能的情况：X1 =1x1 =5X = pX =qx1 =5p四=5pqX2 = pqX2 =5q% =5p,=qx1 = 5q9 = p将 xi +X2=1+5pq, 5+pq,p+5q,

26、q+5p 分另代入：当 X1+x2=1+5pq 时,1+5pq = 8P-10q, 而 1+5pq>10p>8p-10q,此时无解;当 X1+x2=5+pq 时,5+pq= 8P-10q,从而(p+10)(q-8)=-85因p, q都是质数,只可能有q - 8 = _5p 10 =17所以(p, q) = (7, 3);当xi+x2= p+5q时,p+5q= 8p-10q, 7 p=15q,不可能成立,此时无解；当 xi+x2= q +5 p 时,q +5 p = 8P-10q, 3 p=11q,所以(p, q) = (11, 3) 综上所述,满足条件的质数对(p, q) = (7

27、, 3)或(11, 3).6 .设方程的两个质数根为p、q.由根与系数的关系,有p+q= (k2 + ak),pq=1 999+ k2 + ak. + ,得 p+ q+pq=1999那么(p+1)(q + 1) = 24>53由知,p、q显然均不为2,所以必为奇数.故卫士1和吧均为整数, 22且二,也=22与322标准文案实用文档假设pF为奇数,那么必 WF=5r(r=1, 2, 3),从而p = 2>5r1为合数, 矛盾.因此,艮匚必为偶数.同理,911也为偶数.所以,艮二和9=均为整2222数且叱1=5344不妨设p&q那么EH=1或5.4当 211 = 1 时,q：口

28、 =53,得 p = 3, q = 499,均为质数.44当=5时,q1 =52,得p=19, q = 99, q为合数,不合题意.44综上可知,p = 3, q = 499.代入得k2+ak+ 502=0.依题意,方程有惟一的实数解.故 = 22 4X502=0.有a=2u5027.将原方程整理成关于a的方程,得(x2-7)a2+xa+1=0.因 x 是整数, = x2-4(x2-7) = 28 -3x2 > 0,即 x20 28 .从而 x 2= 0, 1,4,9.3x=0, ± 1, ±2, ± 3.当x=0时,代入方程解得a=± ;7当x = 1时,代入方程解得a =£或a=-1；1 1当x = -1时, 代入方程解得a = 一或a=-;2 31当x = 2时, 代入方