2013高三数学文科高考考前检测试题(广州市带答案)

1、2013 高三数学文科高考考前检测试题（广州市带答案）广州市 2013 届高三考前训练数学（文科）说明：1本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数 学研究组共同编写，共 24 题2.本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用， 希望在 5 月 31 日之前 完成3本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互 配套，互为补充四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法 因此， 希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间，安排一段时间，对这四套试 题进行一次全面的回顾总结， 同时，将高中数学课本中的基本知识 （如 概念、定理、公式等）再复习一遍 希望同学们保持良好的

2、心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！ 1.已知函数，的最大值是 1 ，其图像经过点 （1 ）求的解析式；（2）已知，且， ，求的值2.设函数.（1 ）若是函数的一个零点，求的值；（2）若是函数的一个极值点，求的值3.在中，内角所对的边长分别是 ,已知， .（1）求的值；（2）若为的中点，求的长 .4.一缉私艇发现在方位角 （从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45方向，距离 15 海里的海面上有一走私船正以 25 海里/小时的速度沿 方位角为 105的方向逃窜若缉私艇的速度为 35 海里 / 小时，缉私艇 沿方位角为 45 +的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船.（1） 求角a的正

3、弦值；（2） 求缉私艇追上走私船所需的时间.5.某学校餐厅新推出 A， B， C， D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下 .为 了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调 查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 20 份进行统计，统计结 果如下面表格所示：满意一般不满意A 套餐 50%25%25%B 套餐 80%020%C 套餐 50%50%0D 套餐 40%20%40%（1）若同学甲选择的是 A 款套餐，求甲的调查问卷被选中 的概率；（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2 人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率 .6.汽车是

4、碳排放量比较大的行业之一欧盟规定，从2012 年开始，将对排放量超过 的型新车进行惩罚某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行 排放量检测，记录如下 （单位： ）.甲 80110120140150乙 100120160 经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为（1）从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆，则至少有一辆不符合排 放量的概率是多少？（2）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性 7某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级初二年级初三年级女生 373xy男生 377370z 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19.（1）求

5、 x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知 y245,z245 求初三年级中女生比男生多的概率.8. 斜三棱柱中，侧面底面 ABC 侧面是菱形，E、F 分别是，AB 的 中点I 八、(1) 求证：EF/平面；(2) 求证：CE!面 ABC.(3) 求四棱锥的体积 .9. 如图，在等腰梯形 PDCB 中，PE/CD, PB= 3, DC= 1, PD= BC=,A 为 PB 边上一点，且 PA= 1,将 PA 沿 AD 折起，使平面 PADL 平面 ABCD.(1) 求证：平面 PAD!平面 PCD.(2) 在线段 PB 上是否存在一点 M

6、,使截面 AMC 把几何体分成的两部 分的体积之比为VPDCMA:VM- ACB= 2:1,若存在，确定点 M 的位置；若不存在，说明理 由.(3) 在( 2)的条件下,判断 AM 是否平行于平面 PCD.10. 如图所示，圆柱的高为 2,底面半径为，AE、DF 是圆柱的两条母线， 过作圆柱的截面交下底面于，且=( 1 )求证：平面/平面；( 2)求证：；(3)求四棱锥体积的最大值 .11. 已知等比数列的公比, ,且、成等差数列 . (1)求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .12. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般 情况下，大桥上的车流速度（单位：千米 /

7、小时）是车流密度（单位： 辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞， 此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数 （1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量可以达到最大，并求出最大值（精确 到 1辆/小时） .（车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单 位：辆 /小时）13某地区有荒山 2200 亩，从 2002 年开始每年年初在荒山上植树造 林，第一年植树 100 亩，以后每年比上一年多植树 50 亩 （1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？

8、（2）若每亩所植树苗木材量为 2 立方米，每年树木木材量的自然增长 率为 20，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到1立方米,）14. 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点 是曲线在第一象限的交点，且（ 1）求双曲线的方程；(2)以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长 为，被圆截得的弦长为是否为定值？请说明理由15. 如图，长为 m + 1 (m0)的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y轴上滑动，点 M 是线段 AB 上一点，且.(1) 求点 M 的轨迹r的方程，并判断轨迹r为何种圆锥曲线；(

9、2) 设过点 Q(12, 0)且斜率不为 0 的直线交轨迹r于 c、D两点. 试问在 x轴上是否存在定点 P,使 PQ 平分/ CPD?若存在，求点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由.16. 已知数列的前项和的平均数为(1) 求的通项公式；(2) 设，试判断并说明的符号；( 3)设函数，是否存在最大的实数 ?当时，对于一切非零自然数，都 有17. 数列满足，且时，(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证对任意的正整数都有18. 设，函数，.(1)当时，求函数的值域；( 2 )试讨论函数的单调性.19. 已知函数的图像在点处的切线方程为 .(1)用表示出；(2) 若在上恒成立，求的

10、取值范围；(3) 证明： .20.如图 ,已知直线及曲线上的点的横坐标为().从曲线上的点作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列 .(1) 试求的关系 ;(2)若曲线的平行于直线的切线的切点恰好介于点之间(不与重合 ),求的取值范围 ;(3) 若 ,求数列的通项公式 .21. 已知函数的导函数是 ,对任意两个不相等的正数,证明:(1)当时,;(2) 当时,.22. 对于函数，若存在 R,使成立，则称为的不动点.如果函数=有且仅有两个不动点 0 和 2.(1)试求 b、c 满足的关系式；(2) 若 c= 2 时，各项不为零的数列an满足 4Sn= 1,求证：vv；(3) 在

11、(2)的条件下，设 bn 为数列bn的前 n 项和，求证：.23. 已知定义在上的单调函数，存在实数，使得对于任意实数，总有恒 成立（1）求的值；（2）若，且对任意正整数，有， 记，比较与的大小关系，并给出证明24. 已知函数，设在点 N* ）处的切线在轴上的截距为，（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，仅当时，取最小值，求的取值范围；（3）令函数，数列满足： ，N*）， 求证：对于一切的正整数，都满足： 参考答案1.解：（1）依题意有，则，将点代入得， 而，故.（2）依题意有，而，数列满足： N*）2解：（1）是函数的一个零点，二,从而.（2） ,是函数的一个极值点,从而.3.解：（1）且

12、， (2)由( 1)可得 由正弦定理得，即，解得在中，4.解：( 1)设缉私艇追上走私船所需的时间为 t 小时，则有 |BC| = 25t, |AB|= 35t,且/ CAB= a, / ACB= 120根据正弦定理得： ，即，sin 尸.(2 )在ABC 中由余弦定理得：|AB|2 = |AC|2 + |BC|2 2|AC|BC|cos /ACB,即(35t)2=152+(25t)22?15?25t?cos120；即 24t215t90,解之得：t=1 或 t=(舍)故缉私艇追上走私船需要 1 个小时的时间.5.解：(1)由条形图可得,选择 A, B, C, D 四款套餐的学生 共有 200

13、 人，其中选 A 款套餐的学生为 40 人， 由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了份 . 设“甲的调查问卷被选中 ”为事件,则 .答： 若甲选择的是 A 款套餐， 甲被选中调查的概率是. (2)由图表可知,选 A, B,C, D 四款套餐的学生分别接受调查的人数 为 4，5，6，5.其中不满意的人数分别为 1，1，0，2 个.记对 A 款套餐不满意的学生是 a;对 B 款套餐不满意的学生是 b;对 D 款套餐不满意的学生是 c，d.设“从填写不满意的学生中选出 2 人，这两人中至少有一人选择的是 D 款套餐”为事件,从填写不满意的学生中选出 2 人，共有 (a,b),(a,c),(a,d)

14、,(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件，而事件有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件，贝卩.6.解：(1)从被检测的辆甲类品牌车中任取辆， 共有种不同的排放量结 果：(); (); (); (); ();(); (); (); (); ().设“至少有一辆不符合排放量 ”为事件，贝事件包含以下种不同的结果：(); (); (); (); (); (); ().所以， .答：至少有一辆不符合排放量的概率为 (2)由题可知， ， .，二乙类品牌车碳排放量的稳定性好.7解(1)(2)初三年级人数为 y+ z= 2000( 373+ 377+ 380+

15、370)= 500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生， 应在初三年级抽取的人数 为：名(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A,初三年级女生男生数记为( y， z)；由( 2)知，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：(245, 255)、(246, 254)、(247, 253)、(255, 245)共 11 个 事件A 包含的基本事件有：(251，249)、(252，248)、(253，247)、(254,246)、(255,245)共 5 个,.8.( 1)证明：取 BC 中点 M，连结 FM,在厶 ABC 中，vF, M 分别为 BA, BC 的中点， FMAC.vE 为的中

16、点，AC FM四边形为平行四边形.v平面，平面， EF/平面.(2) 证明：连接，v四边形是菱形，为等边三角形vE 是的中点. CELv四边形是菱形，二/ . CEL.v侧面丄底面 ABC 且交线为 AC,面 CE!面 ABC(3) 连接，v四边形是平行四边形，所以四棱锥 由第(2)小问的证明过程可知面 ABCT斜三棱柱中，二面 ABC/面面T在直角中，四棱锥 =9.(1)证明：连接 AC,vPACD.四边形 PACD 为平行四边形 PD=AC：PD=AAC =TDO PA= 1 CDL AD,平面 PAD!平面 ABCD 且交线为 AD DC 丄平面 PAD.vDC 平面 PCD 二平面 P

17、AD!平面 PCD.(2) 在线段 PB 上是存在这样的点 M,当 M 为 PB 中点时，使截面 AMC把几何体分成的两部分 VPDCMA:VM-ACB= 2:1 .理由如下：vDC/ PA CD 丄 AD,. PAL AD,v平面 PAD!平面 ABCD 且交线为 AD PA!平面 ABCDvM 为 PB 中点.点M到面 ACB 的距离等于 PA. .5.,故 M 为 PB 中点.(3) AM 与平面 PCD 不平行vAB/ CD, AB 平面 PCD CD 平面 PCD AB/平面 PCD若 AM/平面 PCDvABA AM二A,.平面 ABM /平面 PCD这与平面 ABM 与平面 PC

18、D 有公共点 P 矛盾AM 与平面 PCD 不平行10. (1)证明：vAE、DF 是圆柱的两条母线. AE/ DF.v平面，平面，二 AE/平面在圆柱中： 上底面/下底面， 且上底面A截面 ABCD=, 下底面A截面 ABCD=. /v=.四边形 ABCD 为平行四边形. AB/ CD.v平面,平面，二 AB/平面.v.平面/平面(2) 证明：vAE DF 是圆柱的两条母线，四边形平行四边形，/且 =v四边形 ABCD 为平行四边形/且二/且=在圆柱底面上因为/且 =为直径(3) 解法 1:作v圆柱的母线垂直于底面平面平面设在 Rt中，.在 Rt中，.由（ 2）的证明过程可知平面.T四边形

19、ABCD 为平行四边形.四边形 ABCD 为矩形在 Rt中，T当时，即时，四棱锥的体积最大，最大值为解法 2：设（或设）在 Rt中，.（，）T垂直于底面，设，当时，即时，四棱锥的体积最大，最大值为解法 3：设，在 Rt中，二，T垂直于底面，当，即时，四棱锥的体积最大，最大值为11. 解：（1）因为、成等差数列， 所以，即.因为，所以，即 .因为，所以 .所以 .所以数列的通项公式为 .（2）因为，所以 .所以当时，当时，综上所述，12. 解:（1）由题意，当时，当时，设 由已知得解得 .（2）依题意得 当时，为增函数，故 . 当时，时，取最大值 .答：车流密度为 100 时，车流量达到最大值

20、3333.13. 解：（1）设植树年后可将荒山全部绿化，记第年初植树量为，依题意知数列是首项，公差的等差数列，则,即到 2009 年初植树后可以将荒山全部绿化.（2）2002 年初木材量为，到 2009 年底木材量增加为 ,2003 年初木材量为，到 2009 年底木材量增加为，2009 年初木材量为，到 2009 年底木材量增加为 .则到 2009 年底木材总量-2- 得 m2答：至 U 全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为 9060m 214. 解：（1）v抛物线的焦点为，双曲线的焦点为、 ，设在抛物线上，且，由抛物线的定义得， ，又T点在双曲线上，由双曲线定义得，双曲线的方程为： .（

21、 2）为定值.下面给出说明.设圆的方程为：，丁圆与直线相切，二圆的半径为，故圆：.显然当直线的斜率不存在时不符合题意，设的方程为，即，设的方程为，即，二点到直线的距离为，点到直线的距离为，直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长，故为定值15. 解：(1)设 A、B、M 的坐标分别为(xO, 0)、(0, yO)、(x, y)，贝 S x20+y20= (m + 1)2,由TAM=nrMB，得(x xO, y)= m( x, y0 y), xx0= mx, y= m(y0 y). x0= (m+ 1)x, yO = m+ 1my.将 代入 ,得(m+ 1)2x2 + (m+ 1m)2y2= (m

22、 + 1)2,化简即得点 M 的轨迹r的方程为 x2+ y2m2= 1 (m0).当 0vmv1 时，轨迹r是焦点在 x 轴上的椭圆；当 m= 1 时，轨迹I是以原点为圆心，半径为 1 的圆；当 m 1 时，轨迹I是焦点在 y 轴上的椭圆.(2)依题意，设直线 CD 的方程为 x= ty + 12,由 x= ty + 12, x2 + y2m2= 1 .消去 x 并化简整理，得(m2t2 + 1)y2 + m2ty34m2 = 0, = m4t2 + 3m2(m2t2 + 1) 0, 设 C(x1, y1), D(x2, y2),贝 S y1 +y2= m2tm2t2 + 1, y1y2= 3

23、m24(m2t2 + 1).假设在 x 轴上存在定点 P(a, 0),使 PQ 平分/ CPD, 则直线 PC PD 的倾斜角互补，二 kPC+ kPD= 0，即卩 y1x1 a+ y2x2 a= 0,/x1= ty1 + 12, x2= ty2 + 12，二 yltyl + 12 a+y2ty2 + 12 a= 0, 化简，得 4ty1y2 + (1 2a)(y1 + y2)= 0.将 代入，得一 3m2tm2t2 + 1 m2t(1 2a)m2t2 + 1 = 0,即一 2m2t(2a) = 0,vm 0,二 t(2 a)= 0,v上式对?t R 都成立，二 a= 2.故在 x 轴上存在定

24、点 P(2, 0),使 PQ 平分/ CPD1 6.解：( 1 )由题意,两式相减得,而,(2), (3)由(2)知是数列的最小项 .当时,对于一切非零自然数,都有 ,即,即, 解得或,取 .17. 解：( 1 ),贝贝(2)由于,因此,所以从第二项开始放缩： 因此18. 解:（1），当时，即时，最小值为 2当时，在上单调递增，所以所以时，的值域为（2）依题意得 若，当时，递减，当时，递增 若，当时，令，解得， 当时，递减，当时，递增 当时，递增3若，当时，递减 当时，解得， 当时，递增， 当时，递减4，对任意，在上递减 综上所述，当时，在或上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递减19. 解：（1）则有.（2）由（ 1）得令, 当时， .若，是减函数，二，即故在不恒成立.当时，若，是增函数，二，即故时.综上所述，的取值范围是 .（3）由（2）知，当时，有 .令，则即