单因素方差分析方法

1、总方差组内方差单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V、组内方差 Vw、组间方差VB。2v八Xij -XVw 八 Xij - Xi组间方差从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值x对总均值x的偏离程度，反映了抽样随 ij机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值 x对组均值x的偏离程度，而组间方差则衡Xij量的是组均值；对总均值X的偏离程度，反映系统的误差。 在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差：组间均方差=VBSb =4a 1组内均方差A2vwSw =ab-a在方差相等的假定下，要检验n个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。原假设H0 :均值相等即J1l

2、2=, =J备择假设H 1 :均值不完全不相等则可以应用F统计量进行方差检验：2A.VB a 一1SbF= 2Vw ab -bSw该统计量服从分子自由度a-1，分母自由度为ab-a的F分布。给定显著性水平a,如果根据样本计算出的F统计量的值小于等于临界值F-. a-1,aba，则说明原假设 h不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。下面通过举例说明如何在 Excel中实现单因素方差分析。例1单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥， 在乙农田使用乙化肥， 在丙地使用丙化肥， 得到6次试验的结 果如表2所示，试

3、在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。表2 三块农田的产量甲504649524848乙495047474649丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H。：三者产量均值相等；备择假设h 1 :三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。新建工作表“例1”，分别单击B3: D8单元格，输入表 2的产量数值。计算组均值，对应甲的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE （ B3： B8） ”，再次单击B9单元格，拖曳鼠标至 D9单元格，求

4、出乙和丙的组均值。计算总均值，单击 B10单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE（ B9: D9） ”。计算机结果如 图1所示ABCD1单因素方差分析2甲乙丙350495144650505494749652474643465084S49509组均值10总均值11图12计算（X, -Xi），并求各组的组内方差 Vw的值。2求甲组（Xij X J的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“ =（B3-$B$9）A2”。再次单击 B14单元格，拖曳鼠标至B19单元格。2求乙组（Xij -X的值，单击 C14单元格，在编辑栏输入“ =（C3-$C$9）A2”。再次单 击C14单元格，拖曳鼠标至C19单元格

5、。2求丙组（Xij X J的值，单击 D14单元格，在编辑栏输入“=（D3-$D$9）A2”。再次单击D14单元格，拖曳鼠标至 D19单元格。计算Vw的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“ =SUM（ B14： D19） ”。计算结果如图2所示。ABICDE748465084849509组均值48. 8348. 0049. 3310总均值48. 7248. 6749. 331112求组间方差13甲乙丙14L36111112.77777815& 02777840,444444160. 02777810.1111111710, 02778111.11111180. 69444440. 444444

6、190. 69444410. 44444420%48.1721图32根据组均值和总均值求 (Xi-X )的值，单击B24单元格，在编辑栏输入“ =(B9- $ B$ 10) 人2”。再次单击B24单元格，拖曳鼠标至 D24单元格，求出三个组的值。计算组间方差 V B，单击C25单元格，在编辑栏输入“ =6*SUM(B24:D24) ”。计算结果如图3所示。2122求组间方差23甲乙丙240. 010. 520. 3725V.5. 4426图3计算 F统计量的值，单击 C28单元格，在编辑栏输入“ =C25/ ( C27-1 ) / ( C20/ (C27*E27-C27 ) ”。计算 Fa的值

7、，单击 C30单元格，在编辑栏输入 “ =FINV ( C29, C27-1, C27*E27-C27 ) ”。根据临界值给出的检验结果，单击C31单元格，在编辑栏输入“ =IF (C28C30, ”三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”)”。最终结果如图4所示。从图4中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设日，因此在0.05的显著性水平下可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。20vw48.172122求组间方差23甲乙丙240. 01a 526 3725VB5*442627a3b628F0.84775129a0. 0530E3 6823231检验结果三者产量均值相等32

8、图4二、方差分析表在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后 面介绍的Excel单 因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。对应方差分析的结构如表 3所示，其中对于组间方差v 的计算可直接根据公式给出。Vw=v-V w方差自由度均方差F统计值组间方差vBa-1A2vVbA 2 2SB4a-1F=SB2Vb =辽（Xi-x ）A 2SwAb-a组内方差VV w入vVw=v- VbSw =ab-a总方差vAb-1X2V=送 &ij

9、-X）Vb表3 方差分析表下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。 例2 方案分析表某公司研制出了 A、B、C、D4种新型生产设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这 4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。4种机器生产的零件数量A754650567348B475065724649C485052464965D684849635170需要检验4中设备单位时间内生产的零件数是否存在显著差异，对应原假设Ho : 4种设备生产的零件数均值相等；备择假设H 1 : 4种设备生产零件数均值不相等，可采用单因素方差分

10、析予以检验。新建一工作表“例 2”，分别单击B3: E8单元格，输入表4中的零件数。计算组均值。对应 A组的均值，单击 B9单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE(B3:B8) ”， 再次单击B9单元格，拖曳鼠标至 D9单元格，求出B、C、D的组均值。计算总均值。单击 B10单元格，在编辑栏输入“ =AVERAGE(B9 : D9) ”。计算结果如图 5 所示。1ABCDE1 F方差分析表2ABCD3754768446504S55065496567263773465184849709组均值58, 0054. 8358,1710总均值57,0011.二根据组均值和总均值计算组间方差VB。求(X

11、ix f的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“ =(B9- $ B$ 10) A2”。再次单击 B14单元格，拖曳鼠标至 E14单元格，求出三个组的值。计算Vb的值，单击C15单元格，在编辑栏输入“ =SUM ( B14: E14) *6 ”。计算结果 如图6所示。9组均值5汛0054. 8351.6758.1710总均值55. 671112求组间方差13ABCD145. 440.6916.00& 25VB170.3316图6根据总均值计算方差 V。2求(Xij X j的值，单击B19单元格，在编辑栏输入“ =(B3- $ B$ 10) A2 ”。再次单 击B19单元格，拖曳鼠标至E24单元格

12、，求出所有的值。计算v的值，单击 C25单元格，在编辑栏输入“ =SUM( B19: E24)”。计算结果如图 7 所示。1617求总方差18ABCD19373. 7875,1158. 78152.112093. 4432,1132.115& 782132.1187.1113. 4444. 44220.11266. 7893. 4453. 7823300. 4493. 44呃4421. 7824弦7844. 4487.11205. 4425V2323. 3326方差分析表结构，根据总方差和组间方差计算组内方差，单击C33单元格在编辑栏输入“ =C34-C32”分别给出自由度，单击D32单元格，

13、在编辑栏输入“ =C27-1 ”；单击D33单元格，在编辑栏输入“ =C27*E27-C27 ”；单击D34单元格，在编辑栏输入“ =C27*E27 1”。计算方差分析表中的均方差。组间均方差，单击 E32单元格，在编辑栏输入“ =C32/D32”。组内均方差，单击 E33单元格，在编辑栏输入“ =C33/D33”。计算F统计量的值，单击F32单元格，在编辑栏输入“ =E32/E33”。结果如图9所示。aFa4b628a0. 0.12930方差分析表31方差自由度均方差F值P值32组间方差Vb170. 33356,. 776670.52741933组内方差V,215320107. 6534总方

14、差2323. 33233536图926 II I I III根据F值计算p值，单击 G32单元格，在编辑栏输入“ =FDIST ( F32, D32, D33)”。说明：1-p值反映了可以以多大的把握认为原假设成立。如果计算的p值小于给定的显著性水平0.05则应该接受原假设，否则应拒绝原假设。(11)给出检验结论，单击C36单元格，在编辑栏输入“ =IF (G32C28, “四种设备生产的零件数均值相等”，“四种设备生产零件数均值不相等”)”。结果如图10 所示30方差分析表31方差自由度均方差F值P值32组间方差170. 33356. 777780. 5274290. 66852333组內芳差215320107.6534总方差甲2323. 33233536检验结论四种设备生产的零件数均值不相等37图10从图10可以看出，运用方差分析表，拒绝原假设H。，因此在0.01的显著性水平下认为三者均值不相等，即四种设备单位时间内生产的零件数的均值不相等。在Excel运用方差分析-单因素方差分析工具进行方差分析。例3 方差分析：单因素方差分析仍采用例2中的数据，某公司研制出了A、B、C D4种新型设备，让 6个熟练工人分别操作相同的时间，统计生产的零件数量如表4所示，试应用方差分析：单因素方差分析在0.01的显著性水平下检验这 4种设备单位时间生产的零件数是