电路_第八章非正弦周期电流电路和信号的频谱习题及解答

1、第八章 非正弦周期电流电路和信号的频谱本章意图本章分析线性电路在非正弦周期函数激励下的稳态响应。首先介绍非正弦 周期电流电路的基本概念，然后介绍非正弦周期电流电路的分析计算方法。主要内容有： 周期函数分解为傅里叶级数；非正弦周期电流、电压的频谱；非正弦周期电流、电压的有 效值、平均值和平均功率；非正弦周期电流电路的分析计算方法一一谐波分析法；电力系 统中对称三相电路的高次谐波；傅里叶级数的指数形式及其相应的频谱；傅里叶积分及傅 里叶变换。第一节内容提要、周期函数的傅里叶级数形式周期为T的函数f ( t )如果满足狄里赫利条件，则可以展开成级数形式f ( t ) = ao+( aicos t +

2、 bis in t )+ ( a2cos2 t + b2s in2 t ) +( akcosk t + bks ink t ) +=ao+( akcos k t + bks in k t )k=1=Ao+Aksin(k t +k)k=12上式中角频率 =。以上无穷三角级数称为傅里叶级数。T比较以上两种级数形式，不难得出Ao= aoAk= pakb2.akk= arctg -bk式中，常数项Ao称为f(t )的直流分量；Aisin( t+i)称为f ( t )的一次谐波分量或基波 分量；Azsin(2 t+2)称为f ( t )的二次谐波分量；A3Sin(3 t+3)称为f ( t )的三次谐波

3、 分量。二次及二次以上的谐波分量称为高次谐波。习惯上将k为奇数的分量称为奇次谐波，将k为偶数的分量称为偶次谐波。二、非正弦周期电流、电压的有效值、平均值1、有效值周期电流有效值的定义式为=1；i2dt T对于求非正弦周期电流的有效值上述定义式仍然是实用的。ao、ak、bk称为傅里叶系数。设有一个非正弦周期电流i ( t )的傅里叶级数展开式为i(t)=I0+11msin(t+1) +l2msin(t+2) +l3msin(t+3)+将该式代入电流有效值的定义式21) l2mSin(2 t+2) bmSin(3 t+3)dt同理可以求出电压有效值2、平均值1T由平均值的概念，一个周期函数f (t

4、 )的平均值为亍f (t)dt，这就是傅里叶系数a或者Ao,也这就是非正弦周期函数的直流分量。以上平均值称为实际平均值。在电工技术和电子技术中，为了描述交流电压、电流经过整流后的特性，将平均值定 义为取绝对值之后的平均值。以电流为例1Iav= - olf(t)dt设正弦电流i ( t )= Imsin t，贝UImsin t就是i( t )全波整流后的波形。Iav=To I1msintdt=丨口osintdt2ImT；2Im= ( cos t)02=0.637 lm=0.898 I这种平均值称为绝对平均值。三、非正弦周期电流与电压的测量1、 磁电式仪表1T磁电式仪表的指针偏转角正比于周期函数的

5、平均值f(t)dt,用它测出的是电流或T0电压的直流分量，故测量直流电流或电压就用这种仪表。2、 整流式仪表整流式仪表的指针偏转角正比于周期函数绝对值的平均值，但是在制造仪表时已经把 它的刻度校准为正弦波的有效值，即全部刻度都扩大了1.11倍，故用它测出的是电流或电压是有效值。3、 电磁式仪表、电动式仪表电磁式仪表或电动式仪表的指针偏转角正比于周期函数的有效值，故用它测出的是电 流或电压是有效值。这两种仪表既可以测量交流也可以测量直流。四、非正弦周期电流电路的平均功率1T1T022 2 2 221212323u2222u2121u2020=u2 2 0 0由平均功率的定义：P=p(t)dt=u

6、(t)i(t)dtT 0 l，J o、，、，将电压和电流的傅里叶级展开式代入上式1TP=u(t)i(t)dt= Uolo+Uilicos1+ U2I2COS2+Uklkcosk+T0= P0+ P1+ P2+Pk+上式中的Uk、Ik分别是第k次电压电流谐波分量的有效值，k是第k次电压电流谐波分量的相位差，Pk是第k次谐波分量的平均功率。由上述分析结果表明只有同频率的电压、电流谐波分量才构成平均功率，不同频率的 电压、电流谐波分量不构成平均功率；非正弦周期电流电路的平均功率等于各次谐波平均 功率之和。五、非正弦周期电流电路的分析计算1、 一般非正弦周期电流电路的计算步骤(1)将非正弦激励展开成为

7、傅里叶级数。即将非正弦函数展开成为直流分量和各次 谐波分量之和。(2)分别计算直流分量和各次谐波分量作用于电路时各条支路的响应。当直流分量 作用于电路时，采用直流稳态电路的计算方法；当各次谐波分量作用于电路时，采用交流 稳态电路的计算方法 相量法。(3) 运用叠加原理，将属于同一条支路的直流分量和各次谐波分量作用产生的响应 叠加在一起，这就是非正弦激励在该支路产生的响应。2、应注意的问题由于非正弦周期电流电路具有其特殊性，在电路计算时应注意以下问题：(1)当直流分量作用于电路时，电路中的电感相当于短路，电路中的电容相当于开 路。(2)电感和电容对于不同的谐波呈现不同的电抗值，对于k次谐波呈现的

8、感抗值为1k L;对于k次谐波呈现的容抗值为。这就是说，随着谐波频率的升高，感抗值增k c大，容抗值减小。(3)在含有电感L、电容C的电路中，可能对于某一频率的谐波分量发生串联谐振 或并联谐振，计算过程中应注意。六、对称三相非正弦电路分析1、对称三相非正弦电压的特征仅含奇次谐波的对称三相非正弦电压，其展开式为UA= U1msi n(U7msi n(7t +1) + U3msin(3 t +3)+ U5msin(5 t +5)+t +7)+UB= U1msin(24t -+1) + U3msin(3 t +3) + U5msin(5 t -+5) +332U7msi n(7t -+7) +32基

9、波、七次谐波(十三次谐波、十九次谐波等)，分别都是对称的三相电压，其相序 为A - B - C，即为顺序，构成顺序对称组；三次谐波(九次谐波、十五次谐波等)，其初 相位相同，相位差为零，构成零序对称组；五次谐波(十一次谐波、十七次谐波等)，分 别都是对称的三相电压，其相序为A - C - B， 即为逆序，构成逆序对称组。2、对称三相非正弦电路分析对于顺序和逆序电压激励下的对称三相非正弦电路的分析与第六章的分析方法一样；而对于零序电压激励下的对称三相非正弦电路的分析，应注意在线电压、线电流线和负载 相电压、相电流中均无零序分量。七、傅里叶级数的指数形式 我们将一个非正弦周期函数的傅里叶级数形式f

10、 ( t ) = ao+( akcos k t + bksin k t )k=l还可以变换成为另外一种形式。由欧拉公式11 . .cosk t = (ej kt+ e- j k t)，sink t =( ej k t- e- j k t)22j代入傅里叶级数可得f ( t ) =Ckej k tk=-1T上式中Ck = c f(t)e- j k tdt，上式就是傅里叶级数的指数形式。T0八、傅里叶积分及傅里叶变换利用傅里叶级数指数形式f ( t ) =Ckej k tk=-1T4Ck为复系数，且Ck=0f (t)e- j k tdto当信号的周期T趋向无限大时，=2 /T就趋近于无限小 ，由于

11、 趋近于零，k也就成为连续变量了，谐波振幅值Ck也相应变为无限小，但T Ck仍然为有限值。这样我们定义一个新的函数TT2F(j ) = T Ck = f(t)e- j k tdt =Tf(t)e- j ktdt0T2上式中，令T，取极限得F(j ) =f (t)e- j td t此式即为傅里叶积分或傅里叶正变换，它将一个时间函数变换成为频率函数。而时间函数uc= Uimsin(4U7msin(7 t -+3i) + U3msin(3t +7) +3)+ U5msin(5 t -35)+1F (j)ej td此式称为傅里叶反变换，它将一个频率函数变换成为时间函数。第二节题解与答案周期电压u的波形

12、如图8-1(a)所示。(1)试计算周期电压u (t)的最大值Um，有效值U，实际平均值(直流分量U0)，绝对平均值U(2)当分别用磁电式、整流式、电磁式电压表测量该电压时，表计的读数。图 8-1 例 8 - 1 电压波形解：(1)周期电压u (t)的最大值Um= 8V。有效值为U =斗Ju2d t=压082d t+：(-6)2d t= 5近(V)实际平均值(直流分量)为1T112U0=T0u d t=208 dt+1( 6) dt= 1(V)绝对平均值为1T |112Uav=T0u dt=208 dt+16 dt = 7(V)(2)当分别用磁电式、整流式、电磁式电压表测量该电压时，表计的读数当

13、用磁电式电压表测量该电压时，电压表的读数为实际平均值(直流分量)，即表计的读数为1V；当用整流式电压表测量该电压时，电压表的读数为绝对平均值的1.11倍，即表计的读数为1.11 Uav= 1.117= 7.77(V)当电磁式电压表测量该电压时，电压表的读数为有效值，即表计的读数为5、2，即7.07V。丿u(v8013yt(s)-6-(a)电压波形(b)电压的绝对值1Um228 - 1 u (t) =( 1+ si nt -cos2 t - cos4 t - ) V2315Um118 - 2 u (t) =4m( sin t + sin3 t + sin5 t +) V358 - 3Um8-4在

14、图8 - 2所示的电路中，已知u ( t ) = 100+30 sin t +10 sin2 t+ 5 sin3 t V,R = 25,L = 40 mH ,=314 rad / s。 求电路中的电流和平均功率。解：(1)直流分量作用：I0= 100/25 = 4(A)(2)基波分量作用I1= 30 0 /(25+ j12.56)= 305ci (3) 二次谐波分量作用12= 100 /(25+j25.12)=100 /35.4445.14= 0.28-45.14(A)(4) 三次谐波分量作用I3= 50 /(25+j37.68)=50 /45.2256.44 = 0.11-56.44(A)电

15、路中的电流为：i ( t ) = 4+1.07 sin( t -26.67 ) +0.28 sin(2 t - 45.14)+ 0.11sin(3 t - 56.44 )(A)电路中的平均功率P = U0I0+U1I1COS1+ U2|2COS2+ U3|3COS3=415.48(W)另外，电路中的平均功率还可以这样计算8 - 5为了测量电容器的容量，可采用图8 - 3所示的测量电路进行测量。其中A和V分别是电动系电流表和电压表。若已知u ( t )= Um(sin t+h3sin3 t ) V，电流表的读数 为I，电压表的读数为U。求电容C。解：电容器的电流i = cdu= c Um(cos

16、 t + 3 h3cos 3 t)d t电流表的读数为(A)=100 4 +3010710 0.28cos26.67 + -2 2cos45.145 011+-2cos 56.44P = I2R=(.42叮罟20112)225 = 415.482(W)c；，12323h h电流与电压的比值为由此可以计算出电容：c =(I1 h2) /( U.1 9h3)8 - 620 mH, 0.11F8 - 7在图8 - 4所示电路中，电源电压u ( t ) = 50+100Sin 1000t+15sin2000tV,L =40mH,C = 25 F,R = 30。试求电流表A1和A2的读数(有效值)。I1

17、(0)= UQ/ R = 50/30I2(0)=0(2)基波分量作用，电路中的感抗和容抗分别为XL= L = 1000 40 103= 40(6c=1/(C)= 1/(1000 2510)I2(1)= I3(1)=(100(3)二次谐波分量作用，电路中的感抗和容抗分别为3XL(2)=2 L = 2000 40 103= 80()(2 C)= 1/(2000 25106)= 20()j80(- j20)=40.14-41.63j80 - j202)40.14-41.63= 0.26441.63j80Z(2)= 30 +I1(2)=(15q2)=I1(2)= 0.352 41.632(2)j80-

18、j20l(2)电流表A1和A2的读数分别为(A)(A)电压表的读数为U=Um1h2I/U =(U CUm.1 9h、2)/(Um1)=(c,i 9h3)/(.i h3)=1.667(A)=40()电路对于基波分量发生并连谐振，电流I1(1)= 0,电容电流和电感电流相等2)40 = 1 .768(A)XC (2)= 1/电路的复阻抗为解：(1)直流分量作用:I1=. 1.66720.2642-1.688（A）I2=176820.3522-1.803(A)8 - 8在图8 - 5所示电路中，已知i （t ）-4 sint+2 sin( 3mH，-314 rad / s。求电路所消耗的有功功率。解

19、：（1）基波分量作用，电路中的感抗为XL(1)-:L -314 303103- 9.42（）并连电路复阻抗的模为z(1)=1529.422= :17.71（）电阻中的电流49.421R(1)=.217.71=1.50（A）（2）三次谐波分量作用, 电路中的感抗为XL(3)-:3 L : =3 31430 103-28.26（）并连电路复阻抗的模为Z(3)=,15228.262-31.99（）电阻中的电流228.261R(3)=23199=1.25(A)t+3) A ,R=15电路所消耗的有功功率丄=30P=IR2R+IR（3）2R=1.50215 + 1.25215 = 57.19（W8 -

20、9125.9 V, 200 V。8- 10对称三相发电机A相电压为 UA（ t ） =215 . 2 sin t - 802+102sin5 t V，供给三相四线制的负载如图8 - 6所示。基波阻抗为Z= 6+j 3线阻抗Z0=1+j 2。（1）求：线电流、中线电流、负载吸收的功率；（2）如果中线断开，再求线电流、中线电流、负载吸收的功率及两中点间的电压。sin3 t冲图 8 - 6解：（1）当中线连通时，基波分量作用，电源中点与负载中点为等位点。设UA=2150 V。A相负载基波阻抗Z=6 + j 3 =6.7126.56（）A相负载基波电流lA=UA（1）/ Z（1）= 2150 / 6.7126.56 = 32.05-26.56（A）三次谐波分量作用，电源中点与负载中点为非等位点。设UA（3）=80 0 V。A相电路三次谐波阻抗Z（3）= 6 + 3 j 3 + 3（1+3 j 2）= 9 + j 27 =