山西省忻州一中等四校2015届高三第一次联考文科数学试卷(解析版)

1、山西省忻州一中等四校2015届高三第一次联考数学试题（文）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养运算能力的考查.知识考查注重基础、突出主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、概率等；考查学生分析问题解决问题的综合能力，是份较好的试卷.第卷 客观卷 共60分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一

2、项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）【题文】1. 已知集合，则 A. 1,2 B. 0,2 C. -1,1 D. (0,2)【知识点】集合运算A1【答案解析】B由题意得M= N= 0,2故选B【思路点拨】先算出两个集合再求交集。【题文】2. 若为虚数单位 ，则 A. B. C. D. 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】A -i-=-i-i=-2i故选A【思路点拨】先化简分式子分子分母同时乘以1-i得到结果【题文】3. 集合，从集合中各任意取一个数，则这两个数的和等于的概率是 A. B. C. D. 【知识点】古典概型 K2【答案解析】C 从A，B中各取任意一

3、个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：故选C【思路点拨】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案【题文】4. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为 A.y=±2x B. y=±x C. y=±x D. y=±x【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案解析】Ce 故可设a2k，c，则得b，渐近线方程为 y±x±x，故选C【思路点拨】由离心率的值，可设a2k，c,则得b，可得的值，进

4、而得到渐近线方程【题文】5. 已知等差数列的前项之和为，则 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18【知识点】等差数列的钱n项和D2【答案解析】B根据等差数列的求和公式可得：s13=13a1+ d=39，化简得：a1+6d=3，所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3（a1+6d）=3×3=9故选B【思路点拨】根据等差数列的前n项和的公式列得s13=39，化简得到一个关系式，然后利用等差数列的通项公式表示出所求的式子，整体代入可得值。【题文】6. 下列说法正确的是 A. 命题“x0R，x02x01<0”的否定是：“xR，x2x1>0”

5、;B. “x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件;C. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2=1，则x1;D. 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题.【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2【答案解析】D命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“对任意xR，均有x2+x+10”，故排除A；“x2-5x-6=0”“x=-1或x=6”，“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，排除 B 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，故排除C；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，D正确；

6、x1？是否y=1-x输出y结束y=x2输入x开始【思路点拨】命题的否命题需即否定题设，又否定结论，故排除C；原命题和其逆否命题互为等价命题，同真假，故只需判断原命题的真假即可；特称命题的否定是全称命题，排除A；解方程x2-5x-6=0，即可发现此结论为充分不必要条件，排除 B【题文】7. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入的值为A2 B C2或3 D2或3【知识点】算法与程序框图L1【答案解析】由题意得1-x=4 或者=4 所以x=-3 或x=2 或-2又因为x=-2 不符合所以应设取，故选D【思路点拨】给定输出结果必须从两面考虑 都有可能等于4【题文】8. 函数的零点所在的一个区间

7、是 A. (，) B. (，) C. (，1) D. (1，2) 【知识点】 函数与方程 B9【答案解析】C因为2×0.5-1+log20.5=log20.50，2×1-1+log21=10，又在（0.5，1）上函数y=2x-1+log2x的图象是连续不断的一条曲线，所以函数y=2x-1+log2x在区间（0.5，1）上存在零点故选C【思路点拨】判断函数在区间端点处函数值的符号，当它们异号时存在零点【题文】9. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的面积为，则 A. 2 B. 4 C.6 D. 8【知识点】抛物线及其几何

8、性质 H7【答案解析】BOFM的外接圆与抛物线C的准线相切，OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，圆面积为9，圆的半径为3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|= ，+ =3p=4故选：B【思路点拨】根据OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】10. 已知一个棱长为的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为A. B. 3 C. 4 D. 【知识点】 空间几何体的三视图和直观图 G2【答案解析】 由三视图知几何体为正方体切去一个棱台，且切去棱台的下底面直角三角形的直角边长为1，其直观图如图：截面

9、为等腰梯形，且两底边长分别为，2 ，腰长为，梯形的高为，截面面积S= 故选A【思路点拨】由三视图知几何体为正方体切去一个棱台，画出其直观图，判断截面为等腰梯形，求出底边长、腰长，再求出梯形的高，代入公式计算可得答案【题文】11. 已知函数， 若对于任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案解析B 对于f（x），当x1时，y=-x2+x(x )2+ ，在（-，递增，在（，1上递减，故此时ymax=f（）= ；当x1时，y=log0.5x是减函数，此时ylog0.51=0，；综上原函数的最大值为，故不等式f（x）-t+1恒成立，只需-t

10、+1即可，解得t1或t3故选B【思路点拨】 这是一个不等式恒成立问题，只需t+1f(x)max即可，再求分段函数的最大值，解出关于t的不等式即为所求【题文】12. 在中，角、所对的边分别为、，且边上的高为，则 的最大值是 A. 8 B. 6 C. D. 4【知识点】解三角形C8【答案解析】4 ,，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA= 而条件中的“高”容易联想到面积，aa=bcbcsinA，即a2=2 bcsinA，将代入得：b2+c2=2bc（cosA+ sinA），=2（cosA+ sinA）=4sin（A+ ），当A= 时取得最大值4，故选D【思路点拨】利用三角形的面积公式、余弦定理，

11、化简，再利用辅助角公式，即可求得结论第卷 主观卷 共90分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)【题文】13. 若实数满足，则目标函数的最大值是 【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案解析】3 由约束条件作出可行域如图由z=x+y，得y=-x+z由图可知，当目标函数过B（1，2）时，目标函数z=x+y有最大值z=1+2=3故答案为：3【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【题文】14. 已知是夹角为的单位向量，向量，若，则实数 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案解

12、析】 ，是夹角为120°的单位向量，向量= ， = =t +(1-t) =tcos +1-t=1- t=0解得t= 故答案为：【思路点拨】由已知得，由此能求出实数t【题文】15. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中为等边三角形，,则该球的体积是 【知识点】棱柱与棱锥 G7【答案解析】 由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2AB=2a，OE=a，ABC是正三角形，AB=a，AE= = AO= =, 故答案为：【思路点拨】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求

13、出球的体积【题文】16. 已知函数，将的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在上至少含有个零点，则的最小值为 【知识点】函数的图象与性质 C4【答案解析】 函数f（x）=2sinxcosx+2 sin2x =sin2x- cos2x=2sin（2x- ），y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin2（x+ ）- +1=2sin2x+1的图象，由题意可得，g（x）在a，b上至少含有1012个零点令g（x）=0，得sin2x=- ，可得2x=2k+ ，或2x=2k+ ，kz求得x=k+ ，或x=k+ 函数g（x）在每个周期上恰有两个

14、零点，若y=g（x）在0，b上至少含有1012个零点，则b不小于第1012个零点的横坐标即可，故b的最小值为 505+=，故b-a的最小值为-=，故答案为：.【思路点拨】根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1由此解g（x）=0得sin2x=- ，利用正弦函数的图象解出x，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在0，b上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值，可得b-a的最小值三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 【题文】17

15、（本小题满分12分）在公差不为零的等差数列中，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，记. 求数列的前项和.【知识点】等差数列数列求和 D2 D4【答案解析】（1）（2）设的公差为，依题意得，3分解得 ， 5分 即 . 6分 9分故 Tn=. 12分【思路点拨】利用等差等比数列的性质求出通项，然后利用裂项求和法对数列进行求和。【题文】18（本小题满分12分）如图五面体中，四边形为矩形，,四边形为梯形,且,.（1）求证：； （2）求此五面体的体积. 【知识点】空间中的垂直关系 多面体 G5 G8【答案解析】（1）略（2）（1）证明：连，过作，垂足为， 2分 又，BC=4，AB

16、=4，BM=AN=4， ，=， 4分， 6分（2）连接CN， , 8分又，所以平面平面，且平面， ， 9分 11分此几何体的体积 12分【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直，分成两部分求体积。【题文】19.（本小题满分12分）患三高疾病不患三高疾病合计男630女合计36近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽人，其中女性抽多少人？（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量，并说明你有多大的把握

17、认为三高疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式，其中）【知识点】随机抽样 变量的相关性与统计案例 I1 I4【答案解析】（1）3 （2）有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系患三高疾病不患三高疾病合计男24630女121830合计3624603分在患三高疾病人群中抽人，则抽取比例为女性应该抽取人. 6分（2） 8分 ， 10分那么，我们有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系12分【思路点拨】利用比例关系确定抽样人数，利用给的公式确定相关性【题文】2

18、0（本小题满分12分）已知函数，其中为常数，且.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间； （2）若函数在区间上的最小值为，求的值. 【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）（2） () 2分（1）因为曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，所以，即解得 4分当时，。令，解得所以函数的递减区间为： 6分(2)当时，在（1，3）上恒成立，这时在1，3上为增函数 令 ，得（舍去） 7分当时，由得，对于有在上为减函数，对于有在上为增函数，令，得 9分当时，在（1，3）上恒成立，这时在上为减函数， . 令 得 （舍去） 综上， 12分【思路点拨】求导数确定斜率求出方程确定单调区间，遇到

19、参数分类讨论，确定单调性。利用单调性确定最值去确定a。【题文】21.（本小题满分12分）已知椭圆，离心率为 ，两焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于两点,求弦长的最大值.【知识点】抛物线及其几何性质 直线与圆锥曲线 H7 H8【答案解析】（1）（2）2（1）由题得：，所以，。 3分又，所以即椭圆的方程为. 4分（2）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时 ; 当m=1时，同理可得 5分当时，设切线的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则 又由l与圆 得所以 9分因为 所以且当时，|AB|=2，由于当时，所以|AB|的最大值为2. 12分【思路点拨】根据椭圆见a b c 关系求出方程，利用根与系数的关系直线椭圆联立即可.【题文】22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲PABCDE22题图O 如图，内接于直径为的圆，