计算方法试题集及答案

1、1. x*为 精 确 值 x 的 近 似 值 ； y*f x*为 一 元 函 数 y1f x 的 近 似 值 ；y*fx*, y *为二元函数 y2fx, y的近似值，请写出下面的公式：e*x *x ：er*x *xx *y1*f 'x *x *ry1*x* f 'x *r x *f x *y2*fx*, y *x *fx*, y *y *xyr y2*f x*, y *e x *f x*, y *e y *xy2*yy2*2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。3、 分别用2.718281 ， 2.718282作数 e 的近似值，则其有效

2、数字分别有6位和7位；又取3 1.73 （三位有效数字） ，则3 1.731 10-2。24、 设 x11.216, x23.654 均具有3 位有效数字，则x1 x2 的相对误差限为0.0055。5、 设 x11.216, x23.654 均具有3 位有效数字，则x1 x2 的误差限为0.01。6、 已知近似值 xA2.4560 是由真值 xT 经四舍五入得到 , 则相对误差限为0.0000204 .7、 递推公式y0=2, 如果取 y021.41 作计算 , 则计算到 y10时, 误差为yn= 10y n-1-1,n= 1, 2,L1 108 ; 这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 .28、

3、 精确值*3.14159265，则近似值1* 3.141 和 2 *3.1415 分别有 3位和4位有效数字。9、 若 xe2.71828x* , 则 x 有 6-5。位有效数字，其绝对误差限为1/2*1010、 设 x* 的相对误差为2，求 (x*)n 的相对误差 0.02n11、近似值 x*0.231关于真值 x0.229有 ( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究(截断 )误差和 (舍入)误差；113、为了使计算346y 1023的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改x 1x 1x 1y10 (3 (416t)t)t, t1 ，为了减少舍入误差，应将表达式2001 1999 改写为写为

4、x220011999 。14 、 改 变 函 数 f (x)x 1x( x 1 ) 的 形 式 ， 使 计 算 结 果 较 精 确f x1x1x 。15、设，取 5 位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150_.16、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麽 x 具有的有效数字是 4。二、单项选择题：1、舍入误差是 ( A )产生的误差。A. 只取有限位数B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量D数学模型准确值与实际值2、3.141580 是的有 ( B)位有效数字的近似值。A 6B 5C 4D 73、用 1+ x近似表示 ex 所产生的误差是 (C

5、 )误差。A 模型B 观测C 截断D 舍入x3 14、用 1+ 3 近似表示x 所产生的误差是 ( D) 误差。A 舍入B 观测C 模型D 截断5、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。A 5B 6C 7D 86、(D)的 3 位有效数字是 0.236 × 102。(A) 0.0023549 × 103 (B) 2354.82× 10 2 (C) 235.418(D) 235.54 × 10 17、取31.732 计算 x(31)4，下列方法中哪种最好？（C）1616(A) 28163； (B)( 4 23)2； (C)(42

6、3) 2；(D)(31)4。三、计算题1. 有一个长方形水池, 由测量知长为 (50 ± 0.01)米 , 宽为 (25 ± 0.01)米 , 深为 (20±0.01) 米 , 试按所给数据求出该水池的容积, 并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式, 并求出绝对误差限和相对误差限 .解：设长方形水池的长为L，宽为 W,深为 H，则该水池的面积为V=LWH当 L=50,W=25,H=20 时，有 V=50*25*20=25000( 米 3)此时，该近似值的绝对误差可估计为2VLVWVVWHLH=WHLHLWLW H相对误差可估计为：VVrV而已知该水池的长、宽和高

7、的数据的绝对误差满足L0.01,W0.01,H0.01故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为VWHLHLWLWH25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.50V27.501.1*103rV25000V2. 已知测量某长方形场地的长a=110 米 , 宽 b=80 米. 若 aa*0.1 米 ， b b*0.1 米试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为s=ab当 a=110,b=80 时，有 s=110*80=8800( 米 2)此时，该近似值的绝对误差可估计为sassbab=b aab相对误差可估计为：rsss而已知长方形长、宽的数据的绝对误差

8、满足a0.1,b0.1故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为sb aa b80*0.1110*0.119.0r ss19.00.002159s8800绝对误差限为19.0 ；相对误差限为0.002159 。n3解：由于 f (x)xn , f ' ( x)nxn 1 ,故(x* )nxnn(x* )n 1 ( x x* )故 r(x* )nn xx*n r 0.02nx*4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？解：令Vf R4R3，根据一元函数相对误差估计公式，得3R Vf 'RR4 R2R 3RR1%fR433R从而得RR13005. 正方

9、形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2解： da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2 cm,即边长 a 的误差不超过 0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过 1 平方厘米。6假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和 100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。解： Vr 2 hV *V2rh ( r *r ) =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325V *V =2 r * r=0.0002Vr第一章插值法一、填空题：41. 设 xi (

10、i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x) 为相应的四次插值基函数，则xi42 li x i 04(x +2).2.设 xi (i=0,1,2,3,4， 5) 为 互 异 节 点 ， l i (x)为相应的五次插值基函数，则51 li x = x52x4x3xi52xi4xi31i 0f (x)2x35，则f 1,2,3,42, f 1,2,3,4,503. 已知4. f (x)3x21,则 f1, 2,3_ 3_,f1, 2,3, 4_ 0 _ 。5.设则3,=046.设和节点则=4.7. 设 f00, f 116, f 246, 则 f0,116, f 0,1,27, fx 的二次

11、牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1)。8. 如有下列表函数 :xi0.20.30.4fxi0.040.090.16则一次差商 f 0.2,0.4 =0.6。9、2、 f (1)1, f (2)2, f (3)1，则过这三点的二次插值多项式中x 2的系数为 -2，拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 为 L2 x1 x 2 x3 2 x 1 x 31 x 1 x 2 , 或222x29x810、对 f ( x)x3x1, 差商 f 0,1,2,3( 1),f 0,1,2,3,4( 0)；11、已知 f (1) 2，f (2)3，f (4)5.9 ，则二次Newton 插值多

12、项式中x2 系数为 ( 0.15 )；12、设 f (0)0, f (1)16, f (2)46 , 则 l1 ( x)x x2 ， f ( x) 的二次牛顿插值多项式为N2 (x)16x7x( x13、l0 (x), l1 (x),n1，xkl jxkk014、设一阶差商1) 。, l n (x) 是以整数点x0 , x1, , xn 为节点的 Lagrangenx j ，当 n( xk4xk23)l k (x)=2 时 k 0( x 4，则二阶差商n插值基函数， 则lk x =k0x23 ) 。15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则式16、若 f ( x )3

13、 x42x1，则差商f 2, 4, 8,16, 323p(x) 是不超过二次的多项。5二、单项选择题：1、设 f (-1)=1,f(0)=3, f (2)=4, 则抛物插值多项式中x2 的系数为 ( A)。A 05B05 C 2D -22、拉格朗日插值多项式的余项是( B), 牛顿插值多项式的余项是( C )。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2) (x xn 1)(x xn) ，Rn (x)f ( x)Pn ( x)f ( n 1) ( )( n1)!(B)(C) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2) (x xn 1)(xxn) ，R

14、n ( x)f (x ) Pn (x )f (n1)( )n 1 ( x)(n1)!(D)3、有下列数表x00.511.522.5f(-2-1.75-10.2524.x)25所确定的插值多项式的次数是（A）。（A）二次；（ B）三次；（ C）四次；（D）五次4、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（D）xi1.52.53.5f ( x i )-10.52.55.08.011.5(A) 5；(B)4 ；(C)3 ；(D)2 。95、设 li ( x ) 是以 xkk(k0,1,L, 9) 为节点的 Lagrange 插值基函数，则k 0kl i (k )( C )(A

15、) x ；（ B） k ；（ C） i ；（D） 1。6、由下列数据x01234f (x )1243-5确定的唯一插值多项式的次数为( A)(A)4 ；(B)2；(C)1；(D)3。三、问答题1. 什么是 Lagrange 插值基函数 ?它们有什么特性？答：插值基函数是满足插值条件的 n 次插值多项式，它可表示为并有以下性质，2.给定插值点可分别构造Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？答：给定插值点后构造的Lagrange 多项式为Newton 插值多项式为它们形式不同但6都满足条件, 于是它表明 n次多项式有 n+1 个零点， 这与

16、n 次多项式只有n 个零点矛盾， 故即与是相同的。是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算， 而每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。3.Hermite插值与 Lagrange 插值公式的构造与余项表达式有何异同？答： Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange 插值复什一些，但它 们 都 用 基 函 数 方 法 构 造 ， 余 项 表 达 式 也 相 似 ， 对Lagrange插 值 余 项 表 达 式 为，而 Hermite 插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1 个

17、条件，则余项中前面因子为后面相因子改为即可得到Hermite 插值余项。四、计算题1、设 fxx75x31 , 求差商f20 ,21 , f20 ,2 1,2 2 , f20 ,2 1,L ,2 7 , f20 ,21,L ,2 8解： f 207, f21169, f2216705 ，故f20,21162, f21,228268, f20 ,21 ,222702根据差商的性质，得f201, 27f71,2 ,L7!f201, 28f80,2 ,L8!xi :122、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式: yi23yi'11解：根据已知条件可求得0 x22 x 5 x 122x 1 x

18、2 , 1 x0 x22x 1 x 2 , 1 xx 2 x 1代入埃尔米特三次插值多项式公式7p3 x y0 0 x y1 1 x y0'0 x y0'1 x222x 2 x 12=2 2x 1 x 23 2 x 5 x 1x 1 x 23、如有下列表函数 :xi01234f xi36111827试计算此列表函数的差分表, 并给出它的牛顿插值多项式及余项公式.解：查分表如下：xififi2 fi3 fi4 fi03163211513187104279100N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0 x 14、给出 ln x 的函数表如下：x0.

19、400.500.600.70ln x0.9162910.6931470.5108260.356675试用线性插值和抛物插值求ln 0.54 的近似值。5已知x-112F（x）31-1请依据上述数据求f(x) 的 2 次 Lagrange 插值多项式。8解：记 x01, x11, x22,则 f ( x0 )3, f ( x1 )1, f ( x2 )1所以 L2 ( x)f (x0 ) ( xx1 )( x x2 )f (x1) ( xx0 )( x x2 )( x0x1 )( x0x2 )( x1x0 )( x0x2 )f (x2 ) ( xx0 )( x x1 )(x2x0 )( x2x1

20、 )3( x1)( x2)1 ( x1)( x2)11)(12)(11)(12)(1)( x1)( x1)(21)(21)1 (x 1)(x2)1 ( x 1)(x2)1 ( x1)( x1)2236. 用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f (1)=3, 并写出插值余项。解：根据 Lagrange 插值多项式和 Newton 插值多项式得出L2 xN2x3x22x1设待插值函数为：H 3 x N2 x k x 0 x 1 x 2根据H3 1f '13, 得参数 k 1,则H 3 xx31.插值余项为：f 4R3 xf x H 3

21、x2x x 1 x 24!7、 已知xi1345f (xi )2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f (x) 的三次插值多项式P3 ( x) ，并求 f (2) 的近似值（保留四位小数）。L3 ( x) 2(x3)( x4)( x5)( x1)( x4)( x5)(13)(14)(16(31)(34)(35)答案：5)5 ( x 1)( x 3)( x 5)4 (x 1)( x 3)( x 4)( 41)( 4 3)(4 5)(51)(5 3)(5 4)差商表为9xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-101 4P3 ( x) N 3 ( x) 2 2( x 1) (

22、 x 1)( x 3)1 (x 1)( x 3)( x 4)4f (2) P3 (2) 5.58、已知 sin x 区间 0.4 ， 0.8 的函数表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin 0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。| R2 ( x ) |M3| 3( x) |3( x) |答案：解：应选三个节点，使误差3 !尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果sin 0.638910.596274，且sin0

23、.638910.5962741 (0.638910.5)(0.638919 0.6)(0.638910.7)3!0.550321049、取节点 x00, x1 0.5, x21 , 求函数 f ( x)ex 在区间 0,1上的二次插值多项式 P2 ( x) ,并估计误差。P2 ( x)e 0( x0.5)( x1)e 0.5(x 0)( x 1)解：( 00.5)( 01)(0.5 0)(0.51)e 1( x0)( x0.5)(10)(10.5)2( x0.5)( x1)4e 0.5 x( x 1)2e 1 x( x0.5)f (x)e x , f(x)e x , M 3max | f( x

24、) | 1又x 0,110| R2 ( x) | |e xP2 ( x) |1 | x( x0.5)( x 1) |故截断误差3!。10、已知 f (-1)=2， f(1)=3 ， f(2)=-4 ，求拉格朗日插值多项式L2 ( x) 及 f(1 ， 5) 的近似值，取五位小数。L2( x) 2( x1)( x 2)3 (x1)( x 2)4 ( x 1)( x 1)解：(11)( 1 2)(11)(12)(21)(2 1)21)( x 2)341)( x1)( x( x 1)( x2)( x323f (1.5)L2 (1.5)10.041672411、(12分 ) 以 100,121,144

25、 为插值节点，用插值法计算115 的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：11000112110.0476190114420.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555f ' ' ' x3x852f '' 'R3!51 310026 8115 100 115 121 115 14415 6 29 0.0016312、 (10 分 ) 已知下列函数表：x0123f (x )13927(1) 写

26、出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2) 作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算f (1.5)的近似值。解：（ 1）L3 ( x )( x1)( x2)( x3)( x0)( x2)( x3)( x0)( x1)( x3)( x0)( x1)( x2)(0 1)(02)(03)(10)(12)(13)( 20)( 21)( 23)(30)( 31)(32)4x32 x 28x133110113229624（2）均差表： 3271863N 3 ( x ) 1 2x 2 x ( x 1)4 x ( x 1)( x 2)3f (1.5)N 3 (1.5)513、已知 y=

27、f （x）的数据如下x023f （ x） 132求二次插值多项式及 f （2.5 ）解：14、设（ 1 ） 试 求在上 的 三 次Hermite插 值 多 项 式H （ x ） 使 满 足H（ x）以升幂形式给出。（ 2）写出余项的表达式解（ 1）（ 2）第四章数值积分12一、填空题2x 2 dx ，利用梯形公式的计算结果为1 、求2.5，利用辛卜生公式的计算结果为12.333。2 n 次插值型求积公式至少具有n次代数精度，如果n 为偶数，则有n+1次代数精度。3 梯形公式具有 1 次代数精度， Simpson 公式有3 次代数精度。nb4. 插值型求积公式Ak fxkf x 的求积系数之和b

28、-a。ak01xdx位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛5、 计算积分 0.5, 取 4卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3 。56、 已知 f (1)=1, f(3)=5,f(5)=-3, 用辛普生求积公式求f (x)dx12)。1 (7、 设 f(1)=1 ， f(2)=2 ， f(3)=0，用三点式求f (1) (2.5 )。8、若用复化梯形公式计算个求积节点。1ex dx06，要求误差不超过10 ，利用余项公式估计， 至少用477121)8 f (0) f (1)f ( x )dx f (9、数值积分公式19的代

29、数精度为2。10 、 已 知 f (1) 1.0, f (2)1.2,f (3)1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31 f ( x)dx _, 用三点式求得f (1)。答案： 2.367 ， 0.2510、数值微分中，已知等距节点的函数值， 则由三点的求导公式，有11、对于 n+1 个节点的插值求积公式至少具有n 次代数精度 .二、单项选择题：1、等距二点求导公式f (x1)( A )。( A ) f ( x1 )f ( x0 )(B) f ( x1 )f ( x0 )(C) f ( x0 )f ( x1 )( D)f ( x1 )f ( x0 )x1x0x0x1x0x1x1x0bnCi

30、( n ) f ( xi )f ( x)dx(b a)(n )2、在牛顿- 柯特斯求积公式：ai 0中，当系数 Ci是负值时，公13式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（A）时的牛顿 - 柯特斯求积公式不使用。（A） n 8 ， （ B） n 7 ， （ C） n 10 ， （ D） n 6 ，三、问答题1. 什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？答：一个求积公式如果当为任意m 次多项式时，求积公式精确成立，而当为次数大于m次多项式时，它不精确成立，则称此求积公式具有m次代数精确度。根据定义只要令代入求积公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。四、计算题1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度 .(1)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。令代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3 次代数精确度。（ 2）14（ 3）解：令代入公式精确成立，得解得，得求积公式对故求积公式具有2 次代数精确度。1f (0) A1 f (1) B0 f ' (0) ， 已 知 其 余 项 表 达 式 为2.求 积 公 式f ( x)dx A00R( f )kf '&#