最佳水库捕鱼问题__终结版__论文

1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 20019014 所属学校（请填写完整的全名）： 湖南城市学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 许丹丹 2. 段智强 3. 杨永吉 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 8 月 11 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：最佳水库捕鱼问题摘要 在已知鱼的总量、水位、水位随时间的变化关系、鱼损失的变化率随水

3、位的变化关系、捕鱼成本随水位的变化关系及不同供应量时鱼的价格的情况下，要求下面几个问题： 问题一：建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系，主要是考虑当随捕鱼量取不同值时，鱼的价格，然后再把其联系在一块，做出其函数关系。 问题二：建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，由于是自然放水，所以水的深度和时间是一个一次函数的关系，但水的深度降低时，捕捞成本越来越低，并且降低的速度越来越快。经过一系列的模型建立与求解最终得出捕捞成本随时间的函数关系 问题三：当水位下降时，捕鱼的损失率会越来越大，并且其损失率会加速增大，据查询的可靠资料，最后得出水位和损失率的关系跟反函数图像最接近，最后就采用以水位为自

4、变量，损失率为因变量建立模型，最终的出其函数模型为：，然后再联系水位与时间的关系，最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系为：，并将所求的函数关系用MATLAB软件制图，生动形象地体现其关系。 问题四：为取得最大的总经济效益，保证在放水的过程中，每一天都达到了最大的经济利润。其中要考虑到捕鱼成本随水深的变化和损失率随水深的变化，同时水深又是随时间的变化，建立相应的目标规划模型，用lingo软件求解得出：捕捞量天数1234567 417 417 418 419 420 421 422捕捞量天数891011121314 1183 1275 1280 1286 1292 1300 1309捕捞量

5、天数15161718192021 1320 1333 1350 1371 1400 866 500 最后求得总的利润为： 299759.8 元 关键词：函数关系 反比例函数 目标规划 MATLAB软件 LINGO软件 一、问题重述 在已知日供应量在400公斤以下，价格为20元/公斤，日供应量在4001200公斤，超过部分价格降至18元/公斤，日供应量超过1200公斤时，超过部分价格降至15元/公斤，当水位于10米时，捕捞成本为每公斤5元，当水位降至2米时，为1元/公斤，随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位2米时损失率为20%，联系鱼的总量、水位、水位随时间的变化关系、鱼损失的变

6、化率随水位的变化关系、捕鱼成本随水位的变化关系及不同供应量时鱼的价格的情况下，解决以下的几个问题：问题1：建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系；问题2：建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系；问题3：讨论损失率与水位关系，并进一步建立简明合理的草鱼损失率随时间变化的函数关系； 问题4：如何捕捞并将鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二、模型假设1）假设鱼在这段时间体重没有变化。2）假设鱼在这段时间内没有出生和死亡。3）假设水下降的深度呈线性模式。4）假设水的深度与捕捞成本之间的函数关系精确。5）假设水的深度与损失率之间的函数关系精确。3、 定义与符号说明每日捕鱼的重量Q收益J在某数量区间的鱼的价格

7、t时间天数C捕捞成本S捕捞鱼的损失率日供应量总利润日利润四、问题分析与模型准备 对于某水坝有20000斤鱼，在自然放水的情况下，考虑到每天水库的水的深度在不断地变化，伴随着捕捞成本的降低、损失率的增大，为获得最佳的总利润，就必须保证每天的利润是最大的，在这就必须处理好时间、捕捞成本、损失率、日利润之间的关系。由于水的深度降低时，捕捞成本越来越低，并且降低的速度越来越快，水深降低时，捕鱼的损失率也呈加速增加，所以并不能单纯地考虑用一次函数，而应该二次函数、反函数等其它函数，求得函数之后再用MATLAB制图。对于第四问，要求最佳的效益，就必须求得每天的捕鱼量、损失率、捕捞成本，所以就得建立相应的目

8、标函数、约束条件，最后用LINGO求解。五、模型的建立于求解5.1.1问题分析： 因为在已知鱼的供应量在400kg以下，价格为20元/kg，日供应量在4001200公斤，超过部分价格降至18元/公斤，日供应量超过1200公斤时，超过部分价格降至15元/公斤以下，日供应量到1800公斤处于饱和。所以根据以上的条件就可以得出草鱼的销售收益随供应量量变化的函数关系。5.1.2模型的建立与求解: 将已知化为函数关系：日供应量与日捕捞量的关系是： （=1,2,3 21）（其中 表示每天日供应量，表示损失率，表示每天的捕捞量） （表示价格，=1,2,3 21） 所以得出函数： （表示受益） 最终用图形表示

9、为： <图一>销售收益随供应量变化的关系图5.2.1问题分析： 由已知可以分析得出：由于是自然放水，所以水的深度和时间是一个一次函数的关系，所以可以建立相应的数学函数。然后再讨论水深和捕捞成本之间的关系，联合实际得：但水的深度降低时，捕捞成本越来越低，并且降低的速度越来越快。同时所求的模型必须经过当水深10米时，捕捞成本为5元，但水深2米时，捕捞成本1元。所以根据其要求建立合理的数学模型。5.2.2模型的建立与求解： 水深随时间的关系： .模拟水深和捕捞成本关系图，并分析其函数，经过一系列的思考实验最终找到最合适的函数关系。可以把它当成二次函数以（2,1）、（10,5）两点间的连线

10、作为对称轴对称的图形。将图形所过的两点（2,1）、（10,5）代到二次函数的模型中去，得出，所得函数为： .（其中表示水位，表示捕捞成本）再根据两点，得其连线的直线方程（对称轴）： .由已知的二次函数及对称轴，可以得出其对称图像的函数式为： .再将式 代到式可以得出捕捞成本与时间的关系式为： .将捕捞成本与水深的关系图： <图二>捕捞成本与水深的关系图 捕捞成本与时间的关系图如下： <图三>捕捞成本与时间的关系图5.3.1问题分析：联系实践情况，当水位下降时，捕鱼的损失率会越来越大，并且其损失率会加速增大，所以不能把损失率与水位的关系当成一次函数来处理，经过理智性的考虑

11、和可靠资料的查询，最后得出水位和损失率的关系跟反函数图像最接近，最后就采用以水位为自变量，损失率为因变量建立模型。然后再联系水位与时间的关系，最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系。5.3.2模型的建立与求解： 由问题的合理分析，最终决定将水位与捕鱼的损失率确定为反函数关系，基本模型为，将最低水位2米时损失率为20%代入基本模型，即可以求出，所以损失率与水位的关系为： .（表示损失率，表示水位）将其用图像的直观地描述出来，见下图： <图四>损失率与水深的关系图再联系水位与时间的关系 .将其带入损失率与水位的关系式 . 中，即得出损失率与时间的关系： .再将其用图像表示出来：

12、<图五>损失率与时间的关系图5.4.1问题分析：这个问题主要是求在给整个水库20000斤鱼做一次彻底清理中，为取得最大的经济效益，保证在放水的过程中，每一天都达到了最大的经济利润。其中要考虑到捕鱼成本随水深的变化和损失率随水深的变化，同时水深又是随时间的变化，主要是充分处理好这几个因素之间的联系，并利用其关系解决此问题。5.4.2模型的建立与求解：水深天数123456710.09.69.28.88.48.07.6水深天数8910111213147.26.86.46.05.65.24.8水深天数151617181920214.44.03.63.22.82.42.0 <表一>

13、;水深与时间关系表格捕捞成本天数 1 2 3 4 5 6 75.084.754.444.143.853.583.32捕捞成本天数 8 9 10 11 12 13 143.072.842.622.412.222.041.87捕捞成本天数 15 16 17 18 19 20 211.721.581.451.341.241.151.08 <表二>捕捞成本与时间关系表格损失率天数12345670.04000.04170.04350.04550.04760.05000.0526损失率天数8910111213140.05560.05880.06250.06670.07140.07690.083

14、3损失率天数151617181920210.09090.10000.11110.12500.14290.16670.2000 <表三>损失率与时间关系的表格 总利润=总收益-总捕捞成本 即 . .（其中表示总利润，表示总收益，表示每天的捕捞成本，表示日供应量，表示每日的捕捞量，表示每日的利润）目标函数：总利润=每日的利润和 . .（表示总利润表示每日的利润，表示每日的捕捞量）用LINGO求解得：捕捞量天数1234567 417 417 418 419 420 421 422捕捞量天数891011121314 1183 1275 1280 1286 1292 1300 1309捕捞量

15、天数15161718192021 1320 1333 1350 1371 1400 866 500 <表四>每天的捕捞量捕捞成本/kg天数12345675.084.754.444.143.853.583.32捕捞成本天数8910111213143.072.842.622.412.222.041.87捕捞成本天数151617181920211.721.581.451.341.241.151.08 <表五>每天的捕捞成本利润天数1234567 5883 6017 6143 6265 6383 6493 6599利润天数891011121314 17279 18779 190

16、46 19301 19531 19748 19952利润天数15161718192021 20130 20293 20443 20562 20664 12788 7460 <表六>每天的利润六、对模型的评价与改进6.1模型的优点： 1）符合现实情况，模型建立合理，精确度高。 2）运用MATLAB制图，明了，形象，有利于问题的后期探讨。 3）运用LINGO求解，准确、易解。 4）想法大胆、新颖，同时又合情合理。 5）比较合理地求出了每天的捕捞量及最佳利润。 6.2 模型的缺点 1）由于题目所给的数据不够，不能做到100%精确。 2）由于最后的数据是小数，将其进行了四舍五入。6.3模型

17、的改进： 1）增加数据量以便提高模型的精确度。 2）应考虑到鱼的自然死亡和生长。 七、参考文献1谢金鑫、薛毅编著.谢金星优化建模与LINGO.2005.2卓金武，魏永生，秦建，李必文Matlab在数学建模中的应用 M 北京：北京航空航天大学出版社，20113胡运权，郭耀煌.运筹学教程.清华大学出版社，2010.4韩中庚.数学建模方法及其应用.高等教育出版社.2009.八、附录草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系代码：clear allclcx1=1100400;y1=20x1;x2=4011001200;y2=8000+18(x2-400);x3=12011001800;y3=22400+15

18、(x3-1200);x4=1801100020000;y4=31400;plot(x1,y1,'-k.',x2,y2,'-b',x3,y3,'-r',x4,y4,'-g');xlabel('捕捞量 单位：kg');ylabel('收益 单位：元');legend('捕捞量小于400kg','捕捞量大于400kg,小于1200kg','捕捞量大于1200kg，小于1800kg','捕捞量大于1800kg小于20000kg')title(&

19、#39;草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系')捕捞成本与水深的关系代码：clcclear allx=1:1:21;y=(1/24)*x.2+5/6;plot(y,'-r*');xlabel('水深');ylabel('捕捞成本');title('捕捞成本与水深的关系图')捕捞成本与时间的关系代码：clc;clear all;t=1:1:40;c=(0.04*t.2-2.08*t+32.5)/6;plot(c,'-r*');xlabel('时间');ylabel('捕捞成本'

20、);title('捕捞成本与时间的关系图')损失率与水深关系的代码：clcclear allx=0:2:20;y=0.4./x;plot(y,'-r*');xlabel('水深');ylabel('损失率');title('水深与损失率关系图')损失率与时间关系的代码：clcclear allt=1:1:21;y=0.4./(10.4-0.4*t);plot(y,'-r*');xlabel('时间');ylabel('损失率');title('损失率与时间关系

21、图');Lingo求解结果： Feasible solution found. Objective value: 299759.8 Infeasibilities: 0.3637979E-11 Total solver iterations: 445 Model Title: The Model of Optimal Fishing Game Variable Value Reduced Cost SUMP 20000.00 0.000000 R( 1) 0.4000000E-01 0.000000 R( 2) 0.4166667E-01 0.000000 R( 3) 0.434782

22、6E-01 0.000000 R( 4) 0.4545455E-01 0.000000 R( 5) 0.4761905E-01 0.000000 R( 6) 0.5000000E-01 0.000000 R( 7) 0.5263158E-01 0.000000 R( 8) 0.5555556E-01 0.000000 R( 9) 0.5882353E-01 0.000000 R( 10) 0.6250000E-01 0.000000 R( 11) 0.6666667E-01 0.000000 R( 12) 0.7142857E-01 0.000000 R( 13) 0.7692308E-01

23、0.000000 R( 14) 0.8333333E-01 0.000000 R( 15) 0.9090909E-01 0.000000 R( 16) 0.1000000 0.000000 R( 17) 0.1111111 0.000000 R( 18) 0.1250000 0.000000 R( 19) 0.1428571 0.000000 R( 20) 0.1666667 0.000000 R( 21) 0.2000000 0.000000 M( 1) 5.080000 0.000000 M( 2) 4.750000 0.000000 M( 3) 4.440000 0.000000 M(

24、4) 4.140000 0.000000 M( 5) 3.850000 0.000000 M( 6) 3.580000 0.000000 M( 7) 3.320000 0.000000 M( 8) 3.070000 0.000000 M( 9) 2.840000 0.000000 M( 10) 2.620000 0.000000 M( 11) 2.410000 0.000000 M( 12) 2.220000 0.000000 M( 13) 2.040000 0.000000 M( 14) 1.870000 0.000000 M( 15) 1.720000 0.000000 M( 16) 1.

25、580000 0.000000 M( 17) 1.450000 0.000000 M( 18) 1.340000 0.000000 M( 19) 1.240000 0.000000 M( 20) 1.150000 0.000000 M( 21) 1.080000 0.000000 L( 1) 10.00000 0.000000 L( 2) 9.600000 0.000000 L( 3) 9.200000 0.000000 L( 4) 8.800000 0.000000 L( 5) 8.400000 0.000000 L( 6) 8.000000 0.000000 L( 7) 7.600000

26、0.000000 L( 8) 7.200000 0.000000 L( 9) 6.800000 0.000000 L( 10) 6.400000 0.000000 L( 11) 6.000000 0.000000 L( 12) 5.600000 0.000000 L( 13) 5.200000 0.000000 L( 14) 4.800000 0.000000 L( 15) 4.400000 0.000000 L( 16) 4.000000 0.000000 L( 17) 3.600000 0.000000 L( 18) 3.200000 0.000000 L( 19) 2.800000 0.

27、000000 L( 20) 2.400000 0.000000 L( 21) 2.000000 0.000000 W( 1) 5883.342 0.000000 W( 2) 6017.386 0.000000 W( 3) 6143.271 0.000000 W( 4) 6265.194 0.000000 W( 5) 6382.999 0.000000 W( 6) 6492.631 0.000000 W( 7) 6598.438 0.000000 W( 8) 17279.24 0.000000 W( 9) 18779.00 0.000000 W( 10) 19046.39 0.000000 W(

28、 11) 19301.43 0.000000 W( 12) 19531.08 0.000000 W( 13) 19748.00 0.000000 W( 14) 19952.00 0.000000 W( 15) 20129.60 0.000000 W( 16) 20293.33 0.000000 W( 17) 20442.50 0.000000 W( 18) 20562.29 0.000000 W( 19) 20664.00 0.000000 W( 20) 12787.75 0.000000 W( 21) 7459.998 0.000000 Q( 1) 416.6674 1.730000 Q(

29、2) 417.3909 -0.4866667 Q( 3) 418.1817 -0.7604348 Q( 4) 419.0515 0.8881818 Q( 5) 419.9999 -1.267619 Q( 6) 421.0526 -1.490000 Q( 7) 422.2379 0.1973684 Q( 8) 1183.003 0.000000 Q( 9) 1275.000 -0.1711765 Q( 10) 1280.000 -0.3250000 Q( 11) 1285.714 -0.4600000 Q( 12) 1292.308 2.221429 Q( 13) 1300.000 -0.645

30、3846 Q( 14) 1309.091 -0.7000000 Q( 15) 1320.000 -0.7136364 Q( 16) 1333.333 2.010000 Q( 17) 1350.000 -0.6200000 Q( 18) 1371.429 2.145000 Q( 19) 1400.000 0.000000 Q( 20) 865.5418 0.8000000E-01 Q( 21) 499.9998 -0.9900000 G( 1) 400.0007 0.000000 G( 2) 399.9996 0.000000 G( 3) 399.9999 0.000000 G( 4) 400.0037 0.000000 G( 5) 399.9999 0.000000 G( 6) 400.0000 0.000000 G( 7) 400.0149 0.000000 G( 8) 1117.281 0.000000 G( 9) 1200.000 0.000000 G( 10) 1200.000 0.000000 G( 11) 1200.000 0.000000 G( 12) 1200.000 0.000000 G( 13) 1200.000 0.000000 G( 14) 1200.00