第五讲 幂函数与二次函数经典难题复习巩固

1、DSE金牌化学专题系列 精典专题系列第5讲 幂函数与二次函数1、 导入： 名叫抛弃的水池 一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？”他答道：“试过了。”“不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。”精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。这病人跳进了水池，泡

2、在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。2、 知识点回顾：1幂函数的定义形如 (R)的函数称为幂函数，其中x是 ，为 25种幂函数的图象35种幂函数的性质 函数性质yx定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0

3、，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数在 (，0)上是减函数；在 (，0)上是增函数增函数增函数在(，0上是减函数；在 0，) 上是减函数定点(1,1)4二次函数的解析式(1)一般式：f(x) ；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x) ；(3)双根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x) (a0)5二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域RR值域，)(，最值 单调性在x 上单调递减在x 上单调递增在x 上单调递增在x 上单调递减奇偶性当 时为偶函数， 时为非奇非偶函

4、数顶点(，)对称性图象关于直线 成轴对称图形三、专题训练：考点一幂函数的概念已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数；(5)是二次函数自主解答(1)f(x)是幂函数，故m2m11，即m2m20，解得m2或m1.(2)若f(x)是幂函数且又是(0，)上的增函数，则m1.(3)若f(x)是正比例函数，则5m31，解得m.此时m2m10，故m.(4)若f(x)是反比例函数，则5m31，则m，此时m2m10，故m.(5)若f(x)是二次函数，则5m32，即m1，此时m2m10，故m1.变式

5、训练：幂函数 在(0，)上是减函数，求m的值解：函数是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m33，函数为yx3，在(0，)上是减函数当m1时，m22m30，函数为yx01(x0)，在(0，)上是常函数m2.考点二幂函数的图象和性质已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，)(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时：f(x)>g(x)；f(x)g(x)；f(x)<g(x)自主解答(1)设f(x)x，其图象过(，2)点，故2()，解得2，f(x)x2.设g(x)x，其图象过(2，)点，2，解得2.g(x)x2.(2)在同一坐标系下

6、作出f(x)x2与g(x)x2的图象，如下图所示由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(1,1)与(1,1)当x>1或x<1时，f(x)>g(x)；当x1或x1时，f(x)g(x)；当1<x<1且x0时，f(x)<g(x)变式训练：若幂函数f(x)(mN*)是偶函数，且在(0，)上单调递减，求满足<的a的取值范围解：函数f(x)在(0，)上递减，m22m3<0，解得1<m<3.mN*，m1,2.又m22m3是偶数，而222×233为奇数，122×134为偶数，m1.而y在(，0)，(0，)上均为减函数，<

7、等价于a1>32a>0，或0>a1>32a或a1<0<32a.解得a<1或<a<.故a的取值范围为a|a<1或<a<考点三二次函数的解析式已知二次函数f(x)同时满足条件：(1) f(1x)f(1x)； (2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式自主解答依条件，设f(x)a(x1)215(a<0)，即f(x)ax22axa15.令f(x)0，即ax22axa150，x1x22，x1x21.而xx(x1x2)33x1x2(x1x2)233×2×(1)2，

8、217，则a6.f(x)6x212x9.变式训练：已知f(x)为二次函数，且f(2)f(1)1，f(x)max8，求f(x)的解析式解：f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x，又f(x)max8，设f(x)a(x)28(a<0)又f(2)1，a(2)281.解得：a4，f(x)4(x)284x24x7.考点四二次函数的图象和性质已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且f(x)最小值是1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)若h(x)f(x)g(x)在区间1,1上是增函数，求实数的取值范围自主解答(1)依题意，设f(x)ax(x2)ax22ax(

9、a>0)f(x)图象的对称轴是x1，f(1)1，即a2a1，得a1.f(x)x22x.由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，g(x)f(x)x22x.(2)由(1)得h(x)x22x(x22x)(1)x22(1)x.当1时，h(x)4x满足在区间1,1上是增函数；当<1时，h(x)图象对称轴是x，则1，又<1，解得<1；当>1时，同理则需1，又>1，解得1<0.综上，满足条件的实数的取值范围是(，0思考：若f(x)x22ax1a在x0，1上的最大值为2，求a的值.解：二次函数的图象的对称轴为xa，,分三种情况讨论.,当a<0时，如图(

10、1)所示，f(x)在0,1上递减，f(x)maxf(0)1a，1a2，解得a1，满足a<0，a1.当0a1时，如图(2)所示，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，a2a12，解得a.0a1，舍去a.当a>1时，如图(3)所示，f(x)在区间0,1上递增，f(x)maxf(1)2aaa，a2，满足a>1，a2.综上，可知a的值为1或2.变式训练：已知f(x1)x22x7，xt1，t，求f(x)的最小值(t)的表达式 解：令x1m，则xm1，f(m)(m1)22(m1)7m24m4，f(x)x24x4.又xt1，t时，x1t，t1，函数f(x)的定义域为t，t1，即f(

11、x)x24x4(x2)28，xt，t1函数f(x)的图象的对称轴是x2，开口向上如图，当t1<2，即t<1时，(t)f(x)minf(t1)t22t7.如图，当t2t1，即1t2时，(t)f(x)minf(2)8.如图，当t>2时，(t)f(x)minf(t)t24t4.综上所述，(t) 考题印证(2010·全国卷)直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_规范解答如图，作出yx2|x|a的图象，若要使y1与其有4个交点，则需满足a<1<a，解得1<a<.1幂函数的图象和性质(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠

12、近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2二次函数的解析式的求法求二次函数的解析式常用待定系数法其解题关键是根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把具有某种确定形式的数学问题通过引入一些待定的系数，转化为方程来解决3 二次函数的区间最值问题的解法 二次函数的区间最值问题，一般有三种情况：(1)对称轴、区间都是给定的；(2)对称轴动，区间固定；(3)对

13、称轴定，区间变动解决这类问题的思路是：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成对于(2)、(3)两类，通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进行讨论四、巩固练习：1设<()b<()a<1，则下列不等关系成立的是 ()Aaa<ab<ba Baa<ba<abCab<aa<ba Dab<ba<aa解析：<()b<()a<11>b>a>0，在A和B中，yax(0<a<1)在定义域内是单调递减的，则

14、aa>ab，所以结论不成立；在C中，yxn(n>0)在(0，)内是单调递增的，又a<baa<ba，即ab<aa<ba.2(2010·安徽高考)设abc>0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是 ()解析：若a>0，b<0，c<0，则对称轴x>0，函数f(x)的图象与y轴的交点(0，c)在x轴下方答案：D3若函数f(x)是幂函数，且满足3，则f()的值等于()A3 BC3 D.解析：依题意设f(x)x(R)，则有3，即23得log23，则f(x)，于是f().4已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)>0的解

15、集是(0,4)，且f(x)在区间1,5上的最大值是12，则f(x)的解析式为_解析：设f(x)ax2bxc，由f(x)>0的解集是(0,4)可知f(0)f(4)0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x2，再由f(x)在区间1,5上的最大值是12，可知f(2)12.即解得f(x)3x212x.5当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立，则m的取值范围是_解析：x2mx4<0对x(1,2)恒成立，mx<x24，m<(x)对x(1,2)恒成立又4<x<5，5<(x)<4，m5.6已知二次函数f(x)ax2bxc满足条件：f(3x)f(x)

16、；f(1)0；对任意实数x，f(x)恒成立求f(x)的解析式解：依题意得：，由f(x)得ax23ax2a0恒成立，即，a1，f(x)x23x2.7、 反思总结： 当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1给出下列函数：y；y3x2；yx4x2；y，其中是幂函数的有 ()A1个B2个C3个 D4个解析：可以对照幂函数的定义进行判断在所给出的四个函数中，只有yx3和y符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数2图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，解析：yx2和y在(0，)上为增函数，且yx2的增长速度要大于y的增长速度曲线C1为yx2，曲线C2为y又yx2和y为减函数且yx2比y减小的速度快，曲线C3为y，曲线C4为yx2.3已知点(，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为 ()Af(x)x3 Bf(x)x3Cf(x) Df(x)解析：设f(x)x，则3() 即3，f(x)x3.4函数f(x)4x2mx5在区间