超市顾客人数预测问题(十一届数学建模一等奖)

1、2014南昌大学第十一届数学建模竞赛承 诺 书 我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： 报名序号是(没有或不清楚可不填):_.参赛队

2、员(打印并签名) ： 所属院系（请填写完整的全名）： 1 . 签名:_院系: _2. 签名:_院系: _3. 签名:_院系: _ 日期：2014 年 5 月 26 日2014南昌大学第十一届数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号：评阅记录：评阅人备注超市顾客人数预测问题摘 要通过对所给数据的分析发现，超市在服务窗口的设计上存在着缺陷，大大浪费了顾客的时间和超市的成本。首先我们建立了拟合模型，用它来描述顾客人流。对前四周的数据分析作图，再利用Matlab拟合出多项式，建立星期与顾客数之间的函数关系，从而预测出下一周的顾客数。在本文中我们把前四周的数据与拟合出来的多项式画在了同一张图上，发现前四周

3、的图像在多项式图像上上下波动，这说明该拟合出来的多项式是比较优质的。预测出来的数据下午最多，晚上其次，上午最少，这与实际情况也比较相符。对于窗口优化，我们力求在顾客平均等待时间和服务窗口数之间找到一个平衡点，既使得顾客在一定的等待时间内不会感到烦躁，又使得超市经营者在服务窗口方面的支出不会太高。基于这个问题，我们利用排队论的知识将超市与顾客系统化，最终利用Little公式分别计算出上午、下午和晚上的五个目标参量。将这五个目标参量制成表格后，我们可以一目了然地观测出窗口数的最优解。在对最优解的分析过程中，我们发现超市确实存在一定的资源浪费。上述这两种模型不仅在企业经营方面具有一定的指导作用，而且

4、还可以推广到军事及气象等方面。关键词：拟合模型 排队论 M/M/n模型 最优解一、前言随着我国经济社会的发展，企业在不断扩大其自身容量的同时，经营管理方面的问题日益突出。相信每个人都有过排队的经验，队伍短尚好，队伍若长则感觉不耐烦，以致于到后来不想排队。不管是在超市、在车站还是其他的地方，我们总能见到这种现象。行为科学家发现，排队时间是影响客户流失的一条主要原因。等候超过10分钟，情绪开始急躁；超过20分钟，情绪表现厌烦；超过40分钟，常因恼火而离去。让客户等10分钟的代价，是要流失20至30的客户。如何有效利用有限的人力、物力资源提高服务质量和效率是当今经济社会的一大主题。在此讨论某超市的顾

5、客人数问题。在这个问题中，我们先根据拟合模型预测了一周内超市顾客的人数，再利用排队论的知识进行了窗口数量优化。该模型不仅对减少超市的成本有一定的实际意义，而且能推广到其它深层领域。2、 研究该问题的意义在激烈的市场竞争中，如何提高经营效益、吸引更多的顾客是超市经营商最关心的问题。同时超市是人口较为聚集的地方，顾客来来往往，人们在超市选购物美价廉的商品，同时，顾客一样也会关心超市的服务效率和服务质量。前者，我们可以通过商品采集来获得质量优等的商品，而对于后者，我们就要考虑收银台窗口的优化了。收银窗口少，顾客就会因为结算时滞留在超市内，造成超市的拥堵。对于顾客，浪费了许多时间，会对超市产生不好的印

6、象，对于超市，过多的人员拥堵，就不能为后来的顾客提供宽松的购物坏境，这对超市的客源有很大的影响。收银窗口增多，又会造成成本的增加，有可能会造成资源的空间浪费。因此，超市收银窗口的合理设置，显得十分重要。为了让超市的收银速度加快，减少顾客因为结账而滞留在超市里的时间，使顾客的满意度和超市收益都提高，我们通过进行数据分析，来建立简单的超市排队模型，解决顾客结账时排队等待时间过长的问题。三、问题重述超市顾客人数预测问题： 某大型超市经营者，为了缩短顾客排队等候的时间，最直接的方式就是增加服务窗口数量，缩短排队人数，但势必会增加人员开支的成本。为了合理设置服务窗口数量，最大程度上服务更多的顾客。通过收

7、集上午、下午和晚上三个时间段内不同服务窗口的人流数据，请依据这些数据（见附录数据文件）完成以下问题：（一）建立描述顾客人流的数学模型，预测一周时间内的顾客人数；（二）从超市经营者的角度，建立超市合理设置服务窗口数量的模型，根据问题（一）的预测人数，给出超市三个时间段内合理的窗口数量，并与现有服务窗口数量进行比较，说明优劣；（三）写一篇报告提交给超市的经营者，说明你们提出的改进建议。四、模型分析1. 对问题一的分析：拟合模型曲线拟合指用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系。在数值分析中，曲线拟合就是用解析表达式逼近离散数据，即离散数据的公式化。实践中，离散点组或数据往

8、往是各种物理问题和统计问题有关量的多次观测值或实验值，它们是零散的，不仅不便于处理，而且通常不能确切和充分地体现出其固有的规律。这种缺陷正可由适当的解析表达式来弥补。由高等代数的知识可知，所有的离散点组必有其对应的多项式。也就是说，只要给定一组数据，我们总可以找到一个最接近它们图像的多项式函数。问题一给出了前四周的顾客数据，要我们预测下一周的顾客人数。也就是说，它的核心在于用前四周的数据来预测第五周的数据。有了拟合多项式函数后，我们就可以通过星期与顾客数之间的函数关系来预测任意星期的顾客数，从而问题一得到解答。2. 对问题二的分析：排队论排队论，又称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务

9、时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的所需的费用最经济或某些指标最优。服务窗口是大型超市的必带品，一方面超市不能为了赚取利润，使服务窗口过于减少，造成顾客等待时间过长。等待时间过长，很多人就可能不到这个超市买东西，这就在一定程度上造成了顾客的流失。顾客缺乏，超市资金，超市就难以维持。另一方面，超市也不能为了争取顾客，而不考虑成本。过多的服务窗口显然是没有必要的，既浪费劳动力，又增加花费。因而我们要寻找一个平衡点，使超市在服务窗口方面的费用与顾客数之间

10、达到一个最优化的状态。排队论主要研究方向可分为三个方面：（1）系统的形态分析问题。队长，等待时间和忙期是随机服务的三个主要数量指标，对于各种系统研究各项数量指标的变化规律的问题，这就是最主要的研究方向，绝大部分文献都是属于这一类的。早期的研究集中于系统的平稳性，五十年代中期以后开始注意到瞬态的研究，并逐渐成为研究焦点。（2）系统的最优化问题。系统的最优化可以分为静态的和动态的最优化问题。（3）系统的统计问题。统计问题是先于性态研究的，但是在随机服务系统理论的发展过程中，统计问题的发展进程是缓慢的。超市服务窗口的多少直接影响了顾客排队等候的时间，以及超市在服务人员方面消耗的成本。超市服务窗口与顾

11、客之间的服务与被服务关系，可以用服务系统模型来表示。我们将少数结伴而来的顾客视为有先后顺序，故顾客接受服务的过程可看作是排队论中的播送过程。为了便于模型求解，假定每个服务人员的效率相同。由于每个窗口独立排队和服务，我们可以把n个窗口服务位顾客的情况视为一个窗口服务位顾客的情况来讨论，这样就得到了一个输入过程的最简单流。服务时间为负指数分布，一个窗口，系统容量无限，顾客数无限的等待制排队模型。故第二问，我们将用排队论模型中有关服务系统的理论来分析和解决。 下面是排队的简略模型，简要说明了顾客到达至离去的过程：五、模型假设1.假设星期与顾客数相互独立2.假设顾客到达服务窗口的方式相互独立3.假设顾

12、客到达服务窗口，即使发现服务窗口均忙着，只要排队人不多，或 排队时间不长，仍然愿意排队等候4.假设只考虑先到先服务5.假设排队过程中无人插队6.假设排队过程中无人更换窗口7.假设顾客到达是均匀的8.假设所有服务人员效率相等六、符号说明（1）：误差平方和（2）：在上午、下午和晚上三个时间段内，一周的总顾客数预测值（3）：在上午时间段内，一周的总顾客数预测值（4）：在下午时间段内，一周的总顾客数预测值（5）：在晚上时间段内，一周的总顾客数预测值（6）：单位时间内平均到达的顾客数，即平均到达效率（7）：单位时间内接受服务的顾客数，即平均服务效率（8）：平均每位顾客所需的服务时间（9）：系统内排队等候

13、的平均顾客数（10）：平均忙着的服务窗口个数（11）：系统内顾客的均值（12）:顾客平均排队等待时间（13）：顾客在系统内的平均逗留时间七、模型建立问题一：由拟合模型的知识可知，要拟合出一个多项式，必须知道一个离散点组。由于顾客到超市买东西与否（即是否需要服务窗口）与周次无关，而与星期有关，即在不同的星期中顾客数是相对独立的，因而我们可以把前四周相同的星期整合求平均。该平均周次能在一定程度上反映超市顾客数的总体趋势。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y之间的函数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或倒数值，当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数在该点的数值，这

14、就要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数，办法是很多的。根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法：测量值是准确的，没有误差，一般用插值测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合已知离散点上的数据集，求得一解析函数,使在原离散点上尽可能接近给定的值，这一过程叫曲线拟合，最常用的曲线拟合是最小二乘法，即找出使下式最小的：通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则选定最佳的曲线。多项式拟合是其中一种，多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集体进行拟合，其命令为：格式：说明：求出已知数据的n阶拟合多

15、项式按降幂排列的系数p，X必须是单调的。接下来我们将各阶段的平均周次作为原始散点数组，再进行拟合。前四周每天不同时间段的总顾客数及平均周次如下：上午星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第一周4241367544603109343040813979第二周4257446237894204441037853919第三周4284457145084022439237134142第四周4230433644894449396440783679平均值425342614311.5394640493914.253929.75下午星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第一周8768825985368728

16、773085528073第二周7942859687858747792985078753第三周8092833788708581787780668323第四周8344863386218456825886858677平均值8286.58456.25870386287948.58452.58456.5晚上星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第一周6572622065746340643162126355第二周6264604956055794621557176273第三周6000430260496076589862795570第四周6090461353915788569563465781平均值623

17、1.552965904.755999.56059.756138.55994.75再对这些数据进行拟合即可。问题二：在模型分析中，我们已经说明了问题二用排队论（M/M/n模型）解决的可能。设系统有n个服务窗口，且各窗口的工作是相互独立的，顾客按Poission流到达，到达强度为P。又设顾客所需的服务时间服从指数分布，窗口平均服务率为，则整个系统的平均服务率为。当时，系统存在平稳分布。当系统处于平衡时，可列出K式方程并求出相应的平稳分布。 ， 由正则性条件，当时有= ，于是由此可求出下面几个目标参量：1. 系统内排队等候的平均顾客数2. 平均忙着的服务窗口个数3. 系统内顾客的均值4. 由Litt

18、le公式得，八、模型求解问题一的求解：上午：数据分别为（1,4253），（2,4261），（3,4311.5），（4,3946），（5,4049），（6,391.25）（7,3929.75)。设x=1:1:7；y=【4253,4261,4311.5,3946,4049,3914.25,3929.75】；发现：这些点大致地位于某条二阶曲线附近，故可考虑二阶拟合： 1.0e+003 * 0.0006 -0.0734 4.3769即拟合函数为：利用拟合出来的多项式函数预测在上午时间段内一周的顾客人数为：上午星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日预测值43044233416240934025395

19、83893故在上午这个时间段下，顾客数一周的估计值为S=28688 下图是上午的预测值散点图，从图中可以看出：该预测值呈一下降趋势，且近似分布在一条直线周围 同理，在一周内下午和晚上的情况如下：预测值星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日下午8251.98578.58611.98468.58291.18248.98537.5晚上6193.55464.45670.16036.66151.560045776.9故在一周内下午和晚上顾客数的预测值分别为58988，41297。综上：一周内上午、下午和晚上顾客数的预测值分别为28688，58988，41297；一周内顾客数的总预测值为问题二的求解：

20、问题二说要根据问题一的预测人数，给出三个时间段内的最优窗口数量。即我们现在已知三个时间段的总人数，解出最优窗口数再与题目附带表格里的窗口数量比较即可。现将已知条件列出表格如下：已知条件上午下午晚上原窗口数204136预测总人数286885898841297 在上午时间段内，国家标准的超市服务员工作时间为四小时，故可得顾客的平均到达效率，而且经过统计发现该超市每个服务窗口的平均服务效率为。又因为我们现在要求的是最优窗口数，那么该系统必然是平稳分布的，不然会造成劳动力的损失或不足。 故有 即 得从上面的已知条件可知上午开放的窗口数至多为20个，故n还必须满足。因为n为整数，所以n的最终范围为 即n

21、=18，19或20。将三组的取值分别代入公式，利用Matlab编程计算（程序见附录一）可得五个目标参量的值如下表： 181920 14.158094.9502992.321738 17.0817.0817.08 31.2380922.0302919.40173 0.8289280.289830.1359331.8289281.289831.135933观察发现，理论上按照现在超市顾客的平均到达效率、超市服务员的平均服务效率以及系统内的最大排队容量，上午超市的窗口设为19个是比较合理的。上午窗口设置为19个时，系统内排队等候的平均顾客数为4.950299人，顾客平均排队等待时间为0.28983m

22、in，服务强度为，这三项指标都比较优质。与原窗口数20比较，其优点在于在保证各项指标都比较合理的情况下减少了服务窗口数，成本也就降低了。缺点在于，虽然其系统内排队等候的平均顾客数和顾客平均排队等候时间等指标都较为合理，但与原窗口数比较仍然偏高，不够理想。同理，通过编程可得出下午和晚上的各项指标，其数据分别为：36373839404132.8054412.42746.463253.772792.328561.4803335.1135.1135.1135.1135.1135.1167.9154447.537441.5732538.8827937.4385636.590330.934360.3539

23、50.184080.107450.066320.042161.934361.353951.184081.107451.066321.04216由上表可知，在下午时间段内，窗口数设为39个是比较合理的。与原窗口数比较，其优劣与上午相同。33343536142.2573420.63949.01794.8817732.7832.7832.7832.78175.0373453.419441.797937.661774.339760.629630.27510.1489255.339761.629631.27511.148925由上表可知，在晚上时间段内，窗口数设为36个是比较合理的。与原窗口数比较，其值

24、无变化，即原窗口数是比较合理的。综上所述，最优窗口分别为：上午19个，下午39个，晚上36个。九、模型的检验拟合模型：拟合模型的检验即所得多项式的检验，这里有四种方法：（1）（2）（3） 采用C+编程，其程序代码见附录二误差平方和5.1<<=4122.5，可见拟合出来的多项式在一定程度上还是比较优质的。（4） 将该多项式函数与原来的四个函数画在同一个图中观察，拟合多项式与原各函数的比较图如下：由于减小了纵轴间距，从图中我们可以清晰地看到各个图像的走势。拟合多项式大致居于前四周图像的中部，这四条曲线沿拟合多项式曲线上下起伏。从这点可以断定，该拟合曲线较优质。排队论：由用Matlab计

25、算得的各项指标可知，系统平稳分布，各最优解比较合理。十、模型的评价与推广拟合模型与M/M/n模型是常用的两种模型，常用来解决预测与优化问题。对超市窗口的数量等此类问题具有一定的指导作用，能够为企业大大节约成本。模型的优点：（1）简明易懂，具有较好的通用性（2）模型把繁杂的数据条理化模型的缺点：模型存在近似误差，数据之间的函数关系是通过拟合产生的模型的推广：模型稍作修改可以用于气象和军事方面，也可以推广到化学方面十一、给超市经营者的改进建议 对于顾客而言，等待时间是最短的，就是最好的，这样就要求超市增加收银窗口，也就意味着超市要增加支出。对于经营者，当然想获取最大的利益，保证超市长期的客源和声誉

26、，这样就要考虑增加窗口带来的成本问题。由此，窗口优化对于超市的发展是有重要影响的。根据已有的认识，对超市提出一点意见。（1）合理划分超市的各功能区，同时要制作清晰明了，简单易懂的指示牌，指示牌要悬挂在最显眼的地方，方便顾客选购商品，不会在超市走来走去，减少超市内人员流动量。（2）合理设置导购员，有了导购员跟顾客介绍，告知顾客商品的具体位置，可以加快选购的速度，减少在超市内的逗留时间，方便为后面进来的顾客创造宽松的坏境。（3）尽量使用单队多服务台的系统，这样可以加快服务速率，减少顾客的等待时间。 (4)加强收银员的培训，收银员的形象，基本素质都能在与顾客的接触中体现出来。人们购物也关注收银员的礼

27、貌程度，面对一个礼貌的收银员，等一下也是值得的。对于超市，有时会是老顾客，他们可能知道那个收银员态度好，就会选择排那一队，由此造成顾客的扎堆，影响收银速度。因此，要定期培训收银员，考核收银员，招收银员时，也应当注重一下学历和素质。 （5）如果等待是不可避免的，应当尽量减少顾客因为等待产生的焦急情绪。超市可以选择在收银处设置几个高清大屏幕，放映一些轻松娱乐的节目，同时也可以在收银处旁边设置休息处，为等累的人提供服务。（6)应当诚信经营，在现在这个竞争的社会，谁能得到顾客的心，谁就能获得更多的利益，作为经营者，应当诚信经营，不欺瞒顾客。尽量做到服务周到，礼貌待人。十二、心得与体会这次数学建模，使我感触良多。它所教给我们的不单是一些数学方面的知