知识点一极限与连续

1、实用文案求极限的常用方法利用极限的定义数列极限白定义：limxn=au寸80,三N0,当naN时,有xn-a0250,当0|xxd6时,有f(x)A0),lima1,x=1(a0).ni:x_j二这一结论可以推广为：/kVx/k4,xlim|Za,=maxa,lim|Za,=mina,.x-wgJ1%和x-沟ITJ1利用两个重要极限limsnx=1,lim11+1=3或lim手+1=F=eTxnTdln1x渺x丁.0.1、由重要极限及变量替换可以求以下极限:sin(x)/j(x)阿T,x畋(1+j(x)=e,lim(x)=0,limg(x)=Axx0其中,ff,极限过程改为其它情形也有类似的结

2、论2、limf(x)=1,limg(x)=8设Xff,那么利用重要极限有:g(x)77寸(x)(f(x)Alimf(x)g(x)=lim1f(x)1f(x)=eA.xTxTlimg(x)(f(x)-1)=A.其中xf.利用无穷小的性质和等价无穷小替换求极限10、无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量;20、熟悉常见的无穷小量：当XT0时,有.x12xsinxtanxarcsinxarctanxln(x+1)e-1；1-cosxx；2标准文档/、g(x)j(x)A(1+j(x)=e.实用文案ax1xlna(a0,a=1)；(1+x1otx(a=0的常数),等等.30、求极限过程中,可以把积和商中的无穷

3、小量用与之等价的无穷小量替换,加与减不能替换.014、无穷小量与无穷大量之间的关系：如果f(x)为无穷大,那么为无否小；反之,fx如果f(x)为无穷小,且f(x)#0,那么为无穷大.fx利用极限与左右极限的关系limf(x)存在的充要条件是f(xo0)=f(xo+0)xT利用极限的和、差、积、商运算法那么应当注意的是：参与运算的每个函数的极限都要存在,而且函数的个数只能是有限个,在作商的运算时,还要求分母的极限不为零.利用Stolz定理：设数列bn单调增加且limbn=抬,假设liman包=口或存在,n二n也那么有liman=liman-and,由此可以证实下面的平均值定理nbnn-bn-bn

4、daa?Illanlim二limann:：nn二lima1a2HIan=limannnn=：n利用函数的连续性函数y=f(x)在x=x0处连续,那么limf(x)=f(x0)x附利用导数的定义利用定积分的定义求和式的极限利用洛必达法那么求未定式的极限或利用带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式求极限(3)无穷大量与无穷小量无穷大量是绝对值无限增大的一类变量,它不是什么绝对值很大的固定数；无穷小量以零为极限的一类变量,它也不是什么绝对值很小的固定数一.一1无穷大f(x)的倒数是无穷小量；无穷小f(x片(x)丰0)的倒数是无穷大fx无穷小是以零为极限的变量,因此,和、差、乘积的极限运算法那么自然

5、也适用于无穷小,但商的极限运算法那么不适用于无穷小,由于这时分母的极限为零,另外,无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.两个无穷小之商的极限,一般说来随着无穷小的不同而不同,从而产生了两个无穷标准文档实用文案小之间的“高阶、“同阶、“等价等概念,它们反映了两个无穷小趋于零的快慢程度如果f(x)以A为极限,那么f(x)_A=o(x)是无穷小；反之亦然.3、连续函数(1)函数f(x)在Xo处连续定义的三种不同表达形式是limf(x)=f(x0);xxVa0,m60,使当|xx0|6时,|f(x)-f(x0)|&.这最后一种表达形式与limf(x)=人的表达形式十分相似,差异在于极限定义中的不等

6、式;xxo0|x-x0|8这里变成了|x-x0|6;|f(x)-A|名变成了|f(x)-f(x0)|名.由于在探讨连续性时,必须要求f(x)在x0处有定义,且极限值A必须为f(x0).(2)连续函数的和、差、积、商在它们共同有定义的区间仍为连续函数(3)连续函数的复合函数仍为连续函数.(4)单调连续函数有单调连续的反函数.(5)一切初等函数在其定义区间内都连续.(6)闭区间a,b上的连续函数f(x)有以下重要性质：f(x)必在a,b上有界且取得最大值M与最小值m(有界、最大、最小值定理)f(x)必在a,b上取得介于f(a)与f(b)之间的任何值(介值定理)；f(x)必在a,b上取得最大值M与最

7、小值m之间的任何值;如果f(a)f(b)0,那么f(x)在开区间(a,b)内至少有一点之使得f)=0.、两个性质是介值定理的推论(7)间断点的分类购Ly=|imf(x0LX)f(xo)=0;所以因此实用文案典型例题:fanfan例1求极限 TOEX-ff可得22!22!4 4又由于oisx=l-oisx=l-+2!2!4141msx-ffmsx-ffMF例2.证实：数列万,7-7,7-广7,17一717-万,.收敛,并求其极限.证实：设该数列通项为xn,那么4+2=J7-+xn,令f(x)=&-,7+x,Mf(2)=2,xn+2=f(xn),xn42-2=f(xn)-f(2),由拉格朗

8、日中值定理得：存在巴介于x,2之间,使得f(x)-f(2)=f(Xx-2),47x7-7xxn-2|-|f(xn)-f(2|f(nflxn-2标准文档由题意得即豆=f,那么xn42一2=2xn2,0u=cn-y练习:1、利用极限四那么运算法那么.2sinxxsinx-.cosx2sinx12I!sin-costdt,x=0实用文案7,f、O4；7-工讨论它的连续性不连续2、 利用两个重要极限求极限1、2、3、xx:lim(limcos-cos.cos-x_0n.2222当常数a00,lim(叱a)ni：n-a21vlim(sin-cos-)x；xx2a2e3、利用洛必达法那么求未定式极限2-x

9、21、x-exsin32x11611、2、lim(一)x0ln(x.1x2)ln(1x)3、arctanx、1x2四(丁)1xn24、lim(nsin-)nn4、利用等价无穷小1213e6e标准文档标准文档实用文案ln(sin2xex)-x22x、2ln(xe)-x2、lim,J1_x01-cos(x1-cosx)5、利用左右极限的关系求极限1、e1x+11limarctan-x0e-1x2、|x|3、U,x00,x=0中x0,求lim(a+1n)nif(a)3、lim,x0 xf(t-)-f(t-)(t)9、利用定积分求和式的极限1、,iml#+cos+71+cos27+.J1+cosJI实

10、用文案113、limfn1n210、利用单调有界准那么求极限练习提升:10、04数三9csin百2、 limn-1sinsin将nn1nJIln21、xna.一aa,a0(n=1,2,.)求极限1、.14a211、利用泰勒公式求极限1、x221-1x2x22(cosx-e)sinx122、limcos2xsin2xx2(1x2)4,3x0 x22451、(08数学9)limX0sinx-sin(sinx)sinx提示：用等价无穷小代换或洛必达法那么2、(06数)limxln(1+x)x-01-cosx提示：用等价无穷小代换3、06数一数二12数列xn满足0cxin,xn书=sinxn,1证实x

11、n极限存在,并求之;(2)求lim(立)1弋Xn提示：1、利用单调有界公理,2、利用重要极限1、0,2、e464、03数一4)1limcosxln1*2提示：先写成指数形式5、00数一12)2+e1xsinx一.一lim(-+)(提小：讨论左右极限)I1ex|x|6、07数三4)2xx3*(sinxcosx)7、06数三4)8、05数三12)n1尸n1x1、一一.提示：用洛必达法那么9、05数三4)sinx/lim-(cosx-b)=5,贝Ua=b=1e-a1,-4xx-1limx1xlnx10)求极限lim工lnsnxJ0 xx题型一无穷小及其阶标准文档实用文案(提示：用单调有界公理,3a=

12、3aa=)212、sint求极限lim()tpsinxsinyinx,求极限f(x),并指出其间断点的类型.(f(x)=esinx,x=0可去间断点,x=kn(kwZ)为第二间断点)13、14、1/如P(2cosx)x-115(08数三4)x21,设函数f(x)=2x06x18、(05数三9)极限limxsinx一j二二2xx21求lim(xw1-e-x-1).x1、(09数1,2,3)(1)0时,f(x)=xsinax与g(x)=x2ln(1-bx)等价无穷小,1(A)a=1,b=(B)6/.1,1(C)a=1,b=(D)a=-1,b=一662、sinx234当XT0时,函数f(x)=J.s

13、intdt与g(x)=x+x比拟是)的无穷小(A)等价(B)同阶非等价(C)高阶(D)低阶(B)3、设口0,P0为任意正数,当XT十8时,将Vxa,1lnPx,e按从低阶到高阶的顺序排列.答案：1ln：x,1./x：,e*4、当XT0时,(1+ax2)13与cosx-1是等价无穷小,-325、(07数一4)当xT0+时,与G等价的无穷小量是应选(B).(A)1-ex.(B)ln1fxT.(D)1-cosx实用文案x0.x2_xo6、(04数一4)把XT0时的无穷小量a=costdt,P=tanjidt,V=fsintdt00-0使排在后面的是前一个的高阶无穷小,那么正确的排列次序是(A)a,P

14、j.(B)aJ,P.(C)P,aJ.(D)PJ,a.B题型三讨论函数的连续性与间断点的类型x1、求函数f(x)=(1+x)tan(xT4)在(0,2元)内的间断点,并判断类型2、3x-x2、(09数一,数二)函数f(x)=的可去间断的个数,那么()sin二x(A)1(B)2(C)3(D)无穷多个【答案】(C答案：x=1是第一间断点xf(t)dt4、(08数三4)设函数f(x)在一1,1上连续,那么x=0是g(x)=0的x(A)跳跃间断点(B)可去间断点(C)无穷间断点(D)震荡间断点【答案】B5、(07数一4)设函数 f(x)在 x=0处连续,以下命题错误的选项是：【答案】应选(D).(A)假设limUxl存在,那么 f(0)=0.(B)假设|imf(x)+f(x)存在,那么 f(0