汽车维修问题

1、汽车维修问题摘 要针对汽车维修问题，本文重新定义千车故障数，改进制表方式，利用曲线拟合和灰色预测，建立故障预测模型，得到预测千车故障数。同时对提高整车的质量建立优化模型，对配件的生产组织和运送给出咨询和建议方案。针对问题一：考虑到原有千车故障数统计方法会使整体数据滞后三个月，本文从改进统计方法着手，从新定义千车故障数，利用新定义的方法得到改进后的千车故障数数据表，见表1。制表建议：不同批次的轿车应分开制作表格；同一批次的轿车的使用月数应从左到右逐渐递增；在制表时增加维修总次数这一；增加故障信息轿车总量这一指标，改进后的表格见表2针对问题二：在预测0205批次使用月数为18的千车故障数时，利用行

2、数据进行曲线拟合，发现一元三次多项式拟合效果最好，建立一元三次多项式回归模型，利用matlab软件求解，经检验，模型显著，则可得0205批次的千车故障数与使用月数之间的模型为：；其中，表示0205批次使用不同月数时的千车故障数；表示0205批次使用的月数。利用该公式预测0205批次第18个月的千车故障数为197.1。在预测0306批次使用月数为9时的千车故障数时，考虑到水平和垂直方向的数据太少，故建立GM（1,1）模型，分别从横向和纵向进行预测，得到两个预测值。综合考虑水平和垂直方向数据对预测值的影响，对两个预测值取平均数，得到0306批次使用9个月时的千车故障数为147.859。在预测031

3、0批次使用12个月时的千车故障数时，由垂直方向数据的散点图可知，发现大致符合高斯分布，经检验，符合正态分布，故采用高斯拟合的方法进行预测，利用matlab求解，得到高斯分布方程如下：式中，表示0205批次使用不同月数时的千车故障数，表示表示0205批次轿车使用的不同月数。通过该公式预测0310批次使用月数为12时的千车故障数为1236.2。针对问题三：知道所有零件的千车故障数就相当于知道一部车的质量，降低零件的千车故障数就可以提升整部车的质量。针对不同零件设置不同的千车故障数降低指标，达到提升整车质量的目的，为此建立优化模型求解不同零件的千车故障数降低数值。针对问题四：对于配件的生产组织和运送

4、提出如下建议：根据产品的销量，结合企业的生产能力和质量要求，制定最优的生产计划来指导生产；使配件运输合理化，降低物流费用，加快资金周转，压缩库存、减少流动资金的占用；根据各地的千车故障数据表分配配件。关键词：汽车维修问题；千车故障数；曲线拟合；灰色模型；高斯分布；一 问题重述产品质量是企业的生命线，售后服务是产品质量的观测点，如何用好售后服务的数据是现代企业管理的重要问题之一。现以某轿车生产厂家为例考虑这个问题。假设该厂的保修期是三年,即在某轿车售出后三年中对于非人为原因损坏的轿车免费维修。在全国各地的维修站通过网络将保修记录送到统一的数据库里面，原始数据主要是这是哪个批次生产的轿车（即生产月

5、份）、售出时间、维修时间、维修部位、损坏原因及程度、维修费用等等。通过这样的数据可以全面了解所有部件的质量情况，若从不同的需求角度出发科学整理数据库中的数据，可得到不同用途的信息，从而实现不同的管理目的。整车或某个部件的“千车故障数”是一个很重要的指标，常用于描述轿车的质量。首先将轿车按生产批次划分成若干个不同的集合（下面表格的同一行数据就来自同一集合），再对每个集合中迄今已售出的全部轿车进行统计，由于每个集合中的轿车是陆续售出的，因此它们的统计时间的起点即售出时间是不同的。但在下面表格中，每一列数据的统计时间的长度却是相同的（例如2002年3月底售出的轿车，到2002年8月底；或2003年1

6、0月初售出的轿车，到2004年3月初都是使用了五个月，显然它们的统计时间的终点也是不同的），在相同使用时间长度（例如下表中第5列都是使用10个月的）内的整车或某个部件的保修总次数乘以1000再除以迄今已售出的轿车数量，即为下面表格中的千车故障数。数据利用的时效性是很强的，厂方希望知道近期生产中的质量情况，但刚出厂的轿车还没有全卖出去，已售出的轿车使用几个月后的保修情况可能还没有数据反馈，因此数据显得滞后很多。当一个批次生产的轿车的三年保修期都到时，我们对这批轿车的质量情况有了最准确的信息，可惜时间是轿车出厂的四、五年后，这些信息已无法指导过去的生产，对现在的生产也没有什么作用。所以如何更科学地

7、利用少量数据预测未来情况是售后服务数据利用的重要问题。现有2004年4月1日从数据库中整理出来的某个部件的千车故障数，见下页的表。其中的使用月数一栏是指售出轿车使用了的月份数，使用月数0的列中是已售出的全部轿车在用户没使用前统计的千车故障数，1的列中是某一批次已售出的每一辆轿车，在它被使用到第一个月结束时统计的，对于该批次售出的全部轿车累计的千车故障数（即没使用时和第一个月中千车故障数的和），12的列中是每辆车使用到恰好一年结束时的累计千车故障数。生产月份是生产批次，如0201表示2002年1月份生产的。随着时间的推移，轿车不断地销售出去，已售出轿车使用一段时间后的千车故障数也能不断自动更新，

8、再打印出的表中数据也将都有变化。1. 该表是工厂的真实数据，没有修改，反映的情况很多，请你分析表中是否存在不合理数据，并对制表方法提出建议；2.利用这个表的数据预测时请注意区分水平和垂直方向。请你设计相应的模型与方法，并预测：0205批次使用月数18时的千车故障数，0306批次使用月数9时的千车故障数，0310批次使用月数12时的千车故障数；3.如果有所有部件的千车故障数的数据表，你可以为质量管理方面提供那些决策与咨询？4.你还有什么想法和建议。（比如配件的生产组织、运送等等）二 问题分析针对问题一，针对问题一，通过分析原始表格数据，可以发现其中有很多相同的数据，特别是表格每列最后三个数据，所

9、处同行相邻的数据都相同，也就是说，随着使用月份的增加，轿车不发生故障，这是不符合实际的。产生这一结果的原因如下：在制表时，一些轿车因未达到一定的使用时间长度，不能及时反馈故障信息，而题目所给的千车故障数公式并未考虑这一点。由此，需对题目所给的千车故障数计算公式进行修正，得到修正后的公式，且利用这一公式对题目所给的千车故障数进行修正，得到修正后的数据表格。 针对问题二，要求设计相应的模型，预测0205批次使用月数18时的千车故障数，0306批次使用月数9时的千车故障数，0310批次使用月数12时的千车故障数；对于预测这三个数据，可以应用经第一问修改后的千车故障数表上的数据进行预测。预测0205批

10、次使用月数18时的千车故障数，考虑到没有纵向数据，只进行横向预测，绘制横向数据的散点图，从散点图中可以看出点的分布呈现逐渐递增的趋势，可以想象成一条曲线逐渐逼近生成。所以这里采用最小二乘法曲线拟合1进行求解，可以进行多次拟合，（）以达到一定的精度。预测0306批次使用月数9时的千车故障数，考虑到横向和纵向的数据都不完整，而灰色系统理论2是研究“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”，“不确定”系统的最有利工具，故采用灰色模型分别从横向和纵向对0306批次使用月数9时的千车故障数进行预测。结合实际，轿车的千车故障数会随着使用月数的增加而增大，随着技术的不断改进而减小，因此横向和纵向的数据对预测

11、值都有影响。为综合考虑横向和纵向数据的影响，将横向和纵向得到的预测值取平均值，即可得到0306批次使用月数9时的千车故障数。预测0310批次使用月数12时的千车故障数，观察千车故障数数据表中的数据可知，考虑到要预测的位置所在行没有数据，只有列有数据，于是只采用列数据进行预测。绘制列向数据的散点图，根据散点图可知，散点的分布大致符合高斯拟合曲线，对数据作正态性检验，发现符合正态分布，则在预测0310批次使用月数12时千车故障数时采用高斯拟合3进行数据预测。在计算高斯拟合时，可以采用matlab自带的工具箱cftool进行计算针对问题三, 如果有所有部件的千车故障数的数据表，可以为质量管理方面提供

12、那些决策与咨询。假设整部车都是用零件组成，且没有重复零件。如果给出所有部件的千车故障数的数据表，那么就相当于给出了一整部车的千车千车故障数，也就可以用整部车的千车故障数来形容一部车的好坏。而要改善整部车的质量，就需要从每一个零件入手，考虑每个零件故障数，降低每个零件的故障数，就相当于提高整部车的质量。假如想要把某批次车的质量提升，如果仅仅考虑把所有零件的故障数降低，显然是不合适的。因为每个零件的质量是不同，出现的故障数也不同。合理的方案应该是，不同零件降低的故障数不同，但总体降低的故障数应该是，也就是零件质量好的降低的少。质量差的降低的多，以此达到整车质量提升为的目的。针对问题四，为了对配件的

13、生产组织和运送提出合理建议，可以从生产计划配件运输方案等方面考虑。生产计划应根据产品的销量，企业的生产能力和产品的质量要求来制定；配件的运输方案应该合理，使资金得到有效利用，根据千车故障数据表分配配件，且运送要及时。三 模型假设1.在数据统计期间不存在重大的技术改革对汽车的影响。2.用户只到厂家指定的维修站维修。3.每个批次生产的轿车的月销量相同。4.整部车全部用零件组成，且不考虑零件的重复5. 提升整部车的质量和降低零件故障数相关。四 符号说明：某批次轿车使用不同月时的千车故障数。：某批次轿车使用的月数。：从数据库中提取的每个零件的千车故障数。：为达到目的每个零件应该降低的千车故障数。五 模

14、型建立于求解5.1问题一模型的建立与求解不合理数据的分析分析题目所给的千车故障数数据表发现，同一个批次生产的轿车存在如下情况：相邻的几列的千车故障数相同，也就是说，随着使用月份的增加，轿车不发生故障，这是不符合实际的。现对这一现象进行分析。题目给出了千车故障数的计算公式如下：在数据库整理数据的时候，一些已售出的轿车如果没有使用到一定的时间长度，那么它使用到这个时间长度所保修的总次数就无法在整理数据之前反馈到数据库，比如，0201这个批次生产的轿车会在生产之后逐渐售出，在2004年3月到4月之间售出轿车，在2004年4月1日制表前，没有使用到1个月，因此无法反馈这些轿车使用1个月的保修总次数的信

15、息。根据题目所给的千车故障数的公式可知，该公式的分母实际上偏大，因为在数据库整理数据的时候，一些已售出的轿车的规定使用时间长度没达到，无法反馈使用这一时间长度的保修总次数。基于这些原因，题目表格所给的千车故障数偏小，是不合理的，为此对千车故障数重新定义。数据的修正综合以上分析，对题目所给的千车故障数公式进行修正。每个批次生产的轿车的月销量一样的前提下，将原公式中的分母减去已售出却没有反馈信息的轿车数量，即可得到修正后的千车故障数公式如下，以0201这个批次生产的轿车使用1个月的千车故障数为例：结合新定义的千车故障数，对题目表格所给的数据进行修正，得到新的千车故障数数据表如下：千车故障数据表 附

16、表1 使用月数1211109876543210生产月份制表时销售量020124578.788.247.756.725.785.494.712.992.861.371.320.430.410202167011.0910.368.748.237.777.375.445.184.243.382.61.870020315808.496.776.325.935.585.274.153.163.011.440.68000204370427.4822.3919.8715.5313.7611.048.997.165.182.781.470.5600205380676.6666.2955.6648.2641.4

17、336.2131.2527.8521.9319.0214.679.333.940206291091.2578.266.0355.7549.6342.333.9929.7723.0917.914.749.724.4702071614169.56146.02119.6795.5477.1666.0556.4245.5737.5231.0924.6513.663.7202081985188.21158.49137.6911794.7281.2764.74935.2424.2815.117.961.5102092671306.44263.4229.97198.29165.9134.2109.5989.

18、5265.9750.2730.5611.861.8702102107365.56307.31261.47230.55193.86157.62126.6995.9269.5647.2625.6312.062.8502111399322.88269.61227.97195.16161.52139.39111.3586.9561.6348.5729.1513.673.570212403398.07320.32248.36207.86177.34149.13130.4497.1369.3154.8836.837.937.4403016450613.95460.46367.44303.88256.821

19、6.56180.1147.44112.6983.7351.8823.593.72030225221002.74669.73502.76402.43330.87278.92236.48195.43149.28107.4772.6227.331.5903032900391.47261.17195.95156.8129.95108.290.7574.760.0739.1217.931.0303041127112.2874.7255.9944.7737.2928.9223.9717.759.592.90030581878.9553.14032.0924.5621.0818.4613.439.411.2

20、20306119929.319.514.6211.699.748.356.251.8600307183160.9640.7730.6324.5319.6413.347.990.550308175422.7215.1711.399.116.081.950030921633.222.151.611.290.540.46031023890000003112434000003121171000制表建议原始千车故障数表格是将不同批次轿车使用不同月数的千车故障数放在一起，这样会使表格复杂，不易直观的了解某个批次轿车使用不同月数时的千车故障数。而且原始表格中的使用月数是从右到左排的，不符合常规。通过上述分析

21、后得出，制表建议为：1. 不同批次的轿车应分开制作表格。2. 同一批次的轿车的使用月数应从左到右逐渐递增。3. 在制表时增加维修总次数这一项。4. 在制表时增加反馈故障信息的轿车的总量这一项。根据上述建议，建立表格如下某批次轿车千车故障数 附表2使用月数012维修总次数反馈了故障信息轿车数5.2 问题二模型建立与求解5.2.1预测 0205批次使用月数18时的千车故障数模型建立与求解模型的建立绘制0205批次轿车使用月数不同的千车故障数的散点图，如下图：图1 0205批次千车故障散点图（轴为使用月数，轴千车故障数）由上图散点的分布可知，0205批次轿车使用月数不同的千车故障数的分布近似为一条直

22、线，采用最小二乘法进行曲线拟合。进行多次拟合，从图形上看，发现三次多项式拟合效果最好，如下图:图2 0205批次千车故障拟合图（轴为使用月数，轴千车故障数）由此可建立一元三次多项式回归方程。一元三次多项式回归模型的建立： 其中，表示0205批次轿车使用不同月数时的千车故障数；表示0205批次轿车使用的月数。模型的求解利用MATLAB软件编程求解，得到一元多项式回归模型的系数及其各项参数，具体数据见下表：回归系数及其各项参数 附表3回归系数回归系数估计值置信区间3.84（2.79,4.9）6.21（5.41,7.00）-0.5349（-0.69，-0.38）0.04（0.035,0.05）=1

23、结果分析：1.由上述表格数据可知，说明使用月数和千车故障数之间相关性很高2.说明模型显著，则可得一元多项式回归方程为：由以上回归方程进行预测，得到0205批次使用18月时的千车故障数为197.1。5.2.2预测 0306批次使用月数18时的千车故障数模型建立与求解模型的建立题目所给的0306批次的数据并不全面，灰色系统理论是研究“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”，“不确定”系统的最有利工具，故采用灰色模型来预测出0306批次生产的轿车使用9个月时的千车故障数。用GM（1,1）模型进行分析，首先从横向进行预测。0306批次这一行有9个数据，对原始数据作一次的累加生成，得到：建立相应的微分

24、方程：其中，为发展系数，为灰色作用量。令，又记为：应用最小二乘法可以推得：其中矩阵为：从而得到灰色预测模型GM（1,1）为：模型的求解利用matlab软件编程求解，得到，把和的数值代入到预测表达式中，得到预测模型为：0306批次生产的轿车使用9个月后的千车故障数为：对GM(1,1)模型进行适用性检验，则GM(1,1)可进行中长期预测。运用GM(1,1)模型得到的预测值与原值曲线图，残差与相对误差散点图如下所示：同理，运用GM(1,1)模型从纵向进行预测，利用matlab软件编程求解，得到结果为：，把和的数值代入到预测表达式中，得到预测模型为：0306批次生产的轿车使用9个月后的千车故障数为：对

25、GM(1,1)模型进行适用性检验，则GM(1,1)可进行中长期预测。运用GM(1,1)模型得到的预测值与原值曲线图，残差与相对误差散点图如下所示：根据生活实际：1. 可知同一批次生产的轿车随着使用月数的增加，千车故障数也会增大；2. 不同的批次生产的轿车使用相同的月数，随着技术的逐渐改进，千车故障数也会逐渐减小。基于这些原因，水平和垂直方向的数据对预测值都有影响。为综合考虑水平和垂直方向数据的影响，将横向和纵向得到预测值取平均值，得到0306批次生产的轿车使用9个月后的千车故障数为：。结果分析：1.通过建立GM（1,1）模型，运用灰色系统理论，从横向和纵向进行预测，兼顾考虑横向和纵向数据的影响

26、，预测出0306批次生产的轿车使用9个月后的千车故障数为147.859。2.在进行精度检验时，GM（1,1）模型可用于中长期检验，因此，预测结果是合理的。5.2.3 0310批次使用月数12时的千车故障数预测模型建立与求解模型的建立考虑到要预测数据位置，没有行数据，只有列数据，故只采用列数据进行预测。绘制列数据的散点图，从中观察规律。图5 列数据散点图（轴为使用月数，轴千车故障数）观察散点图，发现散点的分布不明显，但大致符合高斯拟合曲线，对数据作正态性检验，发现符合正态分布，故采用高斯拟合进行求解。高斯分布函数如下：式中，模型的求解利用matlab中cftool工具箱， 求解得各参数估计值如下

27、表：参数估计值 附表4系数估计值置信区间946.9（151.3,1743）14.64（12.66,16.62）1.671（0.03971,3.303）344.1（282.9,405.2）10.7(9.034,12.36)4.201(2.715,5.688) 结果分析：从表中数据可以看出，（）故拟合程度很好。其拟合效果图如下： 图6 0306批次千车故障拟合图（轴为使用月数，轴千车故障数）得到高斯分布方程如下：用上述模型得到0310批次使用月数12时的千车故障数为：1236.25.3 问题三模型建立与求解整部车的质量可以用每个零件的质量来描述，提升整部车的质量就是提升每个零件的质量，也就是降低每

28、个零件的千车故障数。由于每个零件的质量不同，导致各个零件的千车故障数不同，这就需要针对每个零件设置合理的千车故障数降低指标。假设整部车由个零件组成，且零件之间相互独立，是否损坏无必然联系。现以所有零件前三个月的前车故障数为基准，再此基础上，使整部车质量提升，就需使各个零件千车故障数的降低指标总和等于整车质量提升。各个零件的编号：；从数据库中提取出前几个月每个零件的千车故障数为：现需要找出适合每个零件降低的千车故障数，使得：用上式找出每个零件所降低的千车故障数后，针对每个零件进行改进，已达到整部车质量提升的结果。 5.4 问题四模型建立与求解一、配件的生产组织1.配件开发与设计配件开发与设计能指

29、导配件的生产，对产品的质量产生重大的影响。若配件的质量达不到要求，通过配件开发能提高其质量。配件的开发是一个创新的过程，成功地开发一个配件，能增强企业的竞争力；配件的设计是企业配件战略中的重要部分，它决定配件的特征、功能和用途。在产品升级时，产品开发与设计具有极其重要的意义。2.生产计划管理生产计划管理是生产部门的核心工具，它根据产品的销量，结合企业的生产能力和质量要求指导生产部门的生产。企业可以制定生产计划，平衡生产能力，支持和鼓励生产员工的创新，合理地安排员工，做到“物尽其用，人尽其力”。二、配件运送管理1合理化管理配件运输 合理化的管理配件运输，能降低物流费用，加快资金周转，压缩库存、减

30、少流动资金的占用，使资金得到有效地利用，并提高企业的管理水平。配件的运送和销售是企业利润中心之一，配件运送及时，会增加顾客的满意度，提高顾客对产品的忠实度，给企业的形象加分。2提高物流服务3根据各地的千车故障数据表分配配件 六 模型讨论本模型的优点在于：针对题目所需对千车故障数重新定义，避免了题目所给的千车故障的计算公式不能直观的反映出使用月数时的千车故障数，以及很好的处理了原始千车故障数中存在的异常数据。在问题二中对0306（9）千车故障数进行预测时，同时考虑了横向和纵向预测，使预测数据更加准确。在第三、四问中我们根据目前汽车的质量管理问题提供了一些方面的咨询以及对各配件的生产组织等方面提供

31、合理的建议，具有实际参考价值。模型也存在一些不足：我们假设的是同一批次的部件的销售量相等，这与实际的销售情况可能不相符；在问题二中对0205（18）求解时用到的是简单的最小二乘拟合，当使用月数明显大于12时，预测值可能波动较大；由于我们自身对汽车领域的专业知识了较甚少，所提的建议和一些认识还都停留在较浅的层次上不一定能对实际的工作起到实际的指导作用。七 参考文献1 梁国业，廖建平，数学建模，北京：冶金工业出版社，2004.9，P108-P120；2 (美)夏普若 著，唐玲艳，田尊华 译，工程与科学数值方法的MATLAB实现（第二版）清华大学出版社，2009-53 刘思峰，灰色系统理论的产生与发

32、展J,南京航空航天大学学,第36卷第2期,P267-P272,2004.4附件1灰色模型程序%灰色预测1.m,其中要修改参数x0,N,m! %原始数据x0(k)，包含N个元素x0=6.72 8.23 5.93 15.53 48.26 55.75 95.54 117 198.29 230.55 195.16 207.86 303.88 402.43 195.95 74.72 78.95; f=x0; %f用于保留原值！N=length(x0);%灰色预测计算模型x1=; %此处不需加数据n=N; %N需修改for k=1:n if k=1 x1(k)=x0(k); else x1(k)=x1(k-1)+x0(k); end end; %计算x1() n=n-1;B=ones(n,2);for i=1:n B(i,1)=-0.5*(x1(i)+x1(i+1);end %