第8章正弦稳态电路的分析--张明编写

1、第8章 正弦稳态电路的分析本章主要讲述R、L、C串联电路的复阻抗及并联电路的复导纳表示法；正确理解R、L、C参数发生变化时对电路性能的影响；掌握正弦交流电路的相量分析法。正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算，最大功率传输。Ø 复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换了；Ø 熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法；Ø 了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式；Ø 掌握最大功率传输的概念及在不同情况下的最大传输条件；正弦稳态电路的分析阻抗和导纳电路的相量图正弦稳态电路的分析正弦稳态电路

2、的功率复功率最大功率传输图 8-1 本章知识结构图8.1 阻抗和导纳阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。8.1.1 阻抗 阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路正弦稳态分析中的重要内容。1. 阻抗的定义 图8-2所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电压相量和电流相量的比值定义为该一端口的阻抗 Z 。即单位： 上式称为复数形式的欧姆定律，其中 称为阻抗模， 称为阻抗角。由于 Z 为复数，也称为复阻抗，这样图 8-2 所示的无源一端口网络可以用图 8-3 所示的等效电路表示，所以 Z 也称为一端口网络

3、的等效阻抗或输入阻抗。 图 8-2 无源线性一端口网络图 8-3 等效电路2 单个元件的阻抗当无源网络内为单个元件时，等效阻抗分别为： a 电阻 b 电容c 电感 图 8-4 单个元件的网络 a图 b图 c图 说明 Z 可以是纯实数，也可以是纯虚数。3 RLC 串联电路的阻抗 图 8-5 RLC 串联电路图 8-5 阻抗三角形由 KVL 得： 因此，等效阻抗为 其中 R等效电阻 (阻抗的实部)；X等效电抗(阻抗的虚部) ；Z、R 和 X 之间的转换关系为： 或 可以用图 8-6 所示的阻抗三角形表示。结论： 对于 RLC 串联电路：（1） 当L 1/C 时，有 X 0 ，

4、z0 ，表现为电压领先电流，称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 8-7 所示； 图8-7 L 1/C 时的相量图和等效电路（2）对于RLC串联电路当L 1/C时，有 X 0 ，z0 ，表现为电流领先电压，称电路为容性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图 8-8 所示； 图8-8L 1/C 时的相量图和等效电路（3） 当L 1/C 时，有 X0 ， z0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图8-9所示； 图8-9L 1/C 时的相量图和等效电路（4） RLC 串联电路的电压 UR 、U

5、X 、U 构成电压三角形，它和阻抗三角形相似。满足： 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。8.1.2. 导纳1导纳的定义图 8-1 所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处于稳定状态时，端口的电流相量和电压相量的比值定义为该一端口的导纳 Y 。即 单位：S 上式仍为复数形式的欧姆定律，其中 称为导纳模， 称为导纳角。由于 Y 为复数，称为复导纳，这样图 8-2 所示的无源一端口网络可以用图 8-10 所示的等效电路表示，所以 Y 也称为一端口网络的等效导纳或输入导纳。 图 8-10 无源线性一端口网络等效导纳 2 单个元件的导纳当

6、无源网络内为单个元件时如图 8-4 所示，等效导纳分别为： a图 b图 c图 说明 Y 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 3 RLC 并联电路的导纳 图 8-11 RLC 并联电路图 8-12 导纳三角形由 KCL 得： 因此，等效导纳为 其中 G等效电导(导纳的实部) ； B等效电纳(导纳的虚部) ；Y 、G 和 B 之间的转换关系为： 或 可以用图 8-12 所示的导纳三角形表示。结论： 对于 RLC 并联电路：（1） 当 L 1/C 时，有 B 0 ， y0 ，表现为电流超前电压，称电路为容性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 8-12 所示； 图 8-13 L 1/C 时的

7、相量图和等效电路（2）当 L 1/C 时，有 B 0 ， y0 ，表现为电压超前电流，称电路为感性电路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图 8-14 所示； 图 8-14 L 1/C 时的相量图和等效电路（3） 当L = 1/C 时，有 X0 ， z0 ，表现为电压和电流同相位，此时电路发生了并联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图8-15所示 图 8-15 L = 1/C时 的 相量图和等效电路（4）RLC 并联电路的电流 IR、IX 、I 构成电流三角形，它和阻抗三角形相似。满足 注：从以上相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流

8、的现象。8.1.3复阻抗当运用相量法分析和计算正弦交流电路时，电压、电流均用复数形式的相量表示，此时电路元件上的电阻、电抗也应表示为复数形式，用复数形式表示的电阻和电抗，简称为复阻抗。对单一电阻元件的正弦交流电路而言，对应的复阻抗可表示为Z=R，由于R是一个实数，所以在只有耗能元件的正弦交流电路中，复阻抗仅有实部而没有虚部；单一电感元件的正弦交流电路，对应的复阻抗Z=jXL，单一电容元件的正弦交流电路，对应的复阻抗Z=jXC，这说明在仅有储能元件作用的正弦交流电路中，电路的复阻抗只有虚部而没有实部。将上述结论推广，显然在既有耗能元件又有储能元件的正弦交流电路中，复阻抗必定是既有实部又有虚部。例

9、如RL串联电路的复阻抗表示为：RC串联电路的复阻抗表示为：RLC串联电路的复阻抗表示为：8.1.4. 复阻抗和复导纳的等效互换同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为：即： 如图 8-16 的串联电路，8-16 串联电路和其等效的并联电路它的阻抗为： 其等效并联电路的导纳为： 即等效电导和电纳为： 同理，对并联电路，它的导纳为 其等效串联电路的阻抗为： 即等效电阻和电抗为： 例8-1 电路如图(a)所示，已知：R=15, L=0.3mH，C=0.2mF，求 i ,uR ,uL ,uC 。 图8-17例 8 -1 图（a）（b）（c） 解：电路的相量模型如图（b）所示，其中： 因此总阻抗

10、为 总电流为 电感电压为 电阻电压为 电容电压为相量图如图8-17（c）所示，各量的瞬时式为： 注意 ，说明正弦电路中分电压的有效值有可能大于总电压的有效值。例8-2 RL 串联电路如图8-18（a）所示，求在106rad/s 时的等效并联电路图（b）。 图8-18例 8 - 2 图（ a ）（ b ） 解：RL 串联电路的阻抗为： 导纳为： 得等效并联电路的参数 8.1.5 阻抗(导纳)的串联和并联1. 阻抗的串联 图 8.19为 n 个阻抗串联的电路，根据 KVL 得： 图 8.19 n 个阻抗串联图 图8.20 等效电路图 其中 Z 为等效阻抗，因此图 8.19 的电路可以用图 8.20

11、的等效电路替代。串联电路中各个阻抗的电压分配为：其中 为总电压， 为第 k 个阻抗的电压。   2. 导纳的并联 图 8-21 n 个阻抗并联图 8-22等效电路 图 8-22 为 n 个阻抗并联的电路，根据 KCL 得： 其中 Y 为等效导纳，因此图 8-21 的电路可以用图 8-22 的等效电路替代。 并联电路中各个阻抗的电流分配为： 其中 为总电流， 为第 k 个导纳的电流。两个阻抗 Z 1 、 Z 2 的并联等效阻抗为： 注：阻抗的串联和并联计算及分压和分流计算在形式上与电阻的串联和并联及分压和分流计算相似。 8.2 电路的相量图8.2.1 RLC串联电路的相量模型分析RLC

12、串联的正弦交流电路如图8-23（a）所示，对应的相量模型如图8-23（b）所示。对相量模型进行分析的步骤如下：RLCiuuRuLuc（a）电路图R（b）相量模型图8-23 RLC串联电路的电路图与相量模型首先根据串联电路中各元件通过的电流相同这一特点，以电流为参考相量。由单一元件上电压、电流的关系式，转换成复数形式后可得： 电路的总电压相量图8-24 RLC串联电路的相量图 式中的复阻抗 Z图8-25 阻抗三角形Rj复阻抗的模等于RLC串联电路对正弦交流电流呈现的电阻与电抗的总作用，称为正弦交流电路的阻抗；复阻抗的辐角在数值上等于RLC串联电路的端电压与电流的相位差角。RLC串联电路的相量图如

13、图8-24所示。由图可看出：、和构成了一个电压三角形，这个三角形不但反映了各电压相量之间的相位关系，同时由各电压模值的大小又反映出了各电压相量之间的数量关系，因此，电压三角形是一个相量三角形。让电压三角形的各条边同除以电流相量，我们就可得到一个阻抗三角形，如图8-25所示，阻抗三角形符合上面讲到的复阻抗的代数形式：阻抗三角形的斜边是复阻抗的模|Z|，数值上等于RLC串联电路的阻抗，阻抗三角形的邻边等于复阻抗的实部，即电路中的电阻R，阻抗三角形的对边是复阻抗的虚部，数值上等于RLC串联电路的电抗，三者之间的数量关系为 （8-1）图8.25所示阻抗三角形是以感性电路为前提画出的，但实际上随着、L、

14、C取值的不同，RLC串联电路分别有以下三种情况：当时，电路电抗X>0，电路总电压超前电流一个角，电路呈感性，阻抗三角形为正三角形。当时，电路电抗X<0，电路总电压滞后电流一个角，电路呈容性，阻抗三角形为倒三角形；当时，电路电抗X=0，电路总电压与电流同相，电路呈纯阻性，阻抗三角形的斜边等于邻边。在含有L和C的电路中出现电压、电流同相位的现象是RLC串联电路的一种特殊情况，称为串联谐振。由上述讨论可知，电抗X的正、负是由、L、C来决定的，其中感抗和容抗的作用是相互抵消的。虽然L和C都是储能元件，但在一个电路中并不是同时吸收或释放能量，它们相互之间进行能量交换。当电感吸收能量时，电容释

15、放能量；而当电感释放能量时，电容吸收能量，它们在能量方面相互补偿，补偿后多余的能量再与外部电路进行能量交换，而多余部分能量的性质也就是阻抗Z的性质。8.2.2 RLC并联电路的相量模型分析RLiuiRiLic（a）电路图（b）相量模型图8-26 RLC并联电路的电路图与相量模型G-jBLjBCCRLC并联的正弦交流电路如图8-26（a）所示，对应的相量模型如图8-26（b）所示。对相量模型进行分析的步骤如下：首先根据并联电路中各元件上端电压相同这一特点，以电压相量为参考相量。再由单一元件上电压、电流的关系式，转换成复数形式后可得： 其中的称为电导；称为复感纳；称为复容纳。电路中的总电流相量图8

16、-27 RLC并联电路的相量图 式中的复导纳 复导纳的模等于RLC并联电路中对正弦交流电流所呈现的总电导与电纳的作用，称为导纳；复导纳的辐角在数值上等于RLC并联电路中总电流超前端电压的相位差角。RLC并联电路的相量图如图8-27所示。由图可看出：、和构成了一个电流三角形，这个三角形不但反映了各电流相量之间的相位关系，同时由各电流模值的大小反映出了各电流相量之间的数量关系，因此，电流三角形也是一个相量图。|Y|图8-28 导纳三角形G让电流三角形的各条边同除以电压相量，我们就可得到一个导纳三角形，如图8-28所示，导纳三角形符合上面讲到的复导纳的代数形式：导纳三角形的斜边是复导纳的模|Y|，数

17、值上等于RLC并联电路的导纳，导纳三角形的邻边等于复导纳的实部，即电路中的电导G，导纳三角形的对边是复导纳的虚部，数值上等于RLC并联电路的电纳，三者之间的数量关系为 （8-2）图8-27所示的导纳三角形是以容性电路为前提画出的，但实际上随着、L、C取值的不同，RLC并联电路也分别有以下三种情况：当时，电路电纳B>0，电路总电流超前电压一个角，电路呈容性，导纳三角形为正三角形，如图8-27所示；当时，电路电纳B<0，电路总电流滞后电压一个角，电路呈感性，导纳三角形为倒三角形；当时，电路电纳电纳B=0，总电流与端电压同相，电路呈纯电阻性，导纳三角形的斜边等于邻边。在含有L和C的电路中

18、出现电压、电流同相位的现象是RLC并联电路的一种特殊情况，称为并联谐振，有关详细内容也将在第5章进一步介绍。由上述讨论可知，电纳B的正、负也是由、L、C来决定的，其中感纳为负、容纳为正，二者之间的作用是相互抵消的。8.2.3 应用实例用相量法对正弦交流电路进行分析计算时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理仍然适用，同时引入正弦量的相量、阻抗、导纳及KCL、KVL的相量形式，就可以根据电路列出相量形式的代数方程，用复数进行运算。在分析计算时，我们还可以借助于相量图进行辅助电路分析，确定各正弦量相量的大小和相对位置，然后进行相量运算。通常的做法为：以电路串联部分的电流相量为参考相量，列出回路的K

19、VL方程，用相量平移求和法则进行回路电压相量的求和；以电路并联部分的电流相量为参考相量，列出结点的KCL方程，用相量平移求和法则进行结点电流相量的求和。例8-3 RLC串联电路如图8-29（a）所示，已知电路参数R15，12，80，端电压，试求电路中的电流和各元件的电压相量，并画出相量图。解：用相量法求解时，可先写出已知相量，再计算电路阻抗，然后求出待求相量。本例已知相量，电路阻抗为则电路中通过的电流为 根据正弦量与相量的对应关系可写出电流为各元件电压相量为相量图如图8-29（b）所示。该电路为串联电路，因此以电流相量为参考相量，根据电压方程画出各电压相量，画法如下：jXL（a）图8-29 例

20、8.3电路的相量图（c）o（b）RjXco先在复平面上画出电流相量，然后从原点O起，按平移求和法则，逐一画出各电压相量。如先画出与电流相量同相的电压相量，再从的末端画出超前电流相量80的电压相量，然后从末端画出滞后电流相量80的电压相量，最后从原点O至最后一个电压相量的末端为端口电压相量，得相量图8-28（b），然后将整个相量图顺时针旋转53.1，就可以得到与运算结果一致的相量图，如图8-28（c）所示。例8-4图 8-30（a）所示电路，已知电压表V、V1、V2的读数分别为220V、300V和800V，复阻抗，并画出电路的相量图。解：该电路为两阻抗的串联形式，因此可直接根据Z2和U2求得电路

21、中的电流为以电流为参考相量，因此有V2V1V（a）电路图（b）相量图图8-30 例8-4电路图和相量图 设电源电压，根据KVL可得 显然 联立求解上述两式，有 因此 解得 所以 根据计算结果可画出如图8-29（b）所示的相量图。例8-5 电路如图8-31所示，已知，求支路电流i1和i2、电流表的读数及恒流源两端的电压uab。图8-31 例8.5电路iSi1baZ2i2Z1AA1A2解： 两阻抗为并联连接，根据分流公式可得 根据相量与正弦量之间的对应关系可写出 恒流源两端的电压为 则 例8-6 电路如图8-32（a）所示，已知R=2K，C=0.01F，输入信号电压的有效值为1V，频率为5KHz。

22、试求输出电压U2及它与输入电压的相位差，并绘出相量图。CR（a）电路图（b）相量图图8-32 例8-6题电路图与相量图解： 电路阻抗为 电路中电流为 mA输出电压为 V由复阻抗的解可知，电路中电压u1滞后电流i的角度等于阻抗角58.8°，而u2与电流同相，因此，输出电压u2在相位上超前输入电压u158.8°。画出电路相量图如（b）所示。此例中由于输出电压相对于输入电压发生了相位的偏移，因此也称之为RC移相电路。在RC移相电路中，若要输入电压超前输出电压，则输出电压应从电容两端引出；若要输出电压超前输入电压，输出电压就需从电阻两端引出。这种单级移相电路的相移范围不会超过80&

23、#176;,如果要实现180°的相移，就必须采用三级以上的电路构成。8.3 正弦稳态电路的分析8.3.1电阻电路与正弦电流电路的分析比较 结论：引入相量法和阻抗的概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定律是相似的 。 因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。8.3.2. 典型例题例8-7求图8-33(a) 电路中各支路的电流。已知电路参数为 （ a ）（ b ）图8-33例 8-7 图解：电路的相量模型如图（b）所示。设则 各支路电流为 例8-8 列写图8-34（a）电路的回路电流方程和节点电压方程 图8-34例 8-8 图（a）（ b ）（ c ）解：

24、选取回路电流方向如图（b）所示，回路电流方程为: 回路 1 回路 2 回路 3 回路 4 结点选取如图（c）所示，则结点电位方程为:结点 1 结点 2 结点 3 例8-9求图8-35（a）电路中的电流 已知： 图8-35例 8-9 图（a）（b）解：方法一：应用电源等效变换方法得等效电路如图（b）所示，其中 方法二： 应用戴维南等效变换 图（ c ）（ d ）求开路电压：由图（c）得求等效电阻：把图（c）中的电流源断开得 等效电路如图（d）所示，因此电流 例8-10求图8-36（a）所示电路的戴维南等效电路。 图8-36例 8-10 图（ a ）（ b ）解：把图（a）变换为图（b），应用 K

25、VL 得 解得开路电压 求短路电流：把 图（b）电路端口短路得 所以等效阻抗 例8-11用叠加定理计算图8-37（a）电路的电流 ，已知 图8-37例 8-11 （ a ）（ b ）（ c ） 解：画出独立电源单独作用的分电路如图（b）和（c）所示，由图（a）得： 由图（b）得 则所求电流 例8-12已知图8-38示电路：Z =10+j50,Z1=400+j1000,问：等于多少时， 相位差90°？ 图8-38例 8-12 图解：根据 KVL 得 所以 令上式的实部为零，即 得 即电压落后电流 90°相位。例8-13已知图8-39（a）所示电路中，U =115V , U1=

26、55.4V , U2= 80V , R1=32W , f=50Hz ， 求： 电感线圈的电阻 R2 和电感 L2 。 图8-39例 8-13 （a）（b）解：方法：画相量图分析。相量图如图（b）所示，根据几何关系得： 代入数据得 因为所以 方法二：列方程求解，因为令上式等号两边实部、虚部分别相等得 解得 其余过程同方法一。8.4 正弦稳态电路的功率8.4.1 正弦交流电路中的功率对于一个无源二端网络，设端口电压和电流为电路吸收的瞬时功率为式中为电压和电流之间的相位差，且/2。上式说明瞬时功率有两个分量，第一项与电阻元件的瞬时功率相似，始终大于或等于零，是网络吸收能量的瞬时功率，其平均值为。第二

27、项与电感元件或电容元件的瞬时功率相似，其值正负交替，是网络与外部电源交换能量的瞬时功率，它的最大值为。如前所述，瞬时功率在一个周期内的平均值为平均功率，又称有功功率，则有功功率代表电路实际消耗的功率，它不仅与电压和电流有效值的乘积有关，并且与它们之间的相位差有关。为了衡量电路交换能量的规模，工程中还引用无功功率的概念，用大写字母Q表示，即无功功率反映了网络与外部电源进行能量交换的最大速率，“无功”意味着“交换而不消耗”，不能理解为“无用”。Q值是一个代数量，对于感性网络电压超前电流，值为正，网络接收或发出的无功功率为正值，称为感性无功功率；对于容性网络电压滞后电流，值为负，网络无功功率为负值，

28、称为容性无功功率。许多电力设备的容量是由它们的额定电压和额定电流的乘积决定的，为此引用了视在功率的概念，用大写字母S表示，在数值上，视在功率等于电压有效值与电流有效值的乘积，即 S=UI上述分析表明，单相正弦交流电路中的有功功率P、无功功率Q和视在功率S之间存在如下关系： （8-3）PS图8-40 功率三角形由此可把这三种功率组成一个与阻抗三角形相似的直角三角形，称为功率三角形，如图8-40所示。有功功率、无功功率和视在功率都具有功率的量纲，为了加以区别，有功功率的单位用瓦特【W】，无功功率的单位用乏尔【var】，视在功率的单位用伏安【VA】。由功率三角形的讨论可看出，只有耗能元件电阻R上才消

29、耗有功功率，显然同相的电压和电流构成有功功率P；储能元件L和C上的电压和电流均为正交关系，而正交关系的电压和电流是不消耗有功功率的，它们只产生无功功率Q，且Q=QLQC，电感元件上的无功功率取正，电容上的无功功率取负，显然，二者之间的无功功率是可以相互补偿的。8.4.2 功率因数的提高由功率三角形、阻抗三角形和电压三角形中我们可得到 （8-4）其中的称为功率因数。显然功率因数反映了有功功率和视在功率的比值，前者是电路所消耗的功率，后者代表电源所能输出的最大有功功率，因此功率因数表示电源功率被利用的程度。由式（8.11）还可看出，功率因数的大小决定于电路中电阻与阻抗的比值。当时，电路负载为纯电阻

30、，电抗分量等于0，即，P=UI，电源供出的电能全部被负载消耗；当时，电路负载为纯电抗，电阻分量等于0，即，P=0，此时电源与负载之间只存在能量交换，没有功率损耗。通常交流负载总有一定的电抗分量，所以 一般交流电器都是按额定电压和额定电流来设计的，用电压和电流的乘积（即视在功率S）表示各种用电器的功率容量，能否送出额定功率，决定于负载的功率因数。电力工程中，像白炽灯、电炉一类的电阻负载，其，但这类纯电阻性负载只占用电器中的极小一部分，大部分是作动力用的异步电动机等感性负载，这些感性负载在满载时功率因数一般可达到0.80.85左右，空载或轻载时功率因数则很低；其它的感性负载如日光灯，功率因数通常为

31、0.30.5。只要负载的功率因数不等于，它的无功功率就不等于零，这意味着它从电源接受的能量中有一部分是交换而不消耗，功率因数越低，交换部分所占比例越大。功率因数是电力技术经济中的一个重要指标。负载功率因数过低，电源设备的容量不能充分利用；另外在功率一定、电压一定的情况下，负载功率因数越低，则通过输电线路上的电流I=P/(Ucos)越大，因此造成供电线路上的功率损耗越大。显然，提高功率因数对国民经济的发展具有很重要的意义。为了提高功率因数，应尽量避免感性设备的空载或轻载现象，再者可在感性负载两端并联适当容量的电容器，用容性无功功率补偿电路中的感性无功功率，使电源的无功“输出”减小，从而使电流的输

32、出减小。例8-14 一个感性负载接到220V、50Hz的电源上，吸收功率为10KW，功率因数为0.6。若要使电路的功率因数提高到0.8，求在负载两端并联的电容值。解：方法一如图8-41（a）所示，因为和都没有变，所以并联电容C不会影响原负载支路1的复功率，但是电容的无功功率补偿了电感L的无功功率，使电源的无功功率减小，电路的功率因数得以提高。设原负载吸收的复功率为，电容吸收的复功率为，并联电容后电路吸收的复功率为，则有并联电容前有并联电容后要求功率因数等于0.8，则有。这里正号表示欠补偿，电路仍为感性，而负号则表示过补偿，电路已从感性变为容性。工程上通常使电路处在欠补偿状态，因此负号舍去，即=

33、25.88，而有功功率没有改变，即故电容的复功率为故有 方法二作相量图如图8-41（b）所示。并联电容前的感性负载电流即是电路电流，比电压滞后角度，把此电流分解成有功分量与电压同相；无功分量比电压滞后/2。并联电容后，电容电流比超前/2。由于电容电流与电流的无功分量反相，因此二者之间可以相互补偿，使电路中电流的无功分量减小，电路电流与电压的相位差减小，从而功率因数得到提高。从图中可以看出，要达到角所需的电流为电流的有功分量没有改变，即有功功率P也没有改变，即所以则得 把=53.1°和=25.8°代入上式，则有图8-41 例8-14电路图与相量图（a）电路图R1（b）相量图8

34、.5 复功率虽然正弦电流电路的瞬时功率不能用相量法讨论，但是有功功率、无功功率和视在功率三者之间的关系可以通过“复功率”来表述。若二端网络的端口电压相量为，电流相量的共轭复数为，定义复功率为 （8-5）复功率是一个辅助计算功率的复数，它的模是正弦交流电路中的视在功率，它的辐角的余弦等于正弦交流电路中总电压与电流之间的相位差角，复功率的实部是有功功率，虚部是无功功率，它将正弦稳态电路的三个功率和功率因数统一为一个公式。只要计算出电路中的电压相量和电流相量，各种功率就可以很方便的计算出来。复功率的单位仍用【VA】。对于电阻元件，接受的复功率为即电阻元件只接受有功功率P，无功功率Q为零。对于电感元件

35、，/2，接受的复功率为对于电容元件，/2，接受的复功率为显然电压、电流具有正交相位关系的储能元件上不消耗有功功率，只接受无功功率Q。复功率还可以写成另一种形式，即可以证明，整个电路中的复功率守恒，而有功功率和无功功率也分别守恒，即总的有功功率等于各部分有功功率之和，总的无功功率等于各部分无功功率之和，但是正弦交流电路中的视在功率不守恒。*图8-42 例8-15电路图*电感线圈A11V11W例8-15 如图8-42所示，把一个线圈接到f=50Hz的正弦电源上，分别用电压表、电流表、功率表测得电压U=50V、电流I=1A、功率P=30W，试求R、L之值，并求线圈吸收的复功率。解：根据三个电表的读数

36、，可先求线圈阻抗功率表的读数为线圈吸收的有功功率，则P=UIcos=30解得还可以用另外一种方法，即由于，故可得复功率可根据电压相量和电流相量来计算。令，有 或者 8.6 最大功率传输ZSZL图8-43书馆 最大功率传输原理电路在正弦稳态电路中的某些场合，需要负载从信号源获取最大的功率，这时电路的参数和负载之间有什么关系呢？在图8-43所示电路中，和ZSRSjXS为等效电源的电压相量和内阻抗，负载阻抗为ZL=RLjXL，这时流过负载的电流为电流的有效值为：负载从电源获取的有功功率为当RL不变时，若XSXL0，则PL有极大值，这时如果要得到负载获取的最大功率，可令解之得： RSRL0所

37、以负载获取最大功率的条件是 或 （8-6）负载获取的最大功率为 （8-7）当负载为纯电阻时，同样的方法，可以得到负载获取最大功率的条件为RL负载获取的最大功率为在负载电阻上，从而实现最大功率的传送。小 结1电路的复阻抗和复导纳分别为2相量图可以用来辅助电路的分析计算，在相量图上，除了按比例反映各相量的模（有效值）以外，最重要的是根据各相量的相位相对地确定各相量在图上的位置（方位）。3有功功率P是电路实际消耗的功率，无功功率Q是电路与电源进行能量交换的规模，视在功率S是电源实际向电路付出的功率，三者的关系可用复功率来表示，即4功率因数cos是电力工程中的一个重要指标，其大小是由电路参数和电源频率

38、所决定的，若要提高感性负载电路的功率因数，可以在负载两端并联适当电容来实现。第8章 习 题8.1 已知RL串联电路的端电压V，通过它的电流I=5A且滞后电压85°，求电路的参数R和L各为多少？8.2 已知一线圈在工频50V情况下测得通过它的电流为1A，在100Hz、50V下测得电流为0.8A，求线圈的参数R和L各为多少？RC图8-44 题8.8电路8.3 电阻R=80，和一个25微法的电容器相串联后接到V的电源上。试求电路中的电流并画出相量图。8.8 电路如图8-44所示。已知电容C=0.1F，输入电压U1=5V，f=50Hz，若使输出电压U2滞后输入电压60°，问电路中电阻应为多大？8.5 已知RLC串联电路的参数为R=20，L=0.1H，C=30F，当信号频率分别为50Hz、1000Hz时，电路的复阻抗各为多少？两个频率下电路的性质如何？8.6 已知RLC串联电路中，电阻R=16，感抗XL=30，容抗XC