第1章 机电能量转换的基本原理

1、第一章 机电能量转换的基本原理现代人类的生产和生活中，最主要的动力能源是电能。实现机械能与电能转换的装置统称为机电能量转换装置，以下简称机电装置。它们大小不一，品种繁多，按其功能的不同可分为三大类：(1)机电信号变换器。它们是实现机电信号变换的装置，是在功率较小的信号下工作的传感器，通常应用于测量和控制装置中。例如拾音器、扬声器、旋转变压器等；(2)动铁换能器。它们是通电流激磁产生力，使动铁有限位移的装置。例如继电器、电磁铁等。常用继电器的原理图如图1-1()； () ()图11把继电器作为两端口装置(3)机电能量持续转换装置。例如电动机发电机等。直流电动机的原理图加图1-2()。 4 ()

2、()图1-2把直流电动机作为三端口装置机电装置实现机电能量转换的形式，大体有四种：电致伸缩与压电效应：磁致伸缩；电场力；电磁力。前两种功率很小，又是不可逆的。应用第三种形式电场力来实现机电能量转换的装置称为静电式机电装置，只能得到不大的力和功率。实用上绝大多数的机电装置是应用第四种形式电磁力来实现机电能量转换的，称为电磁式机电装置。本书以电磁式机电装置作为主要研究对象。下面不加说明的机电装置仅指电磁式机电装置，或是电磁式与静电式两种机电装置。它们都是由载流的电系统，可动的机械系统和作为耦合媒介与储存能量的电磁场三部分组成；队总体看，它们每个又都有固定的和可动的两大部件。严格说，耦合电磁场应该是

3、电场和磁场的综合体。但在机电装置中，电频率较低，可动部件的运动速度大大低于光速，这样不仅可以忽略不计电磁辐射，认为机电装置是质量守恒的物理系统；而且可以把电场和磁场分别考虑，认为它们是彼此独立的。因此在电磁式机电装置中耦合电磁场仅是磁场，但在静电式机电装置中耦合场仅是电场。在分析研究时，机电装置总可以归纳成具有若干个电端 5口和机械端口的装置。在示意图上常用一个圆来表示机电装置的杜本，从圆周上向圆外作若干对线段表示装置的输入和输出端口。例如继电器、电磁铁那样的动铁换能器可作为一对电端口和一对机械端口的两端口装置来对待，如图1-1()所示；大多数旋转电机可作为有两对电端口和一对机械端口的三端口装

4、置，如图1-2()所示。本章将叙述机电装置的能量转换过程。着重讨沦耦合磁场的作用，要求学会用机电能量转换关系求出电磁转矩的普遍公式。对极少见的静电式机电装置仅在章末作简略介绍。1-1 机电装置中的能量平衡在质量守恒的物理系统中，能量守恒原理是一个必须遵守的普遍规律。它也是分析研究机电装置的一个基本出发点。在机电装置中电能与机械能的转换是依赖于耦合场的作用来实现的。耦合场一方面从输入系统吸收电能(或机械能)，对它的储能进行补充；另一方面又释放储能给输出系统，使后者输出机械能(或电能)。所以耦合场及其储能的存在时机电能量转换的关键。此外，在能量转换过程中，总会产生一些损耗，并以热能的形式散发出来。

5、于是在机电装置中略去电磁辐射能量，存在着电能、机械能、电磁场储能和热能这四种形式的能量。根据能量守恒原理，按电动机惯例写出机电装置酌能量方程式为： （1-1）式中最右边一项能量损耗，按其起因的不同可分为三类：(1)电系统(如绕组)通电流时产生的电阻损耗；(2)机械系统由于通风和摩擦使一部分机械能转换成热能的损耗，称为机械损耗；(3)耦合电磁场在介质中产生的损耗，即磁场耦合时铁心磁滞和涡流损耗，或电场耦合时在绝缘材料内产生的介质损耗。如果把损耗按上述三项分类，并分别归并到相应的能量项目中去，式(1-1)可以化力如下形式： (1-2)与上式对应的能量平衡图如图1-3，其中电阻损耗和机械损耗已从机电

6、耦合系统中移出；而介质损耗归并为耦合场吸收的能量，因此在图中用虚线表示，仍与机电耦合系统相连。在分析机电能量转换的机理时，还可进一步忽略不计耦合场的介质损耗。图13 机电装置中的能量干衡把式(1-2)各项能量写成时间内的微分形式，则得机电装置能量微分平衡式为： （1-3）式中，表示扣除电阻损耗后在时间内输入耦合场的 7净电能；表示时间内转换为机械能的总能量；表示时间内耦合场吸收的总能量。忽略不计耦合场的介质，在电磁式机电装置中就是耦合磁场储能的增量，即；在静电式机电装置中就是耦合电场储能的增量，即。式(1-3)是本章的分析出发点。这里应当指出，式(1-1)是机电装置中能量关系的客观描述，它表明

7、了在机电能量转换过程中，机电装置实际是一个有损耗系统。但如直接用式(1-1)去分析研究问题，主次不分，往往难于求解。由于机电能量转换过程是通过耦合场的变化给电系统和机械系统带来的反应与作用来实现的，而能量损耗对机电能量转换过程并无实质性的影响，所以我们把损耗分类并进行归并和扣除，使式(1-1)化为式(1-3)。这体现了把握主要矛盾的科学分析方法，表明对待一个实际机电装置，可先将该装置抽象成无损耗的机电系统，只着眼于依赖耦合场储作中间媒介来实现机电能量转换的过程，突出问题的核心耦合场对电系统和机械系统的反应和作用，来明确机电能量转换的基本机理，以便进行深入的分析。核心问题清楚了，只要再加上能量损

8、耗，就能很方便地求得实际机电装置的全部工作情况。1-2 保守系统和磁场储能一、保守系统和状态函数在理想的物理系统中，有许多无损耗、可储能的元件，-（1）某些机电装置，其铁耗不允许忽略不计时，可以根据铁耗的作用，把它作为等效机械损耗或作为等效电阻损耗，归并到真实的机械损耗或电阻损耗中去，并移出机电耦合系统，使。 8如表1-1所示。在电系统中：线圈通过电流时，会产生磁场来储存一定的磁能；电容器充电时，会产生电场来储存一定的电场能。在机械系统中：旋转体或平移运动的物体会储存一定的动能；弹簧被外力压缩长度时，所加的能量会以位能形式诸存起来；被升高的静物储存着位能；。这些元件在一定条件下可以储存能量，当

9、条件变化时又可以部分或全部释放所储能量，它自身并不消耗能量，故称为储能元。全部由储能元件所组成的，与周围系统没有能量交换的自守物理系统称为保守系统。当我们把决定储能元件储能大小的变量全部用或来表示时，如表1-1中的磁能改写成，电场能改写成等等，则整个保守系统的能量 可表示为W=W(，) （1-4）由式可见，保守系统的全部储能是和（i=1，2，)的函数，它仅与，的即时状态有关，而与达到状态的经过无关。对于这些值，即描述系统即时状态的一组独立变量，称为状态变量。由一组状态变量所确定的、描述系统即时状态的单值函数，例如储能，称为系统的状态函数。正如磁场对铁磁物质或载流导体有力的作用，使其运动做功以显

10、示磁场具有储能那样，储能元件处于储能状态时，对外会表现出力或电压(广义力)的作用。例如弹簧力；电容器上的电压。 9表1-1 储能原件及其储能电系统机械系统空心线圈电容器旋转体平移运动体弹簧静物：电感：电流：电容：电压：电荷:转动惯量：旋转角速度：质量：速度K：刚性常数：伸缩长：高度：重力加速度 10凡是与储能有关，并能以储能的函数表达的力或电压，都可称为保守力。则按式（1-4），保守力可表示为 ; ) (1-5)它也是是状态函数。保守系统的一个重要特点就是，系统的储能以及与储能相联系的保守力都是状态函数，即两者都仅与系统即时状态有关，而与系统的历史以及达到即时状态的路径无关。这是下面分析磁场储

11、能和电磁力的依据之一。上节的无损耗机电系统，若割断它与周围的联系就是一个保守系统。若考虑系统的损耗，及其与周围的能量交换，则实际机电系统都是非保守系统，并且除保守力以外，还有与状态变量无关的力，后者称为非保守力，如摩擦力、电源电压等。二、磁能和磁共能前面提过，耦合场及其储能的存在是机电能量转换的关键，因此有必要深入了解磁场能(以下简称磁能)的晴况。1. 单绕组机电装置的磁能表达式图1-4 电磁铁 11如前所述，磁能是个状态函数，它仅与系统在研究的即时状态有关。以图1-4所示电磁铁为例。它以固定铁心、可动衔铁以及两者间的气隙组成一个闭合磁路。设铁心各段的截面积都为A；铁心的平均长度为，气隙长为，

12、磁路的计算长度为；衔铁与固定铁心之间的接触面假设为无隙理想滑动面；实际的激磁绕组等效为无电阻的理想线圈外串一个电阻。在不同气隙下电磁铁的一族磁化曲线(指曲线，下同)如图1-5所示。显然，系统的磁链既与线圈电流有关，又与衔铁的位移有关，即。三个变量中只有两个是独立变量。现将电磁铁的衔铁保持在某一固定位置如上，激磁线圈外施电压，各量的正方向如图1-4所示，电磁量从零开始增大，经过时间，线圈的电流为，感应电动势为，全磁链为，与线圈匝数全部交链的等效磁通为。则电路任意瞬时电压平衡方程式为 (1-6)上式两边同乘，再取积分，便得从零到时间内的能量平衡式： (1-7)上式左边是从零到时间内电源输入电磁铁耦

13、合磁场的净电能，由于衔铁没有机械运动，即没有变成机械能，所以 - （1）位移是一个矢量，取衔铁初位置为坐标原点时，位移就是衔铁位置的坐标。 12这些净电能将全部转换成磁能，即 （1-8）用图解来表示，当电磁铁的衔铁位置保持在上，其磁链就是图1-5中的那条磁化曲线。把它重画在图1-6上，则随从零开始增大中，式(1-8)的就是图I-6小矩形的面积。因此对时，电磁铁的磁能就等于图1-6中水平阴影线部分的面积。图l5电磁铁不同气隙的磁化曲线族 图16磁场储能注意，式(1-8)虽然是在衔铁不动的情况下导出的，但在衔铁运动时仍然成立。这是因为磁能是个状态函数，它仅与研究瞬时的即时状态有关，也就是磁能仅是与

14、，(或与，或与)的单值函数。若衔铁在运动中某一即时状态的与衔铁静止时某一即时状态的完全相同，则两者必有相同的磁能。所以，无论机电装置的可动部分是运动还是静止，计算即时磁能时，总是把它等效成可动部分静止在即时状态的位置上，使电流从零开始增大到即时状态的电流为止磁场所获得的全部磁能，即应用式(1-8)来求得。式(1-8)是单绕组机电装置磁能的普遍表达式，应用时需要注意的足装置的即时状态。若上述电磁铁在另一瞬时，则它的磁能就等于图1-6中画积0EF，它与时状态具有不同的磁化曲线。磁能还有另一种表达式，应用磁通密度B和磁场强度H来计算磁能。例如，上述电磁铁的衔铁与固定铁心吸合在一起(气隙为零)时，磁路

15、为单一的导磁介质，磁导率为磁路的体积。单位体积内的磁能称为磁能密度。由式(1-8)可得为 (1-9)而 (1-10)特殊情况，如磁路为线性(装置的工作点在磁化曲线的线性部分上)，上述关系可进一步简化。因为这时磁路的磁导，线圈的电感L和磁导率都是常量， 带入(1-8)或式(1-9)中，可得 (1-11)一般情况，磁路具有铁心与气隙两种介质，或者是由若干串联和并联支路组成。此时，式(1-10)可用来计算磁路结构中每个均匀截面部分的磁能，而总磁能等于各部分磁能之和，即 (1-12)式中 是磁路不同截面的分段数。2. 具有不同介质时，磁能的分布情况实际机电装置的磁场所在的整个空间，是由铁磁材料和气隙等

16、不同介质组成的。这时磁能的分布情况用一个例题来说明如下。例1-1 图l4所示电磁铁，忽略气隙部分的边缘效应，假定铁心和气隙的截面积相同，均为A,B=1T，磁路是线性的，铁心的磁导率。试求气隙和铁心内磁能之比。解 参照式(111)和式(1-12)，气隙内磁能和铁心内磁能分别为所以气隙和铁心内磁能之比为或由上可见，在相同的磁通密度下，磁能密度的大小反比于介质的磁导率。由于铁磁材料的磁导率是孪气的上千倍，所以通常机电装置的总磁能的大部分是集中在气隙中。即磁通增长时，装置的大部分磁能是储存在磁路的气隙中；当磁通减少时，大部分磁能早从气隙中释放出来。铁心内磁能占的比重很小，有时可以忽略不计这就是我们在讨

17、论耦合场 15时往往只注意气隙磁场的缘故。此外，这也是在实用上要增大电抗器容量(增大装置的磁能)的最佳办法，是设置气隙的理由。3 磁能与磁共能的一般表达式式(1-8)在数学运算中，有时需要用分部积分法化简，即 (1-13)上式右边第二项，定义为磁共能。图1-7 磁能和磁共能用图解表示时，磁共能为图1-7中垂直阴影线部分的面积。它与磁能的关系是磁共能也是一个状态函数。它没有特定的物理意义，只是在某些情况下引用磁共能可以简化数学运算。当磁路是线性时，图1-7中磁化曲线为直线，此时系统的磁能与磁共能正好相等，即将式(1-13)推广到具有个绕组的机电装置，其磁能和磁共能的一般表达式为 16 （1-14

18、）上式积分计算时，因为磁能（或磁共能）是状态函数，为了便于计算，可以令装置的可动部分静止在即时位置，各绕组磁链（或电流）在其余绕组磁链（或电流）都不变的情况下逐个从零增大到终值，并且各个磁链（或电流）到达终值的次序可以任意选定。 当磁路为线性时， （1-15） 写成矩阵式为 （1-16） 式中为电流矩阵，L为电感矩阵，为电流的转置矩阵，分别如下： 171-3 单边激励的机电装置在这一节里将讨论单边激励的机电装置的机电能量转换过程，以及由磁场产生电磁力的情况。仍以图14所示电磁铁为例，当激磁线圈无电流时，由于弹簧力的作用，衔铁与固定铁心之间的气隙具有最大值。，衔铁的位移；当线圈通入的电流足够大时

19、，衔铁所受的电磁力克服弹簧力和其它阻力，将使衔铁运动到吸合位置，此时。在这个过程中，我们可从任一瞬时的状态开始，经过时间，电流变化了，衔铁位移了，到达的状态进行研究。其间产生的平均电磁力使衔铁位移所作的机械功，显然是来源于电源通过耦合磁场传递来的能量，详情分析如下：一、 磁能产生电磁力的物理概念上述电磁铁通电使衔铁运动的过程中，考虑线圈电路的电压平衡方程，在时间内由电源供给耦合磁场的净电能为 (1-17)此式与磁能表达式（1-8）在形式上相似，但是两者的积分路径是不同的。式（1-8）是认为衔铁不动，为常量，积分是沿着单一磁化曲线进行的；而式（1-17）是衔铁在运动中，不同瞬间的不仅电流在变化，

20、而且衔铁位移也在不断 18变化，积分是沿着动态的轨迹进行的。在图1-8中，设点和点分别为衔铁位移是和的瞬时工作点，显然从点到点的变化轨迹已非非单一的磁化曲线了。下面分别对三种情况进行讨论。() 为常量； () 为常景； ()一般情况图1-8衔铁移动刀刀的能量关系() 为常量；() 为常景；()一般情况第一种理想情况：时间内线圈电流为常量。如图1-8()所示，电磁铁工作点由点到点的过渡轨迹可用的直线段表示。点磁能面积；点磁能=面积;时间内磁能增量面积(-)；时间内输入的净电能面积；时间内电磁力所做的机械功面积(+-)面积。 19在图1-8()中用阴影线表示等于刀的面积。值得注意的是，在=常量的条

21、件下，这部分面积就是耦合磁场时间内的磁共能增量。则得衔铁在位移内受到的平均电磁力为 （1-18）第二种理想情况：时间内线圈磁链为常量。如图1-8()所示，电磁铁工作点由点到点的过渡轨迹是一条的直线段，并且时间内输入的净电能。于是，时间内总机械能为=面积(-)面积这表明：在常量的条件下，机电装置的总机械能，也就是电磁力所做的机械功是耦合磁场释放部分磁能转换而来的，它等于耦合场磁能的负增量。所以平均电磁力为 (1-19)第三种情况：时间内线圈电流和磁链均为变量。这是一般情况。如图1-8()所示，电磁铁工作点由点到点的过渡轨迹既不是与横坐标垂直的直线段，也不是水平直线段，而是取决于电磁铁实际动态情况

22、的由点到点的某一条曲线。应用上述同样的方法可求得图1-8()中阴影线部分面积即为电磁力所做的机械功。综合上述三种情况，电磁力所做的机械功总是由两条磁化曲线与过渡轨迹所包围的面积来确定。如果取极限使趋近于零，那么三种情况下等于机械功的阴影面积就趋近于相等，由式(1-18)或式(1-19)算得的平均电磁力 20都趋近为衔铁在位置位置上所受电磁力的真值。所以把这两式改写成微分形式，就得电磁力的表达式为 （1-20）或 （1-21）上两式表明电磁力既可用磁共能对的偏导数来计算，也可用磁能对的偏导数来计算。由于衔铁位移趋近于零的极限只是个虚位移，所以可不管衔铁运动的速度、和是如何变化的，应用式(1-20

23、)或式(1-21)计算都将得到同样正确的结果。关于两种表达式的符号相反问题，解释如下：为正时意味着气隙减小，对应的磁共能增量为正(恒定)，磁能增量为负(恒定)。式(1-20)正乘正得正，式(1-21)负乘负也得正，两者结果相同，得到的皆为正值，表示与同号，都是指向气隙缩小的方向。二、磁能产生电磁力的数学推导下面对电磁铁衔铁位移期间，机电能量转换情况和产生电磁力的结果进行普遍性的数学推导。1 用电流和位移作为独立变量时在机电装置机电能量转换过程中，磁能及磁链都是线圈电流和衔铁位移两个变量的函数，即，。这期间，输入的净电能、磁能增量和电磁力所做的机械功分别为 （1-22）代入能量微分平衡式(1-3

24、)得 （1-23）由于和是独立变量，和没有函数关系，等式两边di项和dx项的系数应分别相等。由此可推得与式（1-20)一致的电磁力表达式如下： （1-24）当磁路为线性时，装置的电感仅是衔铁位移的函数，与电流无关。，则式(124)可改写为 （1-25）2 用磁链和位移作为独立变量时此时 ，式（1-3）的各项为 （1-26）代入能量微分平衡式（1-3）得等式两边和项的系数分别相等。由此可推得与式（1-21）一致的电磁力表达式如下： （1-27）对于上述推导强调说明三点：的表达式表明，由于线圈的磁链变化从而在线圈中产生感应电动势，是耦合磁场从电源输入（或向电源输出）电能的必要条件。磁链可表达为，则

25、感应电动势为 （1-28）在线性系统中，上式可简写为 （1-29）在上两式中，右边第一项是由电流变化引起的感应电动势，称为变压器电动势；右边第二项是由可动部件运动和电感随位移变化所引起的电动势，称为运动电动势(它不完全是切割电动势)。运动电动势的存在与否是动态电路与静止电路的主要差别之一。由机械运动引起的运动电动势是机电装置中的一个机电耦合项。机电装置中的另一个机电耦合项是电磁力。电磁力与运动电动势是机电能量转换的一对机电耦合项。与运动电动势在机电系统中的作用相对应，产生电磁力是耦合磁场向机械系统输出(或从机械系统输入)机械能的必要条件。电磁力表达式有式(1-24)、式(1-25)和式(1-2

26、7)，它们被称为虚位移原理表达式。这些式表明，当机电装置的某一部分发生微小位移时(既可以是真位移，也可以是虚位移)，如在恒电流或恒磁链的条件下，整个系统的磁能会随之变化，则该部分上就会受到电磁力的作用。电磁力的大小等于单位微增位移时磁共能的增量(电流约束为常量)或单位微增位移时磁能的增量(磁链约束为常量)；力的方向倾向使线圈自感增大的方向，在恒电流下，则倾向使整个系统的磁能增大的方向，并且只有到=0，亦即整个系统的磁能达到最大值的位置时，电磁力才等于零。应用关于电磁力的这一物理概念，在解决实际问题时常可迅速地得出正确的判断和许多有用的结论。小结电磁式机电装置的机电能量转换过程，大体如下：当装置

27、的可动部件发生位移时，气隙磁场将发生变化，包括线圈磁链的变化和气隙磁能的变化。磁链的变化引起线圈内感应电动势，通过感应电动势的作用耦合磁场将从电源补充能量；同时，磁能的变化产生电磁力，通过电磁力对外做功使部分磁能释放出来变为机械能。这样，耦合磁场依靠感应电动势和电磁力分别作用于电和机械系统，使电能转换成机械能或反之。还应指出，上述这些机电能量转换的基本原理，虽是从单边激励机电装置得出的，它也适用于多边激励机电装置。例12一个电磁铁如图1-9所示，衔铁和中心铁柱的截面积都为，气隙长为，激磁线圈匝数为。若接在直流电源上电流为；若接在交流电源上则线圈的感应电动势。假设铁心磁导率为，不计气隙的边缘效应

28、和漏磁，忽略衔铁与固定铁心滑动面的间隙。试对直流和交流两种情况，分别求作用在衔铁上的电磁力。解磁路是线性的，磁导，=4Hm。接在直流电源上，已知电流I。磁势F=IN磁能电磁力公式在数学推导中没有限定位移x的正方向，因此选用式(1-25)，并把x替换成，则得电磁力为式中的负号表示衔铁所受的电磁力是倾向使气隙缩小的吸引力。改写上式可得或 （1-30）即衔铁截面上单位面积所受的电磁力大小等于气隙磁能密度。接在交流电源上，已知线圈的感应电动势。气隙磁通 磁能 电磁力 这式与式(1-30)一致，说明式(1-30)是交、直流电磁铁汁算电磁力的普遍公式。忽略不计线圈电阻，则可见，交流电磁铁的电磁力约与无关，

29、在时间上以两倍电源频率脉动，引起衔铁的振动，如图1-10所示。平均电磁力为式中的负号与(1)同，表示吸引力。例1-3一台单相磁阻电动机如图1-11所示。凸极转子上没有线圈，它的机械角速度为，在时初相角为，任意瞬时的角位移。假设磁路是线性的，定子绕组的自感随变化为=，定子电流。试求该机的瞬时电磁转矩和平均转矩。解平移的电磁力公式应用于旋转运动，只要用替代x，瞬时电磁转矩替代即可。本题磁路是线性的，选用式(1-25)，改写为，代入已知条件，得瞬时电磁转矩为不难看出，若，则每个周期的平均电磁转矩；只在时，才有平均电磁转矩为可见单相磁阻电动机是一种同步电动机，它仅在和同步转速下才有平均电磁转矩(磁阻转

30、矩)，其大小与角2的正弦成正比，最大值等于。14 多边激励机电装置的电磁转矩普遍公式各种机电装置的机电能量转换机理是共通的。推广应用上节单边激励机电装置的知识，可以解决多边激励机电装置的许多问题。本节以一般的具有边激励的旋转型机电装置为模型，只对电磁转矩表达式给予必要的扩充。选用电流，和角位移为独立变量时，则，等等，能量微分平衡式中各项可写成故 考虑到等式两边同一独立变量微分项的系数相等，即得电磁转矩普遍公式为 (1-31)或 选用磁链和角位移为独立变量时，仿照式（1-27）推导可得电磁转矩普遍公式的另一形式为 （1-32）或 若磁路为线性时，取用式(1-15)可得 （1-33）将上式写成矩阵

31、形式为 （1-34）式中矩阵、和都与式(1-16)同。至此，将有关机电装置电磁转矩的普遍公式归纳于下表1-2备查。表1-2 有关机电装置磁场和电磁转矩的普遍公式此外还需要说明的是：(1)式(1-31)和式(1-32)都是机电装置的电磁转矩普遍公式，可得相同的计算结果。当独立变量选用和时，应用式(1-31)计算比较方便；若选用和作为独立变量时，则用式(1-32)计算比较方便。(2)平移的机电装置与旋转的机电装置具有相似性(详见第三章)。因此，用平移的和替换旋转的和，可以将电磁转矩普遍公式改成电磁力普遍公式，或反之。(3)在电磁转矩普遍公式中，磁能或磁共能对求偏导数时，视或为常量，这仅是独立变量选

32、择所带来的数学制约，并不涉及实际端口的电的制约(例如电源电压的变化规律等)，因此这不影响公式的普遍性。例-4一个双边激励的机电装置示意图如图1-12，两个电端口的伏安特性已知为其中和是正的实常数，是的单值函数。试求：(1)装置的磁共能和磁能；(2)用和作为独立变量表达的电磁力。解 (1)两个伏安特性可改写为由此得装置中两个绕组的关系为应用式(1-14)计算磁共能。先令=0，使从零增到终值，然后保持不变，使从零增到终值。即则可见本装置由于关系非线性，从而，是非线性装置。(2)应用式(1-31)可得电磁力为1-5用电场作为耦合场的机电装置用电场作为耦合场的旋转电机称为静电式电机，其原理图如图1-1

33、3。电机由两组极板组成，一组固定称为定片，另一组可以自由转动称为动片。定片和动片相互绝缘形成电容器，两者之间加上足够大的交流电压，动片就能转起来。一、 电场力所产生的转矩图1-13所示电机的动片每转一转，两组极板间的电容量将在最大值与最小值之间交变两周假定这一脉动按正弦变化如图1-14()所示，即 电场的储能为 （1-35）仿照电磁式机电装置电磁转矩的数学推导，利用能量微分平衡式可以推导出电场力所产生的转矩为或应用电场与磁场的相似性，空气电容器电场储能及、分别对应于磁路是线性的磁能及，参照式(1-25)可直接得出上式。式中，为电共能；的方向是倾向使电容增加。设角位移，电源电压。参照例1-3的结果，可对应写出电场转矩为由式可知，当动片的角速度时，平均电场转矩0；当时，有一个平均值。例如、时，随时间的变化曲线如图1-14()所示。可见静电式电机也是一种同步电机。二、 静电式电机的实用性目前作为机电能量转换用的电机为什么极少见静电式电机呢?下面用具体数字来说明。在电磁式机电装置内，气隙磁场的磁通密度通常在1.5以下，按照例1-2，衔铁截面上单位面积所受的电磁力的大小等于气隙磁能密度的大小，即。故 静电式机电装置内，在正常大气