三角函数地图像与性质题型归纳总结材料

1、实用文档标准文案三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y=A sin(3x+册或y=A cos(x+册,A0,30,要根据y=sin x,y=cos x的整体性质求解。一、函数的奇偶性例1 f(x)=sin(X ：:) (Ow二)是R上的偶函数，贝U等于()A.O B.C.D.42【评注】由y=sinx是奇函数，ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：若 y =Asin(x )是奇函数，贝 U二 k二(kZ);若 y 二 Asin(x )是偶函数，贝U二 k 二+刁(匕 Z);若 y 二 Acos(x，)是

2、奇函数，贝U=k-(r Z);若 y = Acos(x )是偶函数，贝 VZ);若 y 二 Atan(x)是奇函数，贝U( Z).变式 1已知 a R,函数 f(x) =sin x-|a|为奇函数，贝 V a 等于()A.0 B.1 C.-1 D.-1变式 2设 R,贝 y “=0”是“ f(x)二 cos(x:)(xR)为偶函数”的()A充分不必要条件B.必要不充分条C充要条件D.无关条件变式 3设 f (x)二 sin(x )，其中O 则 f (x)是偶函数的充要条件是()A.f(0) =1B.f(0) =0C.f(0)=1D.f(0)=0例 2.设 f(x)二 sin(2x-)(x R)

3、,则 f(x)是()A.最小正周期为二的奇函数B.最小正周期为二的偶函数C.最小正周期为-的奇函数D.最小正周期为-的偶函数222变式 1.若 f(x)二 s in xT(x R)，则 f (x )是()实用文档标准文案A.最小正周期为二的奇函数B.最小正周期为二的偶函数C.最小正周期为 2 二的奇函数D.最小正周期为 2 二的偶函数实用文档标准文案变式 2.下列函数中，既在（0,2）递增，又是以二为周期的偶函数的是（）A.y =cos2xB.y=|sin2x|C.y =|cos2x|D.y =| sinx|二、函数的周期性JIJ例 3.函数 y 二 sin（2x）cos（2x ）的最小正周期

4、为（）66nnA.B.C.2二D.二24【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数y = Asin（，x：丨）b, y = A cos（，x：1） b, y = A tan（，x：1） b的周期分别为,.丨丨丨丨丨创函数 y=|As in （，x ）|, y =| AcosC，x ：；灯）|, y =| Ata n（，x ）| 的周期均为(3)函数 y =|Asin( ,x )- b |(b = 0), y=|A cos( ，x：；叩)-b | (b = 0)的周期均为变式1.函数 y =sin(2x -) cos(2 )的最小正周期和最大值分别为()A.二,1B.2C.2：,1D.2

5、-, 2变式 2.若 f (x) =sin x(sin x -cosx),则 f (x)的最小正周期是 _ .变式 3.若 f (x)二 sin 3x | sin 3x |则 f (x)是()三、函数的单调性例 4 函数 y 二 sin（-2x）（x 0,二）的递增区间是（）675二5二A.0,3B.転了C.眾D.訂【评注】求三角函数的单调区间：若函数 y=Asin（x：）（A 0, 0）则（1）函数的递增区间由2kx 乞 2k（kZ）决定；2 23Ji|T.2二L |TTA.最小正周期为一的周期函数3C.最小正周期为 2 二的周期函数Q-TTB.最小正周期为的周期函数3D.非周期函数实用文档

6、标准文案函数的递减区间由2kx _2kU-（k Z ）决定；2 2若函数 y = A si n（x W）中 A 0, * ；： 0，可将函数变为y =-Asi n（ r：x）则 y =Asin（- x - ：）的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间； 对于函数 y = A cos（X 亠卞）和 y = A tanLlx）单调性的讨论同上。实用文档标准文案变式 1.函数 y = si nx f(x)在-,3内单调递增，则 f (x)可以是()4 4A.1B.cosxC.sinxD.一cosx变式 2.若 f(x)=s in( .x 4) 0)在( (，二，二) )上单调递增，则的取值范

7、围是(r1 5A.2,4r1 3nB.2,4C.(oD.(0,2JInx ) cos( - x)(门 0)33(1)求 f (x)的值域；(2)若 f (x)的最小正周期为 -,x 0-, f(x)的单调递减区间四、函数的对称性(对称轴、对称中心)例 5.函数 y 二 sin(2x )图象的对称轴方程可能是JTtJtA.xB. xC. X =6126【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：变式 3.已知函数 f (x) = 3sin x cos( 兀x =12实用文档标准文案函数 y 二 si n x 的对称轴为x 二 k- 二（k 三 Z）,对称中心（kO）（k 三 Z）;2函数 y=co

8、sx 的对称轴为x=k-（kwZ）,对称中心（k,O）（kZ）;2函数 y 二 tan x 无对称轴，对称中心（P , 0）（ k Z ）;25 十耳半（4）函数 y = A si n（ ，x 亠门）亠 b 的对称轴的求法：令，x = k（k 三 Z）,得 x =2（k 三 Z）;2蛍对称中心的求法：令 .xW-F=：k:（k. Z）得 x=k _ （k Z）,对称中心为 （k ,b）（ k Z）;coco（5）函数 y = A cos（ ，x 亠-） b 的对称轴的求法：令 =k:（kZ）,得 x=k_ （k 三 Z ）;COk 兀+王一申kn +对称中心的求法：令二 k（k 三 Z）得 x

9、=2-（k 三 Z）,对称中心为（2- ,b）（kZ）2灼HT变式 1.已知函数 y=sin（x ）0）的最小正周期为二，则 f （x）的图象（）3JTJTA.关于点（一,0）对称B关于直线 x 对称34C.关于点（一,0）对称D关于直线 x 对称43变式 2.函数 y =sin（x）的图象的一个对称中心是（）43兀3兀兀A.（-二，0）B. （-一,0）C. （丁0）D.（二,0）4422x2x变式 3.函数 f（x）=sin +cos的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是 _ .55变式 4.若函数 y =sinx-.3cosx 的图象向右平移 a 个单位（a 0）后的图象关于 y 轴对称，

10、则 a 的最小值是（）TnA.-B.C.626五、三角函数性质的综合【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要;（1 对称性二奇偶性：若函数 f（x）的图象关于 y 轴对称，则 f（x）是偶函数; 若函数 f （x）的图象关于原点对称，则 f （x）是奇函数；（2）对称性=周期性：相邻两条对称轴之间的距离为 相邻的对称中心与对称轴之间的距离为T;4T;相邻两个对称中心的距离为2f (x)单调;实用文档标准文案对称性二单调性：在相邻的对称轴之间，函数 特殊的，若 f（x）二 As in（x）,A 0，门宀 0 函数 f（x）在片户2上单调，且 0，齐户2设 v

11、 - max| 弓 |户2，贝 UT-4实用文档标准文案(4) f(x)的单调递增区间是k 二 石,k 二令(k Z);存在经过点(a,b)的直线与函数 f (x)的图象不相交以上结论中正确的是_例 7.已知函数 f(x)=4cos(，x )sin x-cos(2 亠，)(门 0) 6(1)求 f (x)的值域；(2)若 f (x)在区间-牛为增函数，求的最大值变式 1.已知函数 f(x)=2sinx(0,若 f(x)在-，三上递增，求的取值范围.4 3例 6.设 f(x)二asin2x bcos2x,ab = 0,若 f (x) 0）, f（l） = f（=）且在 G,）上有最小值无最大值，

12、则 =_3636 3题型2根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。【思路提示】由图象求得y=A sinx+妨（A0,w0）的解析式一般不唯一，只有限定0的取值范围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为co=0,第二点（即图象最高点）为cox+护=工第三点（即图象下降时2 一与横轴的交点）为x眩=感，第四点（即图象最低点）为，第五点（即图2象上升时与横轴的交点）为x =2二.。例 9函数 f （x）二 As in （2x ）（A,一R）部分图象如下图所示，则C.3f(0)()实用文档标准文案变式 1.

13、函数 f（x）=Asin（x，）（A 00）部分图象如下图所示，则f（0）=实用文档变式 2.f （x）二 Acos（X ）部分图象如下图所示,例 10.已知函数 f（x）二 Asin（x:）（A 0, 0,:卜：二）部分图象如下图所示，求 f（x）的解析式。变式1.已知f （x） =cos2C）（ ，为常数），如果存在正整数-和实数使得函数f （x）的图象如图所示（图象经过点（1,0），求的值.一 2,则 f（o）=实用文档标准文案方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。3J例 11.已知函数 f(x) =sin(x )(.0,0 U：二)为 R 上的偶函数，点(一 ,

14、0)是其一对称中心,4且函数在0,；上单调，求函数 f (x)的解析式。变式 1已知函数 f(x)=4si nC，x0,0)图象的相邻两条对称轴的距离为-，23且经过点(0,2)，求函数 f(x)的解析式。题型3:函数的值域（最值）【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：实用文档标准文案(1) y =asinx b =at b,sin x =t -1,1;(2) y = a sin x b cosx c = a2b2sin(x ) c,tan =-;a2 2(3) y二as in x bs inx c二at bt c,si nx二

15、t -1,1；2 2 _y =acos x bsinx c = -atbt (a c),sin x = t -1,1；y =acos2x bsinx c = -2atbt (a c),sin x = t一1,1；(4) y = acosxsin x b(sin x cosx) c = a - bt (a c),sin x cosx = t - - 2,、2; y二acosxsinx b(sinxcosx)c二a bt (a c),sinxcosx = t -2、2;丫/sinx b 与 y =asinx b根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可 csin x+d ccosx+d用不

16、等式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意si nx、cosx 的范围。例 12 函数 f(x)二 si nxcosx 的最小值是()11A. -1B.C. D.1223T变式 1.函数 f（x）=sin x-cos（x，）的值域为（）A.-2,2B.- ,3,、,3C.T,1D.-J,j2 2实用文档标准文案变式 2.函数 f(x)二 sin2x 、_3sin xcosx 在区间-一，上的最大值为( 4 21 + J33厂A.1 B.C. D.122A. 7B.2.33C.5D.42变式 1.求函数 f (x) =cos(x )3变式 2.求函数 f （x）二 cos（2x - ）

17、 2sin（x：）sin（x-）（x -衫三）的值域.例 14.求函数 f (x) = 2cos 2x sin2x -4cos x 的最值.例 13.函数 f(x) =4sin(xnn3) 3sin(ex）的最2cos22 的值域.实用文档标准文案变式 1.求函数 f (x) =cos2x sin x(| x| )的最小值.4变式 3.若 sin2x cosx a = 0 有实数解，试确定 a 的取值范围变式 2.求函数 f (x)=曲 x gx 83w 的最大值实用文档标准文案变式 4.若关于 x 的方程 cos2x-si nx，a= 0 在（0/ 上有解，则 a 的取值范围是（）2-5AC

18、45y y Dcq变式 5.若关于 x 的不等式 cos2x-sinx a _0 在（0,上恒成立，求 a 的取值范围.2sin x +1例 15.对于函数 f（x）（0：x：），下列结论中正确的是（）sin xA.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值和最小值D.无最值变式 1.求函数 y ”気空的值域.实用文档标准文案2+s in x实用文档标准文案变式1 2若-，求函数如）的最大值.题型4:三角函数图象变换【思路提示】由函数 y =sinx 的图象变换为函数 y=AsinC x；申） b（A, - 0）的图象.途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）1cp.x 变为原来的-向左平移有单位y 变为原来的 A 倍y 二 sinx-sin -x-y 二 sin（ x）-向上平移 b 个单位y =Asin（国 x +申）-、y = As in （x+） + b.平移口诀：左加右减，上加下减（不要管- ：:、b 的正负，注意先弄清楚由谁平移到谁）例16.把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像