积分与路径的无关性

1、授课题目2 柯西积分定理授课类型理论课首次授课时间2022年9月1日学时2教学目标掌握柯西积分定理及推广.重点与难点重点：柯西积分定理及推广到复周线的情形难点：柯西积分定理推广到复周线的情形.教学手段与方法黑板讲授教学过程：(包括授课思路、过程设计、讲解要点及各局部具体内容、时间分配等)(一)授课思路(二)过程设计1.回忆上节课的主要内容2.讲授新课3.课堂练习与讨论4.课堂小结匕布置作业(三)讲解要点及各局部具体内容：1.柯西积分定理从1所举的例子中可以看出,在例 3.1(2)中,被积函数f(z)z在单连通区域z平面上解析,它沿连接起点a与终点b的任何路径C的积分值都是相同,即积分与路径无关

2、,但在例 3.3中,被积函数f(z)Rez在z平面上处处不解析(见第二章习题1),而积分值却与连接起点a与终点1i的路径无关.卜面给出周线积分的根本定理.定理：设f(z)在区域D内连续,F(z)是f(z)在D内的原函数,即zD,F(z)f(z)那么对于D内上任意起点为乙,终点为z2的周线C,有fdzF(z2)F(z1).C注意定理的条件蕴含F(z)在D内解析.该定理的意义在于：把微积分根本定理推广到周线积分上.1/5证实：如果C是光滑曲线,zz(t)例 1.求coszdz,C其中C如图：解：由于对任意的z,被积函数有原函数,F(z)sinz,不必再求 C 的参数表示,由定理 12icoszdz

3、sinz1C例 2.求1dz,其中 C 分别如下列图：Cz解：(1)在去掉负实轴的区域Di内取对数函数的分支：F(z)ln|z|iargz,(argz)一一1口1i那么在区域D1F(z)一,于是一dz=F(z).i(一)izCzi22推论 1：假设f(z)在区域D内连续,且在D内有原函数,那么对D内的任意环线C,有fdz=0C这个推论提供了当n1时,积分(za)ndz的另一求法.C推论 2.假设f(z)在区域D内连续,且在D内有原函数,那么它沿D内的周线积分只依赖与周线的至此,我们将建立已讨论的三个性质的等价性:定理 2.设f(z)在区域D内连续,那么以下结论等价:(1) f(z)在D内的原函

4、数(2) f沿D内的任意环线C的积分为零.即对D内的任意环线C,有fdz=0(3) f沿D内的周线积分与路径无关.,即对于D内任意两点z0与z1,积分值zif(z)dz与连接起点z0与终点乙的路径无关4证实：(2)设Ci与C2是D内连接z0与zi的两条曲线,那么正方向曲线Ci与负方向曲线C2就连接成D内的一条闭曲线C,从而由定理及1的性质(3)有0cf(z)dzf(z)dzf(z)dzCCiC2因此f(z)dzf(z)dzCiC24记为F(z)f()d(3.5)4zz(z0),那么F(zz)F(z)z(3)(i)cf(z)dz只其起点和终点有关,因而当起点z0固定时,对于一个zD,就唯一地确、

5、一zi定了一个积分值z0f()d,这说明当z0固定时,积分zi、.、一f()d就定义了z0D内的一个单值函数,zD,作一个以z为心,以充分小的为半径的圆C,使得CD,在C内取动点zf()d4端点,即积分与连接这两点的路径无关.如下列izzf()dzzzz由于积分与路径无关,因而我们可取f()d的积分路径为由z0沿与z0到z,再从z沿直线段到zz(图3.3)即F(z)limF(zz)F(z)z0z现在看来,定理 2 的作用不大,我们甚至疑心能否验证一个函数沿这任何闭曲线的积分为零.在下一节中我们将得到一个令人惊讶的定理：Cauchy 定理.它给出了使上述性质成立的简单条件.o图 3.3F(zz)F(z)从而有,z干日F(zz)F(z)f(z)zo1f( )dz0f()df(z)但f()F(zzzf()dzz0zf(z)dzz0zf()df(z)df(z)在D内连续,所以对f(z),