含有参数的一元二次方程专题

1、8含参一元二次方程专题复习一、基础知识梳理、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元二次方程根或解.、b2 4ac叫作一元二次方程的判别式：0方程有两个不相等的实数根为 b*2 4ac , X2b4ac2a2a2a0方程有两个相等的实数根x1 x2;0方程没有实数根.、韦达定理：一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）的两个根x1、x2,则 x1 x2二、基本技能习得、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用；、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”；、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有 相等的根.三、基本

2、思想导航注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想.、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法 和韦达定理解决问题。例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程， 使问题得到解决；、转化思想：例2中在求A |xi x2|最值时，通过平方，把问题绝对值去 掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解；、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形 式，从而实现了几何和代数的沟通；、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程” ，如果 是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类， 认清楚是“

3、有实数根” （ 0）还是“不相等的实数根" （ 0）如例1、例3 和例4.在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方法解决问题。在本节中没有例题都有体现，特别是例 3.四、典型例题经验例1、已知常数k为实数，讨论关于x的方程(k 3)x2 (2k 1)x k 0的实数根的 个数情况。【解析】此题是对一元二次方程定义和其判别式应用的小综合考查，解决此题学生要有分类的数学思想又一定的感悟。在分类基础上运用一元一次不等式和一元 一次方程的知识解决问题.【解答】当k 3 0,即k 3时原方程为5x 3 0 , x-原方程只有一个实数5根当k 3 0,即k 3时原方程为

4、一元二次方程，其判别式当k 1,且k 3原方程有两个不相等的实数根；81.、一 当k原方程有两个相等的实数根；8,1、当k 二原方程没有实数根.8【解法】先分一元二次方程、一元一次方程两类，再根据判别式和k 3 0,求出k的值。例2、方程x2 (m 4)x m 0的两个根分别是x1、x2,试判断方程的根的情况；设A |x1 x2 |则是否存在最大值或最小值？若存在， 求出这个值；若不存 在说明理由.【解析】通过判别式b2 4ac (m 4)2 4 1 ( m)的进行必要的变形后，由关于m的代数式的值来确定方程根的情况。直接求 A |x1 x2|最值比较困难，但题目给出方程有两个实数根，而A |

5、x1 x2|的形式来看，它一个对称式，这两 点提示我们用韦达定理来求解。沿着这个思路，通过平方，把绝对值去掉。由A2 |x1 x2 |2 (x x2)2 4x1x2可把A2转化为关于m的代数式，从而求解.【解答】由题意得：(m 4)2 4 1 ( m) (m 2)2 12方程一定存在两个不等实数根. Q x1 x2 m 4XgX2A, A 2 ,22c2/、2,Q A| x1x2| A |XiX2|Xi2X1X2X2(XiX2)4x1X2,即(m 4)2 4 1 ( m) (m 2)2 12,Q(m 2)2 0 (m 2)2 12 12,当m 2时代数式(m 2)2 12有最小值12,即A2有

6、最小值12,又QA |x1 x2| 0, A2 12 时，A 破 2百,A I" X2I存在最小值，且最小值为2/3.【解法】在判断 的符号时和讨论A2的最值时，都用到了配方法，可见在配方 法是初中数学的常用方法.在解决第小时，用到了转化的思想，表面上看，A |X1 X21最值和韦达定理没有联系，但是通过两边平方之后，将问题转化为A2的最值，使问题得到顺利解决.例3、 ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程 x2 2k 3 x k2 3k 2 0的两个实数根，第三边BC的长为5 .k为何值时，ABC®以BC为斜边的直角三角形？k为何值时， ABC是等腰三角形？并求Z

7、XABC的周长。【解析】根据题意得出AB AC的长，再由根与系数的关系得出k的值；根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论： A况AC,A况BGBC= AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值.【解答】:ABC是以BC为斜边的直角三角形，BO 5 AB2 AC2= 25,AB AC的长是关于x的一元二次方程x2 2k 3 x k2 3k 2 0的两个实数根， . AB AC=2k 3, ABgAC=k2 3k 2,. _2_2_2_ _AB AC = AB AC -2ABgAC,即 AB AC=2k 3, ABgAC=k2 3k 2,222k 3 2k 3k 2 =25,

8、解得k=2或与（不符合题意舍去）.ABC是等腰三角形；.当 AB= AC时， =b2Yag 0, 2 2k 3 -4 k2 3k 2 = 0 解彳导 k 不存在；当 AB= BC 时，即 AB=5, .5 AC=2k 3,5AC= k2 3k 2,解得 k=3或 4, . AC=4 或 6, .ABC的周长为14或16.【解法】本题是一元二次方程根与几何问题相结合的实际应用典型例题。 在解答 时，应注意把几何知识用代数符号表示如：勾股定理（ AB2 AC= 25）;三角形 三边关系（A五AGAB= BGB热AQ结合韦达定理和判别式求解。同时, 综合运用分论讨论、数形结合和方程的思想。例4、m是

9、什么整数时，方程 m2 1 x2 6 3m 1 x+ 72= 0有两个不相等的正整 数根.【解析】首先根据已知条件可得m2-1*0,进而得到 廿±1,然后根据根的判 别式4。，可得m#3;再利用求根公式用含 m的式子表示x,因为，方程有两 个不相等的正整数根，所以分情况讨论 m的值即可.【解答】解法1首先，m2 1 0, m 1.36 m 3 2>0,所以m 3,用求根公式可得：612X1 、 X2 ，m 1 m 1由于X1, X2是正整数，所以，m 1 1236; m 1 1234612;解得m 2这时x, 6,x2 4。解法2首先，m2 1 0, m 1。设两个不相等的正整

10、数根为 , x2,则由 根与系数的关系知：m2 1 23,468912,1824,36,72,即 m2 3457910,1319 253773,只有m2 4925才有可能，即m 2, 3, 5。经检验，只有m 2时方程才有两个不同的正整数根.【解法】说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求解），然后利 用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的。有 时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如 此，这些都是最自然的做法。综上来说，此题主要考查了一元二次方程的二次项 系数不能为0,根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的

11、分 类讨论思想，综合性较强.五、模块练习提升A级1. （2019.盐城）关于x的一元二次方程x2+kx-2 = 0（k为实数）根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2. （2019年淄博市）若xi+x2 = 3, xi2+x22=5,则以xi, x2为根的一元二次方程 是（）A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2 = 0C. x2+3x+2=0D. x2 3x-2 = 03. （2019.潍坊）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m= 0的两个实数根的平方 和为12,则m的值为（）A . m= 2 B, m=3C, m=3 或 m=

12、 2D. m= 3 或 m=24. （2019.苍南）若一元二次方程 x2 3x c 0有两个相等的实数根，则 c的值 是.5. （2019.白银）关于x的一元二次方程x2而x 1 0有两个相等的实数根，则m 的取值为.6. （2019.邵阳）关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个不相等的实数根，则 m的最小整数值是.7. （2018.成都）若关于x的一元二次方程x2 （2a 1）x a2 0有两个不相等的实数根，求a的取值范围.8. （2019.黄石）已知关于x的一元二次方程x2 6x （4m 1） 0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)若该方程的两个实数根为X、X2 ,且 |Xi

13、X2 | 4 ,求 m 的值.B级9. (2019.广元)若关于x的一元二次方程ax2 x - 0(a 0)有两个不相等的实 4数根，则点P(a 1, a 3)在第 象限.10. (2019.罗湖区)在等腰 ABC中，三边分别为a, b, c,其中a 2,若关于x的方程x2 (b 1)x b 1 0有两个相等的实数根，则 ABC的周长是.11. (2018.绥化)已知关于x的一元二次方程x2 5x 2m 0有实数根.(1)求m的取值范围；(2)当m 5时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径.212. (2019.沙坪坝)从4,1, 0, 1, 2, 4, 6这八个数中，随机抽一个