含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)

1、百度文库-让每个人平等地提升自我含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X2项的系数a的符号分类，即a 0,a Qa 0;例1 解不等式：ax2 a 2 x 1 0分析：本题二次项系数含有参数，a 2 2 4a a2 4 0,故只需对二次项系数进行分类讨论。解：:a 2 2 4a a2 4 0到/曰+加2a 2 . a2 4a 2 ,a2 4斛得方程 axa 2 x 1 0两本H x1 , x2 2a2aa 2 * a 4 a 2 ,：./ a 4当a 0时，斛集为 x | x 或x 2a2

2、a当a 0时，不等式为2x 1a 0时，解集为x|a2 a2 4 x2aa 2 a2 42a例2解不等式ax2 5ax 6a 0 a 0分析因为a 0,0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。解a(x2 5x 6) a x 2 x 3 0当a 0时，解集为 x|x 2或x 3;当a 0时，解集为 x|2 x 3二、按判别式的符号分类，即 0,0,0；例3解不等式x2 ax 4 0/分析 本题中由于x2的系数大于二0，故只需考虑 与根的情况。解：:a2 16/当a 4,4即 0时，解集为R;34即A=0时，解集为 xXiX2,，不等式的解集为例4解不等式0,此时两根分别为am21 x2 4x 10

3、,22(4)4 mXia . a2 162a . a2 16243X22, -a . a 16 曰.,显然2所以当m0时，解集为当 .30时，解集为23 m卡F或xm21.3 m12 m当m J城m33 ,即三、按方程ax2 bx0时，解集为R。0的根Xi , X2的大小来分类，即XiX2,XiX2,XiX2；1、 例5解不等式x2 (a )x 1 0 (a 0) a分析：此不等式可以分解为:1a (x ) a0 ,故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解:原不等式可化为:a (x11) 0,令 aa工，可得:a，当a1或0 a 1时,故原不等式的解集为x | a 1八当a 1或a

4、 1时，a 一，可得其解集为 ； a11当1 a 0或a 1时，a ,解集为x | x a aa例6解不等式x25ax 6a20, a 0分析此不等式5a 2 24a2 a2 0,又不等式可分解为x 2a (x 3a) 0,故只需比较两根2a与3a的大小.解原不等式可化为：x 2a (x 3a) 0 ,对应方程 x 2a (x 3a) 0的两根为x1 2a,x2 3a,当 a0 时，即 2a3a,解集为x | x 2a或x 3a /含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知 识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命

5、题者的青睐。另一方面，在解决这类问题 的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生 的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题 的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数2f (x) ax bx c(a 0, x R),有1) f(x) 0对x R恒成立2) f(x) 0对x R恒成立例1 ：若不等式(m 1)x2(m 1)x 2 0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m,所以要

6、讨论m-1是否是0。 (1)当m-1=0时，元不等式化为 20恒成立，满足题意；m 1 0(2) m 1 0时，只需2，所以，m 1,9)。(m 1)2 8(m 1) 0例2.已知函数y lgx2 (a 1)x a2的定义域为R,求实数a的取值范围。/解：由题设可将问题转化为不等式x2 (a 1)x a2 0对x R恒成立，即有221/(a 1) 4a 0解得 a1或a -。3 1所以实数a的取值范围为(，1) (1,)。3若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有:百度文库-让每个人平等地提升自我x9

7、1) f(x) a恒成立af(x)min2) f(x) a恒成立a f (x)max例3、若x2,2 时,不等式x2 ax 3 a恒成立,求a的取值范围。解：设2x axa,则问题转化为当 x2,2 时,x的最小值非负。(1)2即:4时，f x min3a7又a34所以a不存在;当(2)4a当(3)4 a 4时,x min2综上所得:即:4时,f x min例4.函数f (x)取值范围。解：若对任意x1,即对x 1,考虑到不等式的分母2x),而抛物线g(x)x2注：本题还可将例5:在 ABC数m的范围。 解析：由f(x)1,) ,若对任意x0恒成立,x2 2x a 八f (x) 0恒成立,1,

8、f (x) 0恒成立,求实数a的1,),只需 x2 2x a 0在 x 1,)时恒成立而得2x a 在 x 1,)的最小值 gmin(x)g(1) 3 a 0 得aaf(x)变形为f(x) x 2,讨论其单调性从而求出f(x)最小值。x中，已知一_2 B、f (B) 4sinBsin2( ) cos2B,且 |f(B) m |42B2)2恒成立，求实f(B) 4sin Bsin2(4cos2B 2sin B 1,sin B (0,1f(B) (1,3,| f (B) m| 2恒成立,2 f(B) m 2,即f(B)f(B)m (1,3例6：求使不等式a sin xcosx, x 0,恒成立的实

9、数a的范围。a22.。1) f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f( x)max例7、已知2)/f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f ( x) max解：令2x,1时，不等式1 2x4x 0恒成立,求a的取值范围。要使上式在0,2,1t 0,2上恒成立，只须求出所以原不等式可化为:0,2上的最小值即可。mint 11ft FI11例8、已知函数lg2,恒有f x 0 ,试确定a的取值范围。解：根据题意得:1 在 x 2,上恒成立,即：a2x 3x 在 x2,例9.2时，f已知函数xmax所以a 2f(x)ax4x x2 ,x(0,4时 f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。解:将

10、问题转化为a4x x .对x (0,4恒成立。x3斛析：由于函a sin x cosx ，2sin(x ), x Z ,显然函数有最大值 ,2 ,444 4三、分离变量法从而问题转化为求主元函数令 g(x)，则 ag(x)min若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端, 的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地 有：,、 4x x 4 , ._ _由g(X) 卜 1可知g(X)在(0,4上为减函数，故g(X)min g(4) 0X . X八a 0即a的取值范围为(，0)。/注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、

11、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考， 往往会使问题降次、简化。例10.对任意az 1,1,不等式X2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的问题。解：令f(a) (x 2)a x2 4x 4,则原问题转化为 f(a) 0恒成立(a 11,1)。当x 2时，可得f(a) 0,不合题意。当x 2时，应有 f(1) 0解之得x 1或x 3。f( 1) 0故x的取值范围为(，1) (3,)。注：一

12、般地，一次函数f(x) kx b(k 0)在,上恒有f(x) 0的充要条件为f( ) 0f( ) 0解：设 f m m x2 1例11、若不等式2x 1 m x2 1对满足m 2的所有m都成立，求x的取值范围。2x 1 ,对满足 m 2的m, f m 0恒成立,2x1 2x 1017132解得：一；一 x -2x1 2x 1022五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1) f(x) g(x) 函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;2) f (x)

13、 g(x) 函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。百度文库-让每个人平等地提升自我4例 12.设 f(x) x x2 4x , g(x) x 1 a, 3若恒有f (x) g (x)成立,求实数a的取值范围d分析：在同一直角坐标系中作出 f(x)及g(x)的图象 如图所示，f(x)的图象是半圆_ 22(x 2) y 4(y/ 0) g(x)的图象是平行的直线系4x 3y 3 3a 0。要使f (x) g(x)恒成立，则圆心(2,0)到直线4x 3y 3 3a 0的距离满足 d一 .5解得a5或a -(舍去)3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是

14、等 价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。例13：已知a 0,a 1, f(x) x2 ax,当x ( 1,1)时，有f(x) %恒成立，求实数a的取值 范围。解析：由f(x) x2 ax 12,得x2 % ax,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，21 一 211如果两个函数分别在 x=-1和x=1处相交，则由1 a及(1)- a 得到a分别等于2和,2211并作出函数y 2、及丫 (一)x的图象，所以，要想使函数 x2 ax在区间x ( 1,1)中恒成22立，只须y 2x在区间x ( 1,1)对应的图象在y x2 1在区间x ( 1,1)对应图象的上面即恒2可。当a 1时，只有a 2才能保证，而0 a21例14、右不等式3x log a x 0在x 0,一3成立，求实数a的取值范围。13一 ，一一，_ 2.1 一一，、解：由题意知：3x logax在x 0,-内恒成立， 3在同一坐标系内，分别作出函数y 3x2和y log a x ，1.观察两函数图象，当 x 0,时，右a 1函数y l 3所以不成立；/当0 a 1时，由图可知，y logax的图象必须过点1d1a1 a2727广1综上得：1 a 27例 15.设 f(x) x2 2mx 2,当 x 1,)