上海奥数精讲第7讲讲义格点与面积教师版

1、第7讲格点与面积正方形格点多边形面积的计算;三角形格点多边形面积的计算。正方形格点多边形面积的计算;三角形格点多边形面积的计算。1、课彳:PP不“例3”、“例3拓展”、“例3拓展flash动画。2、板书。平常我们用的方格纸的方格（每个小方 格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两 条平行线的距离都是相等的（通常规定1.什么是格点?是1个单位），在这样的方格纸上，横、内容概述纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格 点多边形.三角形格点多边形是指：每相邻三点成或，所形成的三角形都是 等边三角形.规定它的面积为1,以这样 的点为顶点画出的多边形

2、为三角形格 点多边形.2.正方形格点多边形的面积公式（毕格定理）：S=L+ 2+N-1 （S为面积；其中L为周界 上的格点数；N为图形内包含的格点数） 3.三角形格点多边形的面积计算公式：如 果用S表小面积，N表木图形内包含的 格点数，L表示图形周界上的格点数， 那么：S=2X （L+2+N -1 ）。所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定 要求进行的一种变换，这种变换可以具体执 行。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。本节课主要介绍:与数字相关的操作问题; 染色相关的操作问题；计数方面的操作问题。教学过程环节一:引入教学目标：激发学生对格点产生浓厚的学习兴趣。(2)如下图，相邻

3、四点连成的小正方形面积为1平方厘米，分别连结各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图 形的面积，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。找出 图形外面一周的点数，中间的点数与面积三者之间的关系。*+ 1Tli * I - I 【讲解过程】1、学生分小组讨论明懒嗣I芦教叩问题。2、师生配合填表格：1 3、师生共同总结： A组，中间没有格点时，面积 -一周格 第二组，中间有一个格点时，面积 周 第二组，中间后两个格点时，面积 周归纳：任何一个格点多边形的面积S都等于周界上的格足图形内包含的格点数 N （即：S=L+ 2+N -1）。4、提示课题师：我们今大要学的内容是：格点与覆

4、盖。（板书课题:划、节二：点数+ 2+0-1平方厘米格点数+ 2+1-1平方厘米格点数+ 2+2-1平方厘米工数 L除以2减1再加上格点与覆盖）教学目标：学习并区别拼割方法和毕格定理求面积。如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形, 小钉之间的距离都等于 1个长度单位）计算它的面积是多少。（每相邻两个第（1）组图形编号一周格点数46814中间格点数0000面积（平方厘米）1236第（2）组图形编号一周格点数46814中间格点数1111面积（平方厘米）2347第（3）组图形编号一周格点数46814中间格点数2222面积（平方厘米）3458【讲解过程】师生审题，教师提问：用拼割方法算得的面积是多少？

5、先求长方形面积：4 X 3=12面积单位再求三个直角三角形的面积：2X3+2=3; 1X3 +2=1.5; 1X4+2=2面积单位围成的三角形面积 S=12-3-1.5-2=5.5 面积单位2、3、提问：格点问题的面积计算公式（毕格定理）是什么？S=L+ 2+N -1 （S为面积；其中L为周界上的格点数；N为图形内包含的格点数） 从问题和公式入手，计算面积S=3+ 2+5-1=5.5 面积单位答：它的面积是 5.5面积单位。（巩固拓展：下列多边形的面积是（面积单位）.）1、学生自己读题，分析题意。2、学生根据题拼割方法求得面积。11*7-5*5 + 2-9-8-7=40.5 面积单位3、指名学

6、生根据毕格定理求得面积。4、列式解答S=L+2+N-1 =13 +2+35-1=40.5 面积单位答：多边形的面积是 40.5面积单位。2:（在一个9 6的长方形内，有一个凸四边形ABCD （如右图）用毕克定理先求出它的面积来，再用拼割方法计算它的面积，看两者是否一致【讲解过程】1、师生审题，教师提问：用毕格定理算得的面积是多少?2、点名学生用拼割方法求面积。ABCD勺面积 土:方形EFGH勺面积-四角上的四个三角形的面积=9正方形点2+3 3 2+4 3 2+4 5 2)=54-(6+4.5+。+10)=27.5(面积单位).3、比较两者是否一致。4、列式：S=7+ 2+25-1=27.5

7、面积单位答：它的面积是 27.5面积单位。(巩固拓展：如图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。)【讲解过程】1、师生审题，教师提问：用拼割方法算得的面积是多少?先求正方形面积:4 X 6X 6=144平方厘米再求空白部分四边形的面积：4X (4X4+2X 4) =96平方厘米围成图形的面积 S=144-96=48平方厘米2、问：格点问题的面积计算公式是什么？S=L+ 2+N -1 (S为面积；其中L为周界上的格点数；N为图形内包含的格点数)3、从问题和公式入手，计算面积S=4X (8+2+9-1) =48 平方厘米答：它的面积是 48平方厘米。1环节三:教学目标： 进一步

8、熟悉毕克定理，求特殊图形的面积右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH 面积。【讲解过程】1、师生审题，教师提问：用拼割方法算得的面积是多少?长方形面积为：8X 12=96面积单位三个三角形面积分别为 3 X 4+ 2=6面积单位；3 X 4+ 2=6面积单位；4X 1+ 2=2面积单位两个相同的小长方形面积为：2 X 9=18面积单位箭形的面积为：96-6-6-2-18-18=46 面积单位问：还有其他的拼割方法吗？2、问：格点问题的面积计算公式是什么？S=L+ 2+N -1 （S为面积；其中L为周界上的格点数；N为图形内包含的格点数） 3、从问题和公式入手，计算面积

9、箭形ABCDEFGH面积=26 + 2+34-1=46（面积单位）.答：箭形的面积是 46面积单位。4、比较两种面积求法的简易性。（巩固拓展：右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?）1、师生共同读题，分析图形周界上格点数和内部格点数。2、点名学生回答以上问题。3、小组讨论学生的答案正确与否。4、解题过程：解：图形内部格点数为 59,图形周界上格点数为 19.所以图形的面积为:19 +2+59-1=67.5（面积单位）.答：这只“狗”所占的面积是67.5.面积单位。例47 右图是一个5 5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小、方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点

10、，要求其中任意3 fl个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段连结所围 成的面积尽可能大，那么，所围图形的面积是多少平方厘米？【讲解过程】1、师生共同审题，理解题意。2、小组讨论，学生抒发自己观点。3、列式解答：这是一个5X5的方格纸，共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形，根据格点面积公式，要使图形面积最大，必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数 尽可能多.由方格纸可知，内部格点数最多为 4X4=16,周界上格点数最多为5X4=20.但是，当周界上格点数为最多时，不符合题中“任意 3个格点不在一条直线上”的条 件，因此，适当调整图上 7个格点的位置，如下图所示，就得到了面积最大的

11、图形.所围成图形的最大面积为：17+2+16-1=23.5（平方厘米）.答：所用图形的面积是23.5平方厘米。4、思考：这个问题可以转化为剪去最小面积取求解吗？（巩固拓展：下图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位，求阴影部分的面积.）【讲解过程】1、 学生自己读题，理解题意。2、 小组讨论，找出规律3、 列式解答：解：图形内部格点数为 16,图形周界上格点数为 7. 图形的面积为：7 +2+16-1=18.5（面积单位）.答：面积是18.5面积单位。4、小结：平行四边形的格点面积公式同样满足毕格定理。（无需证明）环节四：教学目标：培养学生对三角形格点多边形的面积的计算。右图中有21个点，其中

12、每相邻的三点”或“ .”所形成的 三角形都是面积为1的等边三角形，试计算 ABC的面积.B【讲解过程】1、师生共同读题，对三角形格点面积求解进行猜想：问：可否转化成平行四边形格点面积求解？2、分组讨论，得出规律。三角形格点面积可转化为平行四边形格点面积求解。3、列式解答：由和J重合两点可拼为平行四边形，可以推出如下计算这类格点面积的公式：图形面积=（周界上格点数+ 2+内部格点数-1） X2.解：图形内部格点数为 4,图形周界上格点数为 4.S ABC =（4 + 2 +4-1） X 2=10（面积单位）.答： ABC的面积为10面积单位。（巩固拓展：右图中有21个点，其中每相邻的三点或所形成

13、的三角 形都是面积为1的等边三角形，试计算四边形DEFG的面积.）;二区. * * *【讲解过程】1、 师生共同读题，对三角形格点面积进行求解；2、 分组派代表演板，写出答案；3、 列式解答：S四边形 DEFG =（4 + 2 +5-1） X 2=12（面积单位）.答：四边形 DEFG勺面积是12面积单位。例6 丁把等边三角形ABC每边六等分，组成如图的三角形网.若K图中每个小三角形的面积均为1cm2,试求图中三角形DEF的面积.【讲解过程】1、 师生共同读题，理解题意；2、 小组讨论，数出周边格点和内部格点数；3、 列出三角形格点面积公式：S=2X ( L+ 2+N -1 )4、 列式解答：

14、解：图形内部格点数为 5,图形周界上格点数为 3.2S DEF = 2X( 3+2+5-1 ) =11( cm2).答：图中三角形 DEF的面积是11cm2。(巩固拓展：把大正三角形每边八等份，组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角 形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.)【讲解过程】1、 师生共同读题，理解题意；2、 小组讨论，数出周边格点和内部格点数；3、 列出三角形格点面积公式：S=2X ( L+ 2+N -1 )4、 列式解答：解：图形内部格点数为 12,图形周界上格点数为 4.图形的面积为：S=2X (4+2+12-1) =26(面积单位).答：所围成的三角形的面积是26

15、面积单位。环节五：#总结全课教学目标：整理全课思路，巩固收获1、全课你学到了什么？2、正方形格点多边形的面积公式和三角形格点多边形的面积公式分别是什么?3、你能想到学习和生活中有什么问题需要借助格点多边形面积求解公式吗？温故知新巩固目标：熟练应用毕格定理，掌握格点面积的求解技巧。【练习1】下图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形，计算它的面积是多少.（每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位）.【解析】由毕克定理得：7+2 +25-1=27.5（面积单位）.用拼割方法得：ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积=9X6-(6 X2+2+3X 3 + 2+4X 3+2+4

16、X 5+2)=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).答：它的面积是 27.5面积单位。【练习2】右图是一个10 10的正方形，求正方形内的四边形 ABCD的面积.【解析】S=(6 + 2+4-1)+( 8 +2+21-1)=6+24=30( 面积单位).答：四边形 ABCD勺面积是30面积单位。【练习3】右图中每个小正方形的面积为1平方分米，那么阴影部分的面积是 多少平方分米？【解析】图形内部格点数为7,图形周界上格点数为 5.阴影部分的面积为5-2 +7-1=8.5(平方分米).答：阴影部分的面积为8.5平方分米。【解析】: L=12 ; N=10,，S= L/2+N-1=1

17、0+6-1=15 （面积单位）. L=10; N=16, S= L/2+N-1=16+5-1=20 （面积单位）.L=6 , N=12,S= L/2+N-1=12+3-1=14 （面积单位）.L=10; N=13,S= L/2+N-1=13+5-1=17 （面积单位）.【练习5】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算 ABC的面积.【解析】因为N=5; L=3: 所以 S=2X ( L+2+N -1 ) =2 X ( 3+2+5-1 ) =11 (面积单位).【练习6】求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“二”或“一.”成面 积为1的等边三角形）.（面积单位）（面积单

18、位）（面积单位）（面积单位）. .S=2X (L+2+N -1. L=6; N=8,. .S=2X (L+2+N -1 ; L=7; N=8;. .S=2X (L+2+N -1N=7,)=2X(7 X 2+7-1)=19)=2X(8 X 2+5-1)=19)=2X(8 X 2+6-1)=20)=2X (8 X 2+7-1)=21较为成功之处:有待改进之处:家庭教商伏松玩是孩子的天性不少家长对孩子的“贪玩”感到很“头痛”，有的甚至不能容忍。 一些望子成龙、望女成凤心切的父母，往往把孩子正常玩乐的时间用 来参加特长班学习，如学舞蹈、学画画等。当他们发现孩子丢开所谓 的“正业”而玩耍时，就会大声训斥，倘若孩子因为玩闯了点“祸”， 更是犯了滔天大罪，有时会免不了一顿皮肉之苦。其实，玩是孩子的需要，是孩子的天性。玩，使孩子们精神焕发, 体格健壮；在玩中，孩子不仅学到了知识，而且培养了注意力，发展 了孩子观察力，强化了孩子的记忆力，丰富了想象力，锻炼了操作能 力；玩，还能在孩子幼小的心灵里播下人与人之间那纯真善良的美好 感情。记得一位教育家说过：“我们可以用牛奶代替母奶，而玩给孩 子童年的欢乐却是任何东西也不能替代，任何时期也不能补偿的。” 那些不爱玩，又不会