2013江苏高考数学真题含答案

1、2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1 .函数y 3sin（2x 一）的最小正周期为 42 .设z （2 i）2 （i为虚数单位），则复数z的模为3.双曲线土 1的两条渐近线的方程为1694 .集合 1,0,1共有 个子集.5.右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是（第5题）运动员第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙89909188926.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 一 2-_2_-2 _2 _2七

2、羊4c2(89 90)(9090)(9190)(88 90)(92 90)。万左为： S 2 ,57.现在某类病毒记作 XmYn,其中正整数 m, n (m 7, n 9)可以任意选取，则 m, n 都取到奇数的概率为 .8 .如图，在三棱柱A1B1cl ABC中，D, E, F分另1J是AB, AC, AA的中点，设三棱锥 F ADE的体积为M ,三棱柱A1B1cl ABC 的体积为 V2 ,则 VI :V29 .抛物线y x2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点P（x, y）是区域D内的任意一点，则 x 2y的取值范围是 .1 _ 2 一10 .设D

3、, E分别是 ABC的边AB, BC上的点，AD AB , BE - BC ,23若DE 1AB2AC ( 1, 2为实数)，则12的值为 .211 .已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x 0时，f(x) x 4x,则不等式f (x) x的解 集用区间表示为.22 x V12 .在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的标准方程为 1( a 0,b 0),右焦点为 a bF ,右准线为l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线BF的距离为弓，F至M的距离为d2,若d2 <6d1,则椭圆C的离心率为 .113 .在平面直角坐标系 xOy中，设te点A(a, a), P是函数y 一(x 0)图象

4、上一动点， x若点P, A之间的最短距离为2/2,则满足条件的实数a的所有值为 .114 .在正项等比数列an中，as一，a6ay3,则满足aa?anaa2an的2最大正整数 n的值为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)已知 a = (cos ,sin ), b (cos ,sin ), 0.(1)若|a b|我，求证：a b ；(2)设 c (0,1)，若 a b c,求，的值.16 .(本小题满分14分)如图，在三棱锥 S ABC中，平面 SAB 平面SBC, AB BC , AS AB,

5、过A作AF SB,垂足为F ,点E, G分别是棱SA, SC的中点.求证:(1)平面EFG 平面ABC ； BC SA.17 .(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A(0,3)，直线l : y 2x 4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y x 1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M ,使MA 2MO ,求圆心C的横坐 标a的取值范围.x18 .(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路径。一种是从 A沿直线步行 到C ,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B ,然后从B沿直线步行到C .现有甲、乙两 位游

6、客从 A处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为 50m/min .在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后，再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的.一一 123速度为130m/min ,山路AC长为1260m,经测量，cos a , cosC -. 135(1)求索道AB的长；(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 乙步行的速度应控制在什么范围内？3分钟,19.(本小题满分16分)设an是首项为a,公差为d的等差数列(d0) , Sn是其前n项和.记bnnSn2，n c(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？2*(1)右c 0,且 b1, b2, b4成

7、等比数列，证明：Snk nSk(k,n N)；(2)若bj是等差数列，证明：c 0.20.(本小题满分16分)设函数f (x) ln x ax , g(x) ex ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,)上是单调减函数，且 g(x)在(1,)上有最小值，求a的取值范围;(2)若g(x)在(1,)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.2013年答案一、 填空题1、【答案】兀【解析】T=l§ I = I 2f I =兀2、【答案】5【解析】z= 3 4i, i2=1, | z |=/3" + # = 5.33、【答案】y 3x42匕0,92【解析】令：1

8、64、【答案】8【解析】23=8.5、【答案】3【解析】n= 1, a = 2, a=4, n = 2; a=10, n=3; a = 28, n=4.6、【答案】289 90 91 88 92【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x905-207、【答案】 一63【解析】m取到奇数的有1,3, 5, 7共4种情况；n取到奇数的有1, 3, 5, 7, 9共5种情况， 则m, n都取到奇数的概率为 4点 20 .7 9638、【答案】1: 24【解析】三棱锥F ADE与三棱锥A1ABC的相似比为1：2,故体积之比为1：8.又因三棱锥 A1ABC与三棱柱 A1B1GABC的体积之比为1：3.所以

9、，三棱锥FADE与三棱柱A1B1cl ABC的体积之比为1： 24.19、【答案】2, 2 2.1 Z【解析】抛物线y x在x 1处的切线易得为y=2x1,令z= x 2y , y=万x+ 5 .11回出可仃域如下，易得过点 (0, 1)时，Zmin = 2,过点(2 , 0)时，Zmax=万.【解析】DE DB BE所以,-AB - BC 231 2 _-AB -AC63-122 1 -2 AB (BA AC)231AB 2ACf(x)是定义在R上的奇函数,(-5, 0) U (5, + 8 )。11、【答案】(5, 0) U(5, +00 )【解析】做出f (x) x2 4x (x 0)的

10、图像，如下图所示。由于利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式 f(x) x,表示函数y= f (x)的图像在y=x的上方，观察图像易得：解集为【解析】如图,l:x=匕 dc2 =c=积得：d1 =bc若d2V6d1,则 J c2b2,由等面c0,解之得：-<6匹，整理 a得：.6a2ab一 6b20 ,两边同除以:得:.6离心率为：1 或 Jl012【解析】设正项等比数列an首项为ai,公比为q,则:aq4aiq5(112 q)得:=2, an=26 n记Tna a22n25an(n21) n2n 125(n 1) n2 丁1 2 11n n，化简彳导:2n 1 222

11、11一 n25时,13n = 12 时，T|212 ,当 n= 13 时，T1313 ，故nmax =12.解答题15、解：(1) ab=(coskcos 3 sin a sin 3),| a b|2 = (cos a cos 2+ (sin a sin 3)2 = 2 2(cos a - cos 叶 sin a - sin 份=2,所以，cos a- cos 叶 sina sin 3= 0,cos(2)sincossin所以,0 2a p=一31,2+ 2 得：cos( a 9= -2 .带入得：sin(231+ 3 + sin 3= cos / 2 sin 3= sin( + 3=1,所以

12、，一 + 3= .32所以，a= , 3= 一 6616、证：(1)因为 SA= AB 且 AFL SR所以F为SB的中点.又E, G分别为SA SC的中点，所以，EF/ AB, EG/ AC.又 ABA AC= A, AB 面 SBC AC 面 ABC, 所以，平面EFG/平面ABC .(2)因为平面 SABL平面 SBC 平面 SABA平面 SBC= BC, AF 平面 ASB, AF± SB.所以，AFL平面SBC又BC 平面SBC所以，AF± BC.又 AB, BC, AFA AB=A,所以，BC平面SAB.又SA 平面SAB,所以，BC SA.一 y x 117、

13、解：(1)联立：，得圆心为：0(3, 2).y 2x 4设切线为：y kx 3,|3k 3 2|/日3d=/r 1 ,得：k 0 0r k .1 k24 3_故所求切线为：y 0 or y x 3 .4(2)设点 M(x, y),由 MA 2MO,知：x2 (y 3)22Mxi一，化简彳导:x2 (y 1)2 4,即：点M的轨迹为以（0, 1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆 D. 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：1W|CD|W3,其中 CDJa2 (2a 3)2 .一、12解之得：0<a<, 518、解：(1)如图作BD± CA于点D,设 BD=20

14、k,贝U DC= 25k, AD=48k,AB=52k,由 AC= 63k = 1260m ,知：AB= 52k= 1040m .(2)设乙出发x分钟后到达点 M,此时甲到达N点，如图所示.则：AM = 130x, AN=50(x+2),由余弦定理得： MN2= AM2 + AN22 AM ANcosA= 7400 x2- 14000 x+ 10000,.，,35(min)时,MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短.其中0WxW 8,当x=m3 7(3)由(1)知：BC= 500m ,甲到C用时:126050126-5" (min) .若甲等乙3分钟，则乙到C用时：噜5141+ 3

15、= - (min),在 BC上用时: 5865(min).此时乙的速度最小，且为:“ 86500- - 51250 m/min .43若乙等甲3分钟，则乙到126111C用时：-3 = (min),在BC上用时: 55565(min)此时乙的速度最大，且为:_ 56625500 + 5 = 14 m/min .故乙步行的速度应控制在噜，625 范围内.4314、十 升 八皿/ 小 n(n 1)d2a (n 1)d 2a19、证：(1)若 c 0,则 an a (n 1)d , Sn - , bn 22当国b2, b4成等比数列，b； bib4,2一 d3d_ 2 一一即：a a a 一，得：d

16、 2ad，又 d 0,故 d 2a . 22由此：Sn n2a , Snk (nk)2a n2k2a , n2Sk n2k2a.故：Snk n Sk (k,n N ).hnSn(2) bn2n c2 (n 1)d 2a22n cn2(n 1)d 2a2(n 1)d 2a(n 1)d 2ac 22n c(n 1)d 2ac 22n c(n 1)d 2a c 2伊）若bn是等差数列，则bn An Bn型.观察（X）式后一项，分子哥低于分母哥,故有:(n 1)d 2a c22n c0.0,即 c!n一11d一2a2(n 1)d 2a2经检验，当c0时bn是等差数列.20、解：（1）f (x)1,一a

17、<0 在(1, x）上恒成立，则a1, x(1)故:g (x)若1wawe,(x)exa >0在（1,）上恒成立,此时,g(x)exax 在(1,）上是单调增函数，无最小值，不合;）上是单调增函若a>e,则g（x）ex ax在（1, In a）上是单调减函数，在 （ln a,数,gmin(x) g(lna),满足.故a的取值范围为：a >e.(2) g (x) ex a >0 在(1,)上恒成立，则 a<ex,花 c 1故：a <-.e11 axf (x) a (x 0).x x411(i )若0v a w 令f (x) >0得增区间为(0, a )； ea1令f (x) V0得减区间为(-，+OO ).a 当 x0 时，f(x) 一 8;当 X一 + 8时，f(x) 8;、“111当x=a时，f(a )