2013高考数学压轴题突破训练圆锥曲线(含详解)

1、高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线1.如图，直线 l1与 12是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A,点 B、D 在直线 Ii上(B、D 位于点 A 右侧)，且|AB|=4，AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在 Ii上的射影点是 N,且|BN|=2|DM|.(I)建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹 C 的方程.(n)过点 D 且不与 I1、2垂直的直线 I 交(I)中的轨迹 C 于 E、F 两点；另外平面上的点 G H 满足:T TTAG =.AD(二R); GE2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在_xA知点P(0,3)到这个椭圆上的点的最远距离是4. 椭圆的中心在坐标原点 0,右焦

2、点 F (c,0 )到相应准线的距离为 1，倾斜角为 45的直线交椭圆于 A，B 两点.设 AB 中点为 M 直线 AB 与 0M 勺夹角为 a.(1) 用半焦距 c 表示椭圆的方程及 tg :;(2) 若 2tg : b0)的离心率 ，过点 A (0, -b )a b3和 B (a, 0 )的直线与原点的距离为.2(1)求椭圆的方程T T T TGF =2GH ; GH EF =0.I2求点 G 的横坐标的取值范围.M轴上, 离心率V3 已 二牙，已D N BI14，求这个椭圆的方(2) 已知定点 E (-1 , 0),若直线 y = kx + 2 (k 工 0)与椭 圆交于 CD 两点+问

3、：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由.6. 在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(1,0),B(1,0)，平面内两点G,M同时满足下列条件：GA +GB +GC = 0:|MA MB= MC； GM/AB(1) 求ABC的顶点C的轨迹方程；(2)过点P(3,0)的直线l与(1)中轨迹交于E,F两点， 求PE PF的取值范围7. 设x,r R,i,j为直角坐标平面内 x 轴.y 轴正方向上的单位向 量，若a=xi+(y+2)j,b =xi +(y -2) j，且|靳+|b |=8(I)求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程；(H)设曲线 C 上两点

4、 A. B,满足(1)直线 AB 过点(0,3),(2)若OP =OA OB，则 OAPB 为矩形，试求 AB 方程.8. 已知抛物线 C：y =m(x n), (m = o, n 0)的焦点为原点，C 的准线 与直线l:kxy，2k =0(k=0)的交点 M 在 X 轴上，I与 C 交于不同的两点AB,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N(P，0).(1) 求抛物线 C 的方程；(H)求实数 p 的取值范围；(山)若 C 的焦点和准线为椭圆 Q 的一个焦点和一条准线，试求 Q 的短轴的端点的轨迹方程.9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴 AA 在 x 轴上.以 A、Ai为焦点 的双曲线交

5、椭圆于 C、D D、G 四点，且|CD| =!|AA1|.椭圆的 一条弦 AC 交双曲线于 E,设 竺=，当2乞3时，求双曲线的EC34离心率 e 的取值范围.10. 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆4x5y2=80上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点(点 A 在 y 轴正半轴上).(1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程；若角 A 为900, AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线X2=4y的对称轴上任一点P (0, m) (m 0)作直线 与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点.(2) 设点二分有向线段AB所成的比

6、为扎，证 明:QP_(QA- QB)；设直线AB的方程是x-2y12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在0).在双曲线的左支上，点 M 在右准线上，且满足；FO=PM,OP =人(更OF1+奠）（OM1点A处有共同的切线，求圆C的方程.2佗已知动点p（ p, -1 ）,Q（ P,气），过Q作斜率为舟的直线I，PQ 中点M的轨迹为曲线 C.（1）证明：I 经过一个定点而且与曲线 C 一定有两个公共点；（2） 若（1）中的其中一个公共点为 A,证明：AP 是曲线 C 的切 线；（3）设直线 AP 的倾斜角为:，AP 与 I 的夹角为证明： 或: -1是定值.13.在平面直角坐标系内有两个定点Fl、F

7、2和动点 P，Fl、F2坐标分别为斤（-1,0）、F2（1,0），动点P满足PFLI-，动点P的轨迹为曲线IPF2I2C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C，直线y = x m3与 曲线C交于AB 两点，0 是坐标原点， ABO 的面积为7，（1）求曲线 C 的方程；（2）求m的值。点 P 在双曲线右支上.（I）若当点 P 的坐标为（型Q）时，PF1_PF2,求双曲线的方程;55（H）若|PF1| 3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲 线的渐进线方程2 215. 若 F1、F2为双曲线1的左右焦点，O 为坐标原点，Pa b14.已知双曲线x2a22yb7= 1（a 0,b

8、0）的左右两个焦点分别为(1) 求该双曲线的离心率；(2) 若该双曲线过 N(2，品),求双曲线的方程；(3)若过 N(2,.3)的双曲线的虚轴端点分别为 Bi、B2( Bi在 y 轴正半轴上)，点 A、B 在双曲线上，且B2A=.B2B,求 BJABJB 时， 直线AB 的方程.16. 以 0 为原点，OF所在直线为x轴，建立如所示的坐标系。设OF，FG =1，点 F 的坐标为(t,0)，t 3,：)，点 G 的坐标为(Xo,yo)。(1)求X。关于t的函数X。二f(t)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；设 2FG 的面积s甞切若以。为中心，F 为焦点的椭圆 经过点 G 求

9、当|0G|取最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点 P 的坐标为(0,9), C、D 是椭圆上 的两点，且PCPD(，1)，求实数 的取值范围。17. 已知点 C 为圆(x+1)2+y2=8的圆心，点 A ( 1 , 0 ) , P 是圆上的 动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且MQ AP =o,AP =2AM. ”(I)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；f()若直线k k21与(I)中所求点 的轨迹交于不同两点F, H, 0 是坐标原点， 且2 OF OH0,b0 )的右准线 J 与一条渐近线I交a b于两点 P、Q, F 是双曲线的右焦点。(I )求证：PF 丄l;

10、(II )若厶 PQF 为等边三角形，且直线y=x+b 交双曲线于 A, B两点，且AB =030，求双曲线的方程；(III )延长 FP 交双曲线左准线l1和左支分别为点 M N,若 M 为 PN 的中点，求双曲线的离心率e。2 222. 已知又曲线：在左右顶点分别是 A, B,点 P 是其右准线上的一点，若点 A 关于点 P 的对称点是 M 点 P 关于点 B 的对称点是 N,且 M N 都在此双曲线上(I )求此双曲线的方程；(II )求直线 MN 的倾斜角。23. 如图，在直角坐标系中，点 A(-1，0)，B (1, 0)，P(x, y) (y=0)。设AP、OP、BP与 x 轴正方向

11、的夹角分别为a、B、丫，若二亠：-=二。(I )求点 P 的轨迹 G 的方程；(II )设过点 C (0, -1 )的直线l与轨迹 G 交于不同两点 M No 问在 x轴上是否存在一点Ex。，0,使AMNE 为正三角形。若存在 求出x0值；若不存在说明理由。2 224. 设椭圆C:笃=1 a b 0过点M 2 ,1，且焦点为F -.2 ,0。a b(1) 求椭圆C的方程；(2)当过点P4,1的动直线与椭圆C相交与两不同点 A、B 时， 在线段AB上取点Q，满足AP目QB =|AQ”PB，证明：点Q总在某定直线上。25. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点 A (1，0)、B(0，-2)

12、，点 C 满足oC=o(oA + BoB,其中G、BER,且 G 20=1(1)求点 C 的轨迹方程；2 2(2)设点 C 的轨迹与双曲线 务一占=1(a 0,b 0)交于两点 Ma bN,且以 MN 为直径的圆过原点，求证：为定值.a2b226. 设F(1,0)，M、P分别为x轴、y轴上的点，且PMPF=0，动 点N满足：MN=-2NP.(1) 求动点N的轨迹E的方程；(2) 过定点C(-c,0)(c 0)任意作一条直线I与曲线E交与不同的两点A、B，问在x轴上是否存在一定点Q,使得直线AQ、BQ的倾 斜角互补？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.27. 如图，直角梯形 ABCD

13、中，/DAB =90, AD/ BC, AB=2 AD=3,2BC=12椭圆 F 以AB 为焦点，且经过点 D,(I)建立适当的直角坐标系，求椭圆 F 的方程;()是否存在直线I与椭圆 F 交于 M、N两点，且线段MN 的中点为点 C,若存在，求直线I的方程；若不存在，说明理由.28. 如图所示，B (- c, 0) , C (c, 0), AhUBC垂足为 H,且BH=3HC.(1)若AB AC=0,求以 B、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率；(2) D 分有向线段AB的比为.,AD 同在以 B、C 为焦点的椭圆上，当一 5W0,. 3+4k3, 0， 0, XG=(0 ,)点 G

14、的横坐标的取值范围为（0,.2.解e拧,c = 0由a2= b2c2得a =2b2 2设椭圆的方程为話才1（ b 0）即x2二4b2_ 4y2(-b乞y乞b)设M （x, y）是椭圆上任意一点，则|PM |2= x2(y -3)2二-3(y 1)24b212(_b_y_b)若b _ 1即-b _ 1 _ b， 贝U当y -1时，|PM鳥=4b212由已知有4b212 =16，得b=1；若0：b：1即-1 ”b，则当y二-b时,I PM Qb2-6b 9由已知有b2-6b 616，得b=7（舍去）.综上所述，b =1,a=2.2所以椭圆的方程为于3.解：（I ）由已知 =25c 4b = 3a

15、52 2 . 2c = a b|=5解之得： b = 3c = 4-2 2椭圆的方程为-259=1，双曲线的方程2 2.2595又C .、25934双曲线的离心率e25()由(I)A(-5,0),B(5,0 )设 Mxo,y。)则由AM =MP得M 为AP 的中点 P 点坐标为(2xo5,2y0)将 M、p 坐标代入 C1、C2方程得2 2Xi匹“2592(2xo5) yo1259消去 yo得2Xg5x0-25=0解之得x0二号或x0- -5(舍)由此可得 P( 10，3,3)当 P 为(10，3.3)时 PB：y=d(x5)即y=!2(x5)10552 2代入-1 得：2x2-15X 25

16、= 02595XN= 2.xN=xMMNLX 轴即MNAB =04. 解: (1)、 .-2由题意可知-c-1侧a - c c ,b - a - c - c,所以椭圆c方程为2 22x-1 4分设AR yj, B（x2，y2），将其代入椭圆方程相减，将c c c4+1j=1与koM二 j 代入可化得匕丄,.tgT亠卜口X1-X2X1X2MC 1丄cc + 1若2 g k2 0 准线方程 x=_m_n 且有 m=4n.4准线与直线l交点在 X 轴上，交点为(_巴0)2又1与 x 轴交于(一 2, 0),二 m=4 n=1二抛物线方程为 y2=4 (x+1)(II )由 疋_+21 0 , b=|

17、y|2 - 2 2 2 2 a =b +c =x +y222依左准线方程有 旦cx3(2)若 F 为右焦点，贝 U xv 0,故 c= x , b=|y|3二 a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有一兰_c=2c即._JL（_X）= _2化简得 2x2+2x+y2=0-x即4（x 2）22y2=1（xV0,y丰0）9.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB 的方程为=1由于3020点 P 在 AB 上，可设 P 点的坐标为（x,20_%.则长方形面积32xS =(100 -x) 480 -(20)(0乞x岂30).化简得S =_?X2+仝+6000(0兰x 0），由 G 点坐标代入与焦点 F

18、（3，0），可得椭圆a b2 2方程为：釘計1（9分）（3）设C（x, y）,D（m,n），则PC = （x, y-号）,品=（m, n_|），由PC = PD,= （x, y ） = （m, n ），x = m, y = n因点 C、 D 在椭圆上，代入椭圆方程得，-9、222 2（，n一m n , m2+= 1 -十- J-13九5得n，又、|n卜3,|卜35，445则实数 的取值范围为,1）U（1,50517.解：（1）由题意 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，于是31由s冷兄如二丰“弓，|OG取最小值，此时=1，消去m，18|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2|CA|=

19、2，于是点Q 的轨迹是以点 C, A 为焦点，半焦距 c=1，长半轴a=2的椭圆，短半轴b =：a2一c2二1,2点 Q 的轨迹 E 方程是：二y22X221=12 _,y = kx + Jk2+ 1消去 y 得(2k21)x24k k21x 2k2二Oj =8k20( k = 0)又点 O 到直线 FH 的距离 d=1，18.解：(1)以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A (-c, 0), B(c, 0)依题意：| PA | 2a =| PB |,| PA |一| PB |= 2a：2c点 P 的轨迹为以 A、B 为焦点，实半轴为 a,虚半轴为J

20、c2a2的双曲线右支轨迹方程为：(2)法一：设 依题意知曲线 E 的方程为x2- 丫1(x亠1),1 的方程为y = . 3x3设直线 m 的方程为y=k(x2)了-2y2由方程组x-召二1，消去 y 得y =k(x2)(k2-3)x2-4k2x 4k23=02 2二x1x2斗，XM二4/2-3 = 0)k -3k -3直线m:y =k(x2)与双曲线右支交于不同的两点XX?0及X1X2 0, 从而k232由得k22 3(x2)x 4x+4解得x5且x = 24当 x= 2 时，直线 m 垂直于 x 轴，符合条件，x(5,=)4又设 M 到 I 的距离为 d,则d二匸空也2：% 7 3 2-1

21、(2)设卩(xi, yi) H(X2, y2),则由2 2笃靠2=1(X _ a)。a c -aM ( xi,yi) , N( X2,y2)V3二d=仝(為 _ .x：_1)：2XiX；一1设d(x)=哼汇-U=,XE?-)2x + Jx 14由于函数y二x与yx2_1均为区间5：)的增函数4二d(x)在5,；)单调递减4二d(x)的最大值=d(5)344又；l：d(x)弓1 =02x+px -1半径的圆,圆上两点 P、Q 满足关于直线x my 0对称,则圆心(-1,3)在直线x +my +4=0上，代入解得m =-1.直线 PQ 与直线y =x 4垂直,所以设 PQ 方程为y =-x b,P

22、(X1,yJ, Q(X2,y2).Xi而 M 的横坐标x(5,：)，二d (0,三)44法二：I : g = (5,3 3), d 较大44y3(x-2)由2y21-L.3点 M5戸)4435一口44.2L-34曲线故19.解：(1)X25x =4y22x -6y仁0表示以(-1,3)为圆心,以 3 为将直线yx b与圆的方程联立得2x22(4 -b)x b2-6b 1=0由.：0,解得2一3.2 : b：2 3 2.2,b 6b十1x1x2=b -4,x1x2又以 PQ 为直径的圆过=0解得b=1 (2-3. 2,2 - 3、2).2-y2h4(2)设A(X1y),B(X2y2，直线AB的方

23、程为y=x-t，代入f =1,4消去y得5x2-8tx 4t2-4 = 0,2由厶0得t2： ： ：5， 且片x2=8,x1x4t 4,55.t2-4y2=(人-t)(X2-t)=5设点M(x, y)，由OM二COST点M(x, y)在C上，二4 = x24y2=(为cos：x2sin v)24(% cosv y2sin v)2二2sin co(x-ix24% y2) =0,又因为八0,2二的任意性，二x1x24y1y 0,二440，又t o，得迈,552代入t二亘检验，满足条件，故t的值是迈。22.OP _OQ . x1x2y1y2故所求直线方程为20.解：（1）v二动点Q（x, y）到两个

24、定点R（一.3,0）, F2（.3,0）的距离的和为 二轨迹C是以 F1（J3,O）, F2（3,O）为焦点的椭圆，x y -1=0.a =(x J3, y),b =(xJ3, y)，且=4,4,方程为,2 + 24-x = x cosx2siny = yiCOSTy2sin)OA si nr OB可得21.解：(1)不妨设l:y=bx,c= a2b2.a2 2-x宀p.(J坐),F.(c,0)c c c(1)设I 的斜率为 kPF 的斜率为 k2abk2=- 二雯二_a,kik2=- 1.a2-b2bcc即 PF 丄I.由题导y = x +b,2.a=1,.双曲线方程为x2-丄i.32 /

25、2 2(3)l: PFy=a(xc)M( ,aa6 bc bc2 2a(3a c )bc22.解：(I )点AB 的坐标为 A (-3 , 0), B (3, 0),设点 P、MN 的坐标依次为12gp(t),M(T2t),N(6rP ccc2 2= 1.x bx b =0,X + x2= bx/2= -b2XPXNT訴又 N 在双曲线上9a22a2c3a2c2b2)2=1,-3 q 6A4-得：,解得 c=5Al故所求方程是.丄2(ii)由得，i一所以，M N 的坐标为?：:KMH啥冷心T所以 MN 的倾斜角是 肚机孝旋如-辿 tg2 点23.解：(I )由已知x 0，当x = i时，当X=

26、1时，P1，八2，也满足方程所求轨迹 G 方程为3x2y2= 1(y =0, x 0)(II )假设存在点E X。，0，使：MNE为正设直线I方程：y二kx1代入3x2- y2= 1 (x 0, y = 0)得:3 -k2x22kx -2 =0 MN 中点F，亠：13 - k3 - k 丿在正 EMN 中，|MN|=|EF2 k2二3与3 : k B(x2,y2)假设存在点Q(t,O)满足题意，则kAQkBQ=0，222 2所求椭圆方程为乞工=142(2)解： 设过 P 的直线方程为: 设Q Xo,yo,A X1,y1,B X2虫2”2 2rx y 1则T T=1y =kx -4k 1216k

27、 -4kX1X22k +1|yO232 k 16k2y _1 =k x _4,4,1X1, yQPAxxo,yoXix2门TAP QB = AQ PB，二AQQBBX2,2X2厂2X1X2=0，即4 X4 - x2=5X1XoXoX2化简得:8xoXoX116k2-4kii?2k2-16k -2 +2 -2-2k +1丿8x _(4 +x ).2 2k +1丿去分母展开得：化简得：2xo4k kxo-1=O，解得:Xo-4又TQ在直线y_1=k(x_4上，二yo-1二2 X。一4，二yo-1 =1 -2x。xo- 4即2Xoyo-2 =o,Q恒在直线2x+y2=o上。25. 解：(1)解：设C

28、(x,y),因为OCOA，一：0,则(x,y)即点 C 的轨迹方程为 x+y=126. 解：(1 )设N(x, y)，则P(0)、M(-x,O)，PM =( x,2 2-(1,0) (02)亍)、PF了)又PM PF =o,. -x2y-4=o，即y2= 4x.24.解：(1)由题意:y=4x即1 2 2丄, 22、丄,22.丄-2(ck -2)1，即k x +2(ck 2)x + k c =o，捲+x2=-2-,、y=k(x+c)k2xx_c2又0_k+ky1+y2Mg-t)+ y2(x1-1)1入2AQBQ -% -tx2_t (% _ t)(x2_t)y,x2-t)y2(Xj-t) =k(Xjc)(x2-t)k(x2c)(Xj-t)=k2x1x2(c-t)(Xjx2) - 2ct = 0,2由于k= 0，贝U2x1X2(c 7)(X1X2)2ct二2c22ct (ct)2(ck2二0k对不同的k值恒成立，即(c_t)(cXM)=(ct)W = 0对不同的k值kk恒成立， 则c1=0，即t二c，故存在点Q(c,0)符合题意.27.解：(I)以 AB 中点为原点 O AB 所在直线为直角坐标系，如图18k(