#2007年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13立体几何初步)

1、2007年高考中的“立体几何初步（一）空间直线和平面”试题汇编大全一、选择题：1. （20072007 安徽理）设 l,m,n 均为直线，其中 m,n 在平面：内，“I壽”是 l_m 且“ I _ n”的（A A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2. （20072007 安徽文） 把边长为.2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，折成直二面角后 在 A,B,C,D四点所在的球面上,B 与 D 两点之间的球面距离为（C）-2.応.工（A） 一2 -（B）二（C C） （D）233.（20072007 安徽理）半径为球面距离为（C

2、 C（A）arccos（ ）31 的球面上的四点A, B, C, D是正四面体的顶点, ）(B)arccos( )3(C)arccos( )( D)则A与B两点间的1arccos（ ）4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H4.（ 20072007 福建文）如图，分别为 AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的 角等于（B B ）A.45B.60C.90D.120D.120 5 5（20072007 福建文、理）已知 m、n 为两条不同的直线, 同的平面，则下列命题中正确的是（D D ）惋於为两个不A -二.- : 一C_ _ . 一mca* nc

3、|nllnb nlamla1J1jfii11uw :=m|n6.（20072007 广东文）若l,m,n是互不相同的空间直线,真命题的是（D ）A.若 a 伏/匸“匸比则/ 邛-,:是不重合的平面，则下列命题中为B.若 ct 丄疔，匸 a*则/丄 0C.若丄乩，m 丄皿*贝 lj f 杭T1 若/丄aW则。丄卩【解析】逐一判除，易得答案（D） .7.（ 20072007 湖北文）在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱 AA1、BB1的中点，G 为棱 A1B1上的一点，且 A1G=（0H1）,则点 G 到平面 D1EF 的距离为（D D ）A. 3B.一C.28.

4、（20072007 湖北理）平面 a 外有两条直线 m 和 n,如果 m 和 n 在平面 a内的射影分别是 mz9.（20072007 湖南文）如图1,在正四棱柱ABCA1B1C1D1中,E、F 分别是ABBG的中点，则以下结论中不成立的是（D D ）A .EF 与 B0 垂直B.EF 与 BD 垂直C.EF 与 C异面D.EF 与 AC 异面10. （20072007 湖南理）棱长为 1 的正方体ABCD - A3GD1的 8 个顶点都在球0的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（D D )A.互 B.1C.1D .血2211. （20072007 江苏

5、）已知两条直线m,n, 两个平面:-,-，给出下面四个命题：(C C)mn, m:二n _：/：, m二：, n-二m/ nmn,mil - =n /：二/ :, m/ n,m；二n _ :其中正确命题的序号是A .B .C .D .12. （20072007 辽宁文、理） 若m, n是两条不同的直线，:-,-是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（B B ）A .若m二,和 n，,给出下列四个命题：1m，丄 n，二 m 丄 n;3m，与 n，相交=m 与 n 相交或重合； 其中不正确的命题个数是（ D D ）A.1B.2C.3D.42m n=m，丄 n/m，与 n，平行=m 与 n 平行或

6、重合.B.若m,m/ ：,则二丄:D 若：丁c.若壽- ,:=m，: Pl = n , m/n , U：13. （20072007 陕西文、为 a,点 P 到直线 I（A）a乞b乞c理）已知 P 为平面 的距离为 b,（B）a 外一点，直线 点 P、Q 之间的距离为c za乞b（C）a空c乞b（D）b乞c乞一 a,点 Q I,记点6 则（A ）P 到平面 a 的距离14. (20072007 四川文、理)(A ) BD /平面 CB1D1(C)AC1丄平面 CB1D1如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误（B） AC1 丄 BD（D）异面直线 AD 与 CB 所成的角为 60的

7、是（D D ）|1、1515 （ 20072007 四川文）如图，正三角形 ABC 的三顶点分别在丨1、12、12、13是同一平面内的三条平行直线，11与 12与 13间的距离是 2, l3上，则 ABC 的边长是（D D ）12、 13是同一平面内的三条平行直线， ll与 12间的距离是1,ABC 的三顶点分别在 li、12、I3上，则 ABC 的边长是（D D(A)2 3(B)4-6-317.17.（ 20072007 天津文、理）设a, b为两条直线，：为两个平面，下列四个命题中，正确 的命题是（D D ）A 若a,b与G所成的角相等，则a/bB .若a/ ：,b /：,/:，则a/bC

8、.若a二圧，b1,a/b,UD若a亠b _，二，则a _ b18.18. （20072007 浙江文、理）若 P 是两条异面直线 I、m 外的任意一点，则（ B B ）（A）过点 P 有且仅有一条直线与 I、m 都平行（B）过点 P 有且仅有一条直线与 I、m 都垂直（C）过点 P 有且仅有一条直线与 I、m 都相交（D）过点 P 有且仅有一条直线与 I、m 都异面.厂4 6c 3. 72 - 21A.2 .3B.-C.D.-34316.（20072007 四川理）如图，li、与13间的距离是 2,正三角形|2)(D)2、21319. （20072007 福建理） 顶点在同一球面上的正四棱柱A

9、BCD - A B C 中 D AB = 1, AA =册则 A、C 两点间的球面距离为（B B ）ABC1 1? ?X X20. （20072007 重庆文） 垂直于同一平面的两条直线（A）平行（C）相交（B） 垂直（D）异面21. （2002007 7 重庆理） 若三个平面两两相交， 且三 I 线互相平行，则这三个平面把空间分成（C CA . 5 部分 B.6 部分C.7 部分D.8 部分22.（20072007 海南、宁夏文、理）已知某个几何体的三视图如下， 根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（29. （20072007 全国 n 文）已知正三棱锥的侧棱长为底面边长

10、的2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（A A ）A.C.40003- cm32000cm3B.D.80003-cm34000cm323.（20072007 海南、宁夏文）已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO_底面ABC，AC =.2r，则球的体积与三棱锥体积之比是（ D D ）A.nB.2nC.3nD.4n24. （20072007 海南、宁夏理）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱 锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h,h2,h，则n : h2: h

11、 =（B）A.-./3 :1:1B.：.3 : 2 : 2C.: 2 : ”丿 2D.3 : 2: /325. （20072007 江西文）四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上，且 CD = 2, AB = 、3，在外接球面上两点 A、B 间的球面距离是（C ）Ji326. (20072007 江西理)如图，正方体 ACi的棱长为 1 过点 A 作平面 AD 的垂线，垂足为点 H.则以下命题中，错误.的命题是（ D D ）A .点 H 是厶 AiBD 的垂心B . AH 垂直平面 CBiDiC . AH 的延长线经过点 CiD .直线 AH 和 BBi所成角为 4527.（ 200720

12、07 全国 I 文、理）如图，正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中,则异面直线 AiB 与 ADi所成角的余弦值为（ D ）/A、 i2345555已知正三棱柱 ABC-AiBiCi的侧棱长与底面A A ）28 （ 20072007 全国 n 理）边长相等，则 ABi与侧面 ACCiAi所成角的正弦等于（珂6（A）（B）4104(C)三Q)2 2ADAAi=2AB,3Rt ABC 的三个顶点在半径为 13 的球面上， 两直角边的长分别为 6和8,则球心到平面ABC 的距离是(D )(A ) 5( B) 6(C) 10(D) 122. (20072007 上海理)在平面上，两条直线的位置关系有相

13、交、平行、重合三种. 已知:, (A)-36(B)寻4(D)232. (20072007 陕西理)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是(B)毎(C)迢(D) 为341 的球面上，其中底面的三个顶点B )(A)乎12理)设球 O 的半径是 1, A、33. (20072007 四川文、的球面距离都是-，且二面角 B-OA-C 的大小是2面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是(C C7二(A)一65二(B)44二(C) 3B、C 是球面上三点， 已知 A 至 U B、C 两点 二，则从 A 点沿球3)3:(D)T二、填空题：1. ( 2 2如图，正方体

14、ACi的棱长为其中真命题的代号是A A, B B, C_ .(写出所有真命题的代号)31 (20072007 陕西文)1，45,则二面角 a AB B的大小是_90.4.（20072007 安徽理）在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4 个顶点,这些几何形体是（写出所有正确结论的编号.）.1矩形；2不是矩形的平行四边形；3有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；4每个面都是等边三角形的四面体；5每个面都是直角三角形的四面体.5. （ 20072007 湖南文）棱长为 i 的正方形ABCD -AiBiCiDi的 8 个顶点都在球 O 的表面上， 则球 O

15、的表面积是3n;设E、F分别是该正方形的棱AArDD的中点，则直线EF被球 O 截得的线段长为2 .A6. （ 20072007 江苏）正三棱锥P-ABC高为 2,侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是6.5.57. （ 20072007 辽宁文、理）若一个底面边长为一，棱长为X6的正六棱柱的所有顶点都在一2个球的面上，则此球的体积为4,3n.8. （20072007 全国 I文）正四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各测棱长都为2，点 S、A、B、C、D 都在同一个球面上，则该球的体积为9. （20072007 全国 I理）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知

16、正三棱柱的底面边长为 2,则该三角形的斜边长为23.i0.（ 20072007 全国 H 文、理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。ABi如果正四棱柱的底面边长为icm，那么该棱柱的表面积为2十2cm211. (20072007 上海文)女口图，在直三棱柱ABC - AiBiG 中，.ACB=90AA,=2 , AC = BC = 1，则异面直线A1B与AC所成角的46大小是arccos(结果用反三角函数值表示).612. (20072007 四川文、理) 如图，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，侧棱长为2,底面三角形的边长为 1，则 BCi与侧面 ACCiAi所成的角是.

17、613. (20072007 天津文、理)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1,2,3，则此球的表面积为14二 .三、解答题：1.( ( 20072007 广东文)(本小题满分 12 分)已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形，正视图(或 称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、 高为 4 的等腰三角形.(1)求该儿何体的体积 V;(2)求该几何体的侧面积 S【解析】画出直观图并就该图作必要的说明.(2)V =64.7 分(3)S =40 22.2.(2007(2007 广东理) )(本小题满分 14

18、 分)如图 6 所示，等腰 ABC 的底边 AB=6 6，高 CD=3, 点 B是线段 BD 上异于点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上，且 EF 丄 AB.现沿 EF 将厶 BEF 折起到厶 PEF 的位置，使 PE 丄 AE.记 BE = x, V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积(1) 求 V(x)的表达式；(2) 当 x 为何值时，V(x)取得最大值？(3) 当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值2.解：(1)已知 EF-AB,那么翻折后，显然有 PE-EF,又 PE-AE,从而 PE -面 ABC,即 PE 为四 棱锥的高。3 分12分B四棱锥

19、的底面积 S=SABC-SBEF2当x(0,6)时，V (x)0,V(x)单调递增;时， V(x)取得最大值 V(x)max= V(6)=1223. (2007(2007 海南、宁夏文) )(本小题满分 12 分)如图，A, B, C,D为空间四点.在ABC中，AB =2, AC =BC = .2等边三角形ADB以AB为轴运动.(I)当平面ADB_平面ABC时，求CD;(n)当ADB转动时，是否总有AB_CD?证明你的结 论.3.解：(I)取AB的中点E，连结DE,CE,因为ADB是等边三角形，所以DE _ AB.当平面ADB_平面ABC时，因为平面ADB门平面ABC = AB,所以DE_平面

20、ABC,可知DE _ CE由已知可得DE二.3,EC =1，在RtDEC中，而厶 BEFW BD(相目似，那么2S.BEF =SBDC=SABCx S .：ABC1082、XSAABCx则 S=SABC-108=(1-108)故四棱锥的体积 V(x)=(2) V(刈=却-12令 V(x)=0 得 x=61 13SH=396x2(0 x36)1乂26、63=96(1-108)2乂(1-108)(0 x0,V(x)单调递减；因此 x=6BCD =：；DE2EC2=2 .(n)当ADB以AB为轴转动时，总有AB _ CD.证明：(i)当D在平面ABC内时，因为AC=BC, AD=BD, 所以C,D都

21、在线段AB的垂直平分线上，即AB _ CD.（ii） 当D不在平面ABC内时， 由 （I） 知AB _DE又因AC = BC,所以AB _ CE 又DE,CE为相交直线，所以AB_平面CDE，由CD平面CDE，得AB _ CD. 综上所述，总有AB _ CD4. （ 20072007 江苏）（本小题满分 12 分）如图，已知ABCD -ABQD!是棱长为 3 的正方体,点E在AA,上，点F在CC,上，且AE二FC,=1,（1）求证：E,B,F,Di四点共面；（4 分）2（2）若点G在BC上，BG，点M在BB1上，3GM _BF，垂足为H，求证：EM_ 面BCCQ； （4 分）（3）用二表示截面

22、EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanr。（4 分）4解：（1 ）证明：在 DD1上取一点 N 使得 DN=1，连接 CN , EN，显然四边形 CFD1N 是平行四边形，所以 D1F/CN，同 理四边形 DNEA是平行四边形，所以 EN/AD ,且 EN=AD , 又BC/AD，且 AD=BC，所以 EN/BC , EN=BC，所以四边形 CNEB 是平行四边形，所以 CN/BE，所以 D1F/BE，所以E,B,F,D1四点共面。2（2）因为GM _ BF所以BCF sMBG，所以MB二匹，即也旦=3，所以MB=1,BC CF32因为 AE=1， 所以四边形 ABME 是矩形，

23、 所以 EM 丄 BB1又平面 ABB1A1丄平面 BCC1B1，且 EM 在平面 ABB1A1内，所以EM _面BCC1B1（3）EM面BCC1B1，所以EM _BF,EM _MH ,GM _BF，所以/ MHE 就是截所以tan v-匪=13MH面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，/EMH=90，所以tan二=MEMHME=AB=3,BCF s .： MHB ,所以 3: MH=BF : 1 , BF= .223213,所以MH=5. （20072007 辽宁文、 理） （本小题满分 12 分） 如图， 在直三棱柱ABC-ABQ1中，ACB =90“,AC = BC = a,

24、D,E分别为棱AB,BC的中点，M - DE - A为30.(i)证明：AD_CQ；M为棱AA上的点，二面角C1AM(II )求MA的长，并求点C到平面MDE的距离.5本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识, 考查空间想象能力与思维能力。满分12 分。(I)证明：连结 CD ,.三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱。 CC1平面 ABC , CD 为 CQ 在平面 ABC 内的射影，/ ABC 中，AC=BC, D 为 AB 中点。 AB 丄 CD , AB 丄GD,TA1B1/ AB ,- A1B1丄 C1D。(n)解法一：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的 延长线于

25、F，连结 MF./ D、E 分别为 AB、BC 的中点。 DE / AC。又 AF / CE, CE 丄 AC, AF 丄 DE。/ MA 丄平面 ABC, AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影。 MF 丄 DE, / MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角，/ MFA = 30。在 Rt MAF 中，AF =BC=a,. MFA =30 ,22 AM=*a6作 AC 丄 MF，垂足为 G。/ MF 丄 DE,AF 丄 DE, DE 丄平面 AMF,平面 MDE 丄平面 AMF. AG 丄平面 MDE在 Rt GAF 中，/ GFA= 30 , AF=旦2， AG=a，即 A 到平面 M

26、DE 的距离为旦。44/ CA/ DE,. CA /平面 MDE, C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面解法二：过点 A 作 CE 的平行线，交/ D、E 分别为 AB、CB 的中点，MDE 的距离相等，为-。4ED 的延长线于 F，连结 MF ,DE / AC,B又 AF / CE,CE 丄 AC, AF 丄 DE,/ MA 丄平面 ABC, AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影， MF 丄 DE,/ MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角，/ MFA = 30。在 Rt MAF 中，AF=1BC= - MFA =30 ,2 2 AM= a .8 分6设 C 到平面 MDE 的距离

27、为 ho-VM _CDE=VC JMOC,13a2312 h=a，即 C 到平面 MDE 的距离为ao12 分446 6.（ 20072007 上海文） （本题满分 1212 分）在正四棱锥P-ABCD中，PA = 2，直线PA与平 面ABCD所成的角为60,求正四棱锥P - ABCD的体积VjP6.解：作PO_平面ABCD，垂足为O.连接AO,O是 正方形ABCD的中心， PAO是直线 平面ABCD所成的角.PAO=60,PA= 2.PO = . 3.AO =1,AB =一2,二 V =1POLJSABCD=J3乂2 =旷33337. （20072007 天津文）（本小题满分 12 分）如图

28、，在四棱锥AB _ AD, AC _CD,ABC =60,PA二AB二BC,E是PC的中点.（I）求PB和平面PAD所成的角的大小；（n）证明AE_平面PCD;（川）求二面角A-PD-C的大小.1SCDESCDE1MA SMDEh32aDE , MA8、3Ta,S.MIDE=1CE2MFDEAF2 cos30.312a2P-ABCD中,PA _底面ABCD,PB7本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识. 考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力.满分12 分.（I） 解： 在四棱锥P-ABCD中， 因PA_底面ABCD , AB平面ABCD， 故A A. 又AB _ A

29、D,PA|AD二A,从而AB_平面PAD.故PB在平面PAD内的射影为PA,从而/APB 为 PB和平面 PAD 所成的角.在RtAPAB中，AB二PA，故ZAPB =45：.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45：.(n)证明：在四棱锥P - ABCD中，因PA_底面ABCD,CD二平面ABCD，故CD _ PA. 由条件CD_PC,PAR AC二A , CD_ 面PAC. 又AE面PAC,. AE_ CD.由PAA BC,ZABC =60；，可得AC = PA.?E是PC的中点，.AE_PC,.PC “CD =C.综上得AE_ 平面PCD.（川）解：过点E作EM _ PD，垂足为M，连结

30、AM.由（n）知，AE_平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM，则AM _ PD. 因此ZAME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得ZCAD =30；.设AC=a，可得在RtADP中，T AM _ PD,. AMLPD二PAjAD,I 2 亦PALAD2斜3aPD .217a3A-PD -C的大小arcsin2114.48. （ 20072007 天津理） （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥P-ABCD中，PA 底面ABCD,AB_AD,AC_CD,ABC =60PA二AB二BC,E是PC的中点.（I）证明CD _ AE;（n）证明PD_平面ABE;（川）求二面角A-PD-C

31、的大小.巳PA =a,AD2.3PDAM在RtAEM中,sin AMEAEAM所以二面角MD_33，B&本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分12 分.(I)证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA_底面ABCD,CD平面ABCD，故PA _ CD AC_CD,PA AC二A，二CD_ 平面PAC而AE平面PAC,二CD _ AE(n)证明：由PA=AB = BC，/ABC =60，可得AC = PA E是PC的中点，二AE _ PC由(I)知，AE_CD，且PC|CD二C，所以AE_平面PCD而PD平面PCD， AE _ PDTPA_底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,AB _ AD,AB _ PD 又AB AE =A，综上得PD_平面ABE（川）解法一：过点A作AM _ PD,垂足为M，连结EM则（n）知，AE_平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM，则EM _ PD.因此.AME是二面角A-PD -C的