数字带阻滤波器课程设计-巴特沃斯IIR数字频带变换

1、南华大学课程设计课 程 设 计课程名称： 数字信号处理 题目编号： 1206 题目名称： 数字带阻滤波器设计 （巴特沃斯IIR数字频带变换）专业名称： 电子信息工程 班 级： 学 号： 学生姓名： 任课教师： 2016年06月30日目录1. 数字滤波器的设计任务及要求（编号1206）32. 数字滤波器的设计及仿真32.1数字滤波器（编号1206）的设计32.2数字滤波器（编号1206）的性能分析113. 数字滤波器的实现结构对其性能影响的分析113.1数字滤波器的实现结构一（1206）及其幅频响应113.2数字滤波器的实现结构二（1206）及其幅频响应133.3 数字滤波器的实现结构对其性能影

2、响的小结164. 数字滤波器的参数字长对其性能影响的分析174.1数字滤波器的实现结构一（1206）参数字长及幅频响应特性变化174.2数字滤波器的实现结构二（1206）参数字长及幅频响应特性变化194.3 数字滤波器的参数字长对其性能影响的小结195. 结论及体会235.1 滤波器设计、分析结论235.2 我的体会235.3 展望241.数字滤波器的设计任务及要求（编号1206）1.1数字带阻滤波器的设计指标：(1)通带下截止频率： (2)阻带下截止频率： (3)阻带上截止频率： (4)通带上截止频率： (5)通带最大衰减： (6)阻带最小衰减： 2.数字滤波器的设计及仿真2.1数字滤波器（

3、编号1206）的设计2.1.1.通过转换公式将数字带阻滤波器的技术指标转化为模拟带阻滤波器的设计指标：，预畸变校正得到模拟边界频率如下，（1）通带下截止频率：（2）阻带下截止频率：（3）阻带上截止频率：（4）通带上截止频率：（5） 通带最大衰减：（6） 阻带最小衰减：（7） 阻带宽度：（8）中心频率：2.1.2设计模拟低通滤波器。(1)求归一化低通滤波器的通带截止频率与其阻带截止频率的关系。将与分别代入频率的变换关系中，可得两个低通通带截止频率与：取=max(|,|)=由于所取的是归一化低通滤波器，将其代入这个表达式中，可得归一化滤波器的阻带截止频率为：转换得到的归一化低通滤波器的指标为：阻带

4、截止频率，通带截止频率，通带最大衰减，阻带最大衰减。(2)设计相应的归一化模拟低通滤波器系统函数。 设计巴特沃斯低通滤波器，阶数计算如下：取N=12保证阻带技术指标满足要求，通带指标有富余。所以通过matlab求得分子分母多项式系数，程序如下：wp=0.5109;ws=1;rp=1;rs=60; N,wc=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');%计算低通滤波器阶数Nb,a=butter(N,wc,'s');%计算分子分母多项式系数运行得到的结果：N=12;表2-1：模拟低通滤波器系统函数系数列表系数分母系数a分子系数b1.0000000000 0.0

5、000000000 4.3082644108 0.0000000000 9.2805711168 0.0000000000 13.1728224642 0.0000000000 13.6875020860 0.0000000000 10.9498386652 0.0000000000 6.9085895424 0.0000000000 3.4626433079 0.0000000000 1.3687504367 0.0000000000 0.4165613261 0.0000000000 0.0928057421 0.0000000000 0.0136239340 0.0000000000 0

6、.0010000005 0.0010000005 由系数向量b和a，写出归一化模拟低通滤波器的系统函数：(3)采用双线性变换法将模拟低通转换成数字低通：利用matlab中bilinear计算出的系数。程序如下：Fs=0.5;bz,az=bilinear(b,a,Fs);运行结果见表2-2示：表2-2：数字低通滤波器系统函数系数列表系数 分母系数az分子系数bz1.0000000000 0.0000154648 -4.1634876850 0.0001855777 9.1864092085 0.0010206774 -13.3386476957 0.0034022579 13.949696178

7、4 0.0076550802 -10.9205669151 0.0122481284 6.5101186098 0.0142894831 -2.9589456952 0.0122481284 1.0130616625 0.0076550802 -0.2538481168 0.0034022579 0.0440592391 0.0010206774 -0.0047440948 0.0001855777 0.0002391603 0.0000154648 (4)由系数向量bz和az写出数字低通系统函数：(5)求数字低通到数字带阻变换所需的各参数。 求样本低通的截止频率令T=2则有故用数字低通到数字

8、带阻相应的变化关系，求出所需的系统函数：为了方便推导，先将及变换关系式表示成，其中：通过matlab的zmapping算法，可得到数字带阻滤波器系统函数系数，见表2-3：系数表2-3：数字带阻滤波器系统函数系数列表 分母系数A分子系数B1.0000000000 0.1465258206 -0.0007537828 -0.0001311456 8.2124002587 1.7583099015 -0.0057074767 -0.0014426018 31.3537083598 9.6707047002 -0.0199132833 -0.0072130089 73.4766834925 32.23

9、56829615 -0.0422008621 -0.0216390268 117.5774909651 72.5302876722 -0.0602912905 -0.0432780537 135.2136352492 116.0484612439 -0.0609159014 -0.0605892754 114.4902280581 135.3898718278 -0.0443795954 -0.0605892754 71.8686670487 116.0484612439 -0.0232980615 -0.0432780537 33.1731694565 72.5302876722 -0.00

10、86319917 -0.0216390268 10.9745451593 32.2356829615 -0.0021485388 -0.0072130089 2.4688616840 9.6707047002 -0.0003231912 -0.0014426018 0.3389568795 1.7583099015 -0.0000222489 -0.0001311456 0.0214698161 0.1465258206 数字带阻滤波器系统函数：2.2数字滤波器（编号1206）的性能分析2.2.1将基于巴特沃斯IIR数字带阻滤波器的输入matlab，利用matlab画出其幅频特性响应和相频特性

11、响应如图2-2-1所示：运行结果：图2.1：数字滤波器幅频特性曲线2.2.2对滤波器幅频特性进行性能分析：表2-4：巴特沃斯IIR数字带阻滤波器性能指标性能指标设计指标实际指标|相对误差|0.4137 0.42110.0074 1.79%0.4551 0.4550-0.0001 -0.02%0.5449 0.54490.0000 0%0.5863 0.5790-0.0073 -1.25%1 0满足要求通过图1.1的幅频特性曲线可以看出：通带的下限截止频率约为0.4211，通带的上限截止频率约为0.5790，阻带的下限截止频率约为0.4550，阻带的上限截止频率约为0.5449。阻带宽度约为0.

12、0899。从仿真所得的指标可以看出其结果和手工计算所得指标在阻带截止频率处误差很小，在通带截止频率处误差稍大，但总体上的摆动幅度不大，将频率的范围归一化到01，从图1可以看到，该滤波器只允许频率小于0.4211和大于0.5790的频率分量通过，滤除其他频率分量。3. 数字滤波器的实现结构对其性能影响的分析IIR滤波器的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路，系统函数可以写成封闭函数的形式。IIR数字滤波器采用递归型结构，运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。在设计滤波器时，对于同一个传递函数对应着许多种等效结构，

13、这些结构能达到的性能效果却有所不同。在MATLAB中可以利用FDATool工具箱构建不同类型的数字滤波器。为了使对比效果明显，将上述初步设计的巴特沃斯法IIR带阻滤波器的设计参数的字长（即转移函数中分子各项前的系数）进行保留小数点后8位的缩减。3.1数字滤波器的实现结构一（1206）及其幅频响应在Matlab命令行窗口中输入语句“fdatool”，在弹出的Filter Design & Analysis Tool的Filter Coefficients区域即可进行设计（见图2）。设计前，将系统函数的系数进行简化，得到如下结果：表3-1：数字带阻滤波器系统函数系数列表系数 分母系数a分子

14、系数b1 0.14652582 0 0 8.21240026 1.75830990 0 0 31.35370836 9.67070470 0 0 73.47668349 32.23568296 0 0 117.57749097 72.53028767 0 0 135.21363525 116.04846124 0 0 114.49022806 135.38987183 0 0 71.86866705 116.04846124 0 0 33.17316946 72.53028767 0 0 10.97454516 32.23568296 0 0 2.46886168 9.67070470 0 0

15、 0.33895688 1.75830990 0 0 0.02146982 0.14652582 将已精简的系数导入Filter Coefficients，选择直接II进行仿真，从已精简的分子分母系数可以构建直接型的数字滤波器：直接型的结构流图如图3-1所示：图3-1：直接型网络构图选择filter structure选项框中的 Direct-Form II选项，点击窗口下方的Import Filter按钮，构建直接II型结构的巴特沃斯数字IIR带阻滤波器，结果如图3-2所示：图3-2：直接II型结构的巴特沃斯数字IIR带阻滤波器幅频特性曲线读图可以得基于巴特沃斯Direct-Form II级

16、联型IIR数字带阻滤波器各项技术指标（，单位为；, ,单位为dB）如表3-2所示：表3-2：基于巴特沃斯Direct-Form II级联型IIR数字带阻滤波器性能指标性能指标设计指标级联型|相对误差|0.4137 0.4213 0.00761.84%0.4551 0.4561 0.0010.22%0.5449 0.5439 -0.0010.18%0.5863 0.5786 -0.00771.31%1 0满足要求波器幅频曲线在通带波动幅度均匀。纹波系数设计要求为小于1,实际数据为0，符合要求。阻带最小衰减设计要求为60dB,实际数据为72.0975dB，大于60dB，高于指标20.17%。故符合

17、要求。，分别比初始设计高0.0076dB，低0.001dB，比初始设计高0.001dB，比初始设计低0.0077dB。3.2数字滤波器的实现结构二（1206）及其幅频响应将H（z）进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。将直接型结构系统函数转变为级联型结构的系统函数，运用Matlab中的tf2sos进行运算程序如下：format longnum=input('分子系数向量=');den=input('分母系数向量=');z,p,k=tf2zp(nu

18、m,den);sos=zp2sos(z,p,k);%直接型系统函数通过因式分解为级联型系统函数输入数据：分子系数向量num=0.14652582 0 1.75830990 0 9.67070470 0 32.23568296 0 72.53028767 0 116.04846124 0 135.38987183 0 116.04846124 0 72.53028767 0 32.23568296 0 9.67070470 0 1.75830990 0 0.14652582分母系数向量den=1 0 8.21240026 0 31.35370836 0 73.47668349 0 117.577

19、49097 0 135.21363525 0 114.49022806 0 71.86866705 0 33.17316946 0 10.97454516 0 2.46886168 0 0.33895688 0 0.02146982运行结果为：表3-3级联型巴特沃斯数字带阻滤波器系统函数系数分子系数num分母系数den0.1465 0.0048 0.1644 1 0.0544 0.6000 1 -0.0328 1.1223 1 -0.0545 0.6000 1 0.0880 1.0881 1 0.1605 0.6247 1 -0.0882 1.0881 1 -0.1607 0.6247 1 0

20、.1171 1.0313 1 0.2591 0.6730 1 -0.1172 1.0313 1 -0.2592 0.6730 1 0.0290 0.8912 1 0.3460 0.7427 1 -0.0291 0.8912 1 -0.3461 0.7427 1 0.0807 0.9190 1 0.4179 0.8322 1 -0.0808 0.9190 1 -0.4180 0.8322 1 0.1134 0.9694 1 0.4712 0.9398 1 -0.1135 0.9694 1 -0.4713 0.9398 其中函数zp2sos=zp2sos(z,p,k)产生以零极点形式确定的等效传递

21、函数Hbp(z)每二阶部分系数的矩阵sos.sos是一个Lx6的矩阵。其前三列产生的为分子多项式系数，后三列为分母多项式系数。所以级联结构的系统函数为：图3-3：级联型网络构图选择Edit下拉菜单中点击 Convert to Second-order Sections选项，将构建好的Direct-Form II结构的巴特沃斯IIR带阻滤波器转换为级联滤波器，结果如图3-4所示:图3-4：巴特沃斯IIR带阻滤波器转换为级联滤波器后幅频特性曲线读图可以得级联型结构的滤波器技术指标（，单位为；,单位为dB）如表3-4所示：表3-4：级联结构滤波器对性能指标的影响性能指标初始设计指标Direct-Fo

22、rm II|相对误差|0.4137 0.42130.00761.8371%0.4551 0.455100%0.5449 0.5448-0.00010.0184%0.5863 0.5783-0.0081.3645%1 0满足要求由图3-4和表3-4中可以看出：滤波器幅频曲线在阻带内波动比直接型结构滤波器幅频曲线更均匀。阻带最小衰减比初始设计值高90.2927dB，通带最大衰减比初始设计低1dB。比初始设计低，比初始设计高；与初始设计相同，比初始设计低了，滤波器的截止频率坡度较初始设计更加平缓。由图3-4和表3-4中可以看出：滤波器幅频曲线在阻带内波动比直接型结构滤波器幅频曲线更均匀。阻带最小衰减

23、比初始设计值高90.2927dB，通带最大衰减比初始设计低1dB。比初始设计低，比初始设计高；与初始设计相同，比初始设计低了，滤波器的截止频率坡度较初始设计更加平缓。3.3 数字滤波器的实现结构对其性能影响的小结上述比较发现：在参数字长保留了小数点后8位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。由于直接型滤波器的系数不是直接决定单个零极点，不能很好的进行滤波器性能的控制，且直接型滤波器的极点对参数的变化过于敏感，从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，容易出现不稳定或产生较大误差；而级联型滤波器每个二阶系数单独控制一对零、极点，有利于控制频率响应。因此直接型误差比级联型

24、更大，受有限参数字长影响更大，主要表现在直接型的、 、和与设计要求的相应性能间的差的绝对值普遍大于级联型。此外，级联型的的幅频响应曲线的通带的波动稳定性要稍好于直接型。所以，参数字长有限的情况下，级联结构型滤波器对参数变化的反应要比直接结构型的更小，性能指标误差更小，滤波效果更好，更能符合设计指标的要求。4. 数字滤波器的参数字长对其性能影响的分析在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。下面研究不同参数字长对性能指标的影响。将计算获得的巴特沃斯法带阻II

25、R数字滤波器的系数输入FDAtool中的filter coefficients工具中，并点击Import Filter按钮，生成数字滤波器。运用Set quantization parameters按钮，在filter arithmetic下拉菜单下选择Fixed Point选项。通过改变coefficient word length的值便可以改变参与构建滤波器的参数字长。图中虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为改变参数字长后的滤波器幅频响应曲线。4.1数字滤波器的实现结构一（1206）参数字长及幅频响应特性变化4.1.1参数字长取2位对性能指标的影响将coeffic

26、ient word length的值改为5，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线如图4-1-1所示：图4-1-1 基于巴特沃斯Direct-Form II直接2型(字长取5）IIR数字带阻滤波器的幅频响应从图中可以看出：字长为5位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，几乎达不到滤波效果，远远不能满足设计指标的要求。4.1.2参数字长取15位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为15，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线如图4-2-1所示：图4-1-2 基于巴特沃斯Direct-Form II直接2型(字

27、长取15）IIR数字带阻滤波器幅频响应曲线图由图4-1-2可以看出，当参数字长取为15位时，幅频曲线已经初具带阻滤波器的形态，但滤波效果很差，带阻最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是很大，离设计指标差距仍然很大。4.1.3参数字长取25位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为25，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线如图4-1-3所示：图4-1-3基于巴特沃斯Direct-Form II直接2型(字长取25）IIR数字带阻滤波器幅频响应曲线图由图4-1-3可以看出，当参数字长取为25位时，幅频曲线已经有带阻滤波器的形态，失真度虽

28、然比15位时有明显改进，但滤波效果依然达不到要求，带阻最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差大，离设计指标差距大。4.1.4参数字长取35位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为35，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图4-1-4和表4-1-4所示：图4-1-4 基于巴特沃斯Direct-Form II直接2型(字长取35）IIR数字带阻滤波器幅频响应曲线图读图可以得基于巴特沃斯Direct-Form II直接2型(字长取35）IIR数字带阻滤波器各项技术指标（，单位为；, ,单位为dB）如表4-1-4所示表4-1-4

29、基于巴特沃斯Direct-Form II直接2型(字长取35）IIR数字带阻滤波器性能指标性能指标设计指标直接II型|相对误差|0.41370.42140.00771.86%0.45510.4551000.54490.5449000.58630.5787-0.00761.3%1 0满足要求由图4-1-4和表4-1-4可以看出，当参数字长取为35位及以上时，设计的曲线与要求的曲线几乎重合，截止频率与实际要求几乎完全相同。由于是巴特沃斯模型，通带和阻带都相对平缓，通带最大衰减频率近乎为0dB，高出期望值的1dB；阻带最小衰减频率达到67dB，也高出期望指标的60dB，设计的滤波器的各项性能指标达到

30、了设计要求。4.2数字滤波器的实现结构二（1206）参数字长及幅频响应特性变化4.2.1参数字长取3位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为3，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线4-2-1所示：图4-2-1 基于巴特沃斯Direct-Form II级联型(字长取3）IIR数字带阻滤波器幅频响应曲线图从图中可以看出：字长为3位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，滤波效果较差，不能满足设计指标的要求。4.2.2参数字长取5位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为5，点击下方的Apply按

31、钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和如图4-2-2所示：图4-2-2基于巴特沃斯Direct-Form II级联型(字长取5）IIR数字带阻滤波器幅频响应曲线图由图4-2-2可以看出，当参数字长取为5位时，幅频曲线已经初具带阻滤波器的形态，但通带效果很差，在通带上、下截止频率附近有严重失真（表现为突变性增益），离设计指标差距仍然很大。4.2.3参数字长取6位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为6，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图4-2-3和表4-2-3所示：图4-2-3 基于巴特沃斯Direct-Form II级联型(字长取

32、6）IIR数字带阻滤波器幅频响应曲线图读图可以得级联型结构的滤波器各项技术指标（，单位为；, ,单位为dB）如表4-2-3所示：表4-2-3 基于巴特沃斯Direct-Form II级联型(字长取9）IIR数字带阻滤波器性能指标性能指标设计指标直接II型|相对误差|0.41370.42000.00631.52%0.45510.455100%0.54490.544900%0.58630.5780-0.00831.42%1 0满足要求由图4-2-3和表4-2-3可以看出，当参数字长取为6位时，设计的曲线与要求的曲线大部分重合，截止频率与实际要求几乎完全相同，通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率离期望

33、指标相差也较小，但在通带上、下截止频率附近有一定程度的失真，需要再取一位进行分析。4.2.4参数字长取7位对性能指标的影响将coefficient word length的值改为7，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图4-2-4和表4-2-4所示：图4-2-4基于巴特沃斯Direct-Form II级联型(字长取7）IIR数字带阻滤波器幅频响应曲线图读图可以得级联型结构的滤波器各项技术指标（，单位为；, ,单位为dB）如表4-2-4所示：表4-2-4 基于巴特沃斯Direct-Form II级联型(字长取7）IIR数字带阻滤波器性能指标性能指标设计指标直接II型

34、|相对误差|0.41370.42130.00761.84%0.45510.455100.00%0.54490.544900.00%0.58630.5786-0.00771.31%1 0满足要求由图4-2-4和表4-2-4可以看出，当参数字长取为7位及以上时，设计的曲线与要求的曲线几乎完全重合，截止频率与实际要求几乎完全相同，通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率也完全满足设计指标的要求，设计的滤波器的各项性能指标达到了设计目地。4.3 数字滤波器的参数字长对其性能影响的小结通过之前的图表，可以发现：参数字长越长，设计出的滤波器就越符合设计指标要求，误差越小，稳定性越好，滤波性能越好。当直接型参数字

35、长达到35位及以上时、级联型参数字长达到7位及以上时，两种结构的滤波器都可达到设计性能指标。通过对比直接II型和级联型结构的字长分析可以发现：对于直接II型滤波器，字长越短，对它的通带截止频率影响越大，对阻带的截止频率影响相对较小。由于是巴特沃斯模型，其通带的曲线基本符合设计要求(即波动较小)。然而阻带随着字长的缩短，性能效果越差。在字长为15以下时，基本没有滤波的效果，随着字长增加，滤波器通带达到要求，阻带却波动太大，达不到指标要求，当字长为35时，阻带最小衰减频率在阻带衰减要求内，滤波器达到设计要求；对于级联型滤波器，字长对其通带的影响相对阻带较大。字长越短，通带的波动就越大，表现在通带上下截止频率附近的失真，达不到设计要求。当字长为6时，通带的波动较小，基本达到设计要求。当字长为7时，通带基本成为一条直线，达到并远超出了设计要求，阻带也在要求范围之内。可以看出，直接II型和级联型对于阻带都有良好的效果（指标完全吻合），对于通带则有微小失真。在能达到设计要求的条件下，对于级联型来说，它比直接II型所需的字长要短得多。5. 结论及体会5.1 滤波器设计、分析结论本次课程设计数字滤波器的类型是巴特沃斯数字带阻滤波器。对于此滤波器的设计分为四大部分：将数字带阻的指标