排列组合典型例题

1、实用标准文档典型例题一例1 1用0到9这10个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1:1:当个位数上排“0时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有闻个；当个位上在“2、4、6、8中任选一个来排,那么千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有A4A1AS(个).没有重复数字的四位偶数有3112.A9+A4AA=504+1792=229升.典型例题二例2 2三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生,可

2、有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法？解：(1)(捆绑法)由于三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有A6种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有A对种不同的排法,因此共有A：A；=4320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A；种不同排法,对于其中任意

3、一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有A3种方法,因此共有A5八3=14400种不同的排法.(3)解法1:(位置分析法)由于两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有A；种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有AB种排法,所以共有AA：=14400种不同的排法.(4)解法1：由于只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,那么未位就不再受条件限制了,这样可有A5A7种不同的排法；如果首位排女生,有A3种排法,这时末位就只能排男生,有A5种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有A：种不同的排法,这样可有A3A5A：种不同排法.因此共有A5A；+A3A5

4、八,=36000种不同的排法.解法2:3个女生和5个男生排成一排有A8种排法,从中扣去两端都是女生排法A3A：文案大全实用标准文档种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有A-A3A=36000种不同的排法.典型例题三例3 3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A5种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有A；中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：AA4=43200.(2)先排舞蹈节目有A：中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好

5、供5个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A44A；=2880种方法.典型例题四例4 4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1 1：6 6六门课总的排法是浦,其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有A种排法,如图中I；数学排在最后一节有AUU种排法,如图中n；但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中出,这种情况有A4种排法,因此符合条件的排法应是：A-2A；+A：=504(种).典型例题五例 5 5 现有 3 3 辆公交车、 3 3 位司机和 3

6、3 位售票员,每辆车上需配 1 1 位司机和 1 1 位售票员.问车辆、 司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把 3 3 辆车看成排了顺序的三个空：rmrm, ,然后把 3 3 名司机和 3 3 名售票员分别填入.因此可认为事件分两步完成,每一步都是一个排列问题.解：分两步完成.第一步,把 3 3 名司机安排到 3 3 辆车中,有A3=6种安排方法；第二步把 3 3 名售票员安排到 3 3 辆车中,有席=6种安排方法.故搭配方案共有A3A；=36种.典型例题六文案大全实用标准文档例6 6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有 4 4 所重点院校,每所院校有 3 3 个专业是你较为满

7、意的选择.假设表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法？学校专业112212312解：填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,那么在 4 4 所学校中选出 3 3 所并加排列,共有A3种不同的排法；第二步,从每所院校的 3 3 个专业中选出 2 2 个专业并确定其222顺序,其中又包含二小步,因此总的排列数有A3A3人3种.综合以上两步,由分步计数原理得不同的填表方法有：A：A2A26=5184种.典型例题七例5 57 7 名同学排队照相.(1)假设分成两排照,前排 3 3 人,后排 4 4 人,有多少种不同的排法？(2)假设排成两排照,前排

8、 3 3 人,后排 4 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法？(3)假设排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法？(4)假设排成一排照,7 7 人中有 4 4 名男生,3 3 名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法？解：(1)AA：=A=5040种.(2)第一步安排甲,有A3种排法；第二步安排乙,有A4种排法；第三步余下的 5 5 人排在剩下的 5 5 个位置上,有A5种排法,由分步计数原理得,符合要求的排法共有AA4A5=1440种.(3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余 4 4 个元素排成一排,即看成 5 5 个元素的全排列问题,有 2 2

9、种排法；第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有A；种排法.由分步计数原理得,共有AA=720种排法.(4)第一步,4 4 名男生全排列,有A4种排法；第二步,女生插空,即将 3 3 名女生插入 4 4 名3男生之间的 5 5 个空位,这样可保证女生不相邻,易知有A5种插入方法.由分步计数原理得,符合条件的排法共有：A：A：=1440种.文案大全实用标准文档典型例题八例8从2、34、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数,求所有三位数的和.解：形如丽胃的数共有A2个,当这些数相加时,由“2产生的和是A,2；形如函2U的数也有A：个,当这些数相加时,由“2产生的和是A4210;形如丽闰的数

10、也有A：个,当这些数相加时,由“2产生的和应是A2100.这样在所有三位数的和中,由“2产生的和是尺2111.同理由a4、5、6产生的和分别是尺3111,A24111,A25111,A46111,因此所有三位数的和是A2111?2+3+4+5+6)=26640.典型例题九例9计算以下各题：26；(2)A；123n-11!22!33!nn!(5)2!3!4!n!(n-1)!1(n-1)!1(3)原式=()(n-m)!1(n-m)!=1;n-1-(m-1)!(n-1)!(n-m)!(n-1)!(4)原式=(2!-1)+(3!2!)+(4!3!)+(n+1)!n!=(n+1)!1;123.n-11I

11、II,2!3!4!n!111111111=一一十一+一+-一=1一一.1!2!2!3!3!4!(n-1)!n!n!此题计算中灵活地用到以下各式：n!=n(n-1)!;nn!=(n+1)!n!；-1=1-;使问题解得简单、快捷.n!(n-1)!n!解:A25=1514=210；(2)府=6!=654321=720；(5)1J(n-1)!n文案大全实用标准文档典型例题十例1010a,b,c,d,e,f六人排一列纵队,限定a要排在 b b 的前面a与 b b 可以相邻,也可以不相邻,求共有几种排法.对这个题目,A A、B B、C C、D D 四位同学各自给出了一1A11111d4种算式：A A 的算

12、式是万 A A6；B B 的算式是A；+尺+A+A1+A：+A5,A4；C C 的算式是A4；D D 的算式是CfA4.上面四个算式是否正确,正确的加以解释,不正确的说明理由.解：A A 中很显然,a在 b b 前的六人纵队的排队数目与“b b 在a前的六人纵队排队数目相等,而“六人纵队的排法数目应是这二者数目之和.这说明：A A 的算式正确.B B 中把六人排队这件事划分为a占位,b b 占位,其他四人占位这样三个阶段,然后用乘法求出总数,注意到a占位的状况决定了 b b 占位的方法数,第一阶段,当a占据第一个位置时,b b 占位方法数是A；当a占据第2个位置时,b b 占位的方法数是A；当

13、a占据14第5个位置时,b占位的万法数是A,当a,b占位后,再排其他四人,他们有A4种排法,可见 B B 的算式是正确的.C C 中A4可理解为从6个位置中选4个位置让c,d,e,f占据,这时,剩下的两个位置依前后顺序应是a,b的.因此 C C 的算式也正确.2D D 中把6个位置先圈定两个位置的方法数C6,这两个位置让a,b占据,显然,a,b占据这两个圈定的位置的方法只有一种a要在 b b 的前面,这时,再排其余四人,又有A4种排法,可见 D D 的算式是对的.说明：下一节组合学完后,可回过头来学习 D D 的解法.典型例题十一例1111八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、 丙

14、必须坐在同一排,共有多少种安排方法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下、“甲坐下；“其他五人坐下三个步骤,又要用到分步计数原理,这样可有如下算法：AA2A+A：A4A5=8640种.解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数看成“总方法数,这个数目是A1A7,在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法.这个数目是A4C2A3A4A5.其中第一个因数文案大全实用标准文档A4表示甲坐在第一排的方法数,C2表示从乙、丙中任选

15、出一人的方法数,A1表示把选出的这个人安排在第一排的方法数,下一个A；那么表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数,A5就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为AA；-A1C1A；NN=8640种.说明：解法2可在学完组合后回过头来学习.典型例题十二例1212方案在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有.45345_145245A.A4A5B.A3AAC.C3AAD.A2A4A5解：将同一品种的画“捆在一起,注意到水彩画不放在两端,共有A种排列.但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要

16、求.所以共有AA44A5种陈列方式.,应选D.说明：关于“假设干个元素相邻的排列问题,一般使用“捆绑法,也就是将相邻的假设干个元素“捆绑在一起,看作一个大元素,与其他的元素进行全排列；然后,再“松绑,将被“捆绑的假设干元素,内部进行全排列.本例题就是一个典型的用“捆绑法来解答的问题.典型例题十三例1313由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有.A.210B.300C.464D.600解法1：直接法：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数,共有5A5种,所以其中1 1个位数字小于十位数字的这样的六位数有15 5A5A5=300=300 个.2 2

17、解法2：间接法：取0,1,5个数字排列有A：,而 0 0 作为十万位的排列有A,所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有1A A6-A A5=300=300个.2 2应选B.说明：1直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种根本方法,何时使用直接法或文案大全实用标准文档间接法要视问题而定,有的问题如果使用直接法解决比拟困难或者比拟麻烦,这时应考虑能否用间接法来解.(2)“个位数字小于十位数字与“个位数字大于十位数字具有对称性,这两类的六位数个数一样多,即各占全部六位数的一半,同类问题还有6个人排队照像时,甲必须站在乙的左侧,共有多少种排法.典型例题十四例1414用1,2,3,4,5,这五个数

18、字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有().A.24个B.30个C.40个D.60个分析：此题是带有附加条件的排列问题,可以有多种思考方法,可分类,可分步,可利用概率,也可利用此题所提供的选择项分析判断.解法1 1：分类计算.将符合条件的偶数分为两类.一类是2作个位数,共有簿个,另一类是4作个位数,222也有A4个.因此符合条件的偶数共有A4+A4=24个.解法2：分步计算.先排个位数字,有A；种排法,再排十位和百位数字,有A：种排法,根据分步计数原理,三位偶数应有A2,A2=24个.解法3:3:按概率算.用 1 1-5-5 这 5 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有 8 8=60

19、个,其中偶点其中的22222 2. .因此三位偶数共有 60 x2=2460 x2=24 个.5555解法4:4:利用选择项判断.用 1 1-5-5 这 5 5 个数字可以组成没有重复数字的三位数共有A=60个.其中偶数少于奇数,因此偶数的个数应少于 3030 个,四个选择项所提供的答案中,只有 A A 符合条件.,应选A.典型例题十五例1515(1)计算A；+2A2+3A3+8浦.(2)求Sn=1!+2!+3!+n!(n n2 21010)的个位数字.分析：此题如果直接用排列数公式计算,在运算上比拟困难,现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑.在中,项可抽象为nA；=(n

20、+11)An=(n+1)AnnA；=An：An,(2)中,项为文案大全实用标准文档n!=n(n1)(n2)321,当 n n 至 5 5 时,乘积中出现5和2,积的个位数为0,在加法运算中可不考虑.解：(1)由nA：=(n+1)!_n!.原式=2!1!+3!2!+9!-8!=9!-1!=362879.(2)当 n n 之 5 5 时,n!=n(n1)(n2)321的个位数为0,Sn=1!+2!+3!+n!n n 之 1010的个位数字与1!+2!+3!+4!的个位数字相同.而1!+2!+3!+4!=33,Sn的个位数字为3.说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键,比方：求证:12

21、3n1一+=1,我们首先可抓等式右边的2!3!4!n1!n1!n1-1_n11_11(n1)!(n1)!(n1)!n!(n1)11-=1-=右边.(n1)!(n1)!典型例题十六例1616用0、1、2、3、4、5共六个数字,组成无重复数字的自然数,1可以组成多少个无重复数字的 3 3 位偶数？2可以组成多少个无重复数字且被 3 3 整除的三位数？分析：3 3 位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是 0,0,由于个位用或者不用数字 0,0,对确定首位数字有影响,所以需要就个位数字用 0 0 或者用2、4进行分类.一个自然数能被 3 3 整除的条件是所有数字之和是 3 3 的倍数,此题可以先确定用哪

22、三个数字,然后进行排列,但要注意就用与不用数字 0 0 进行分类.解：1就个位用 0 0 还是用2、4分成两类,个位用 0,0,其它两位从1、2、3、4中任取两数排列,共有6=12个,个位用 2 2 或 4,4,再确定首位,最后确定十位,共有2M4M2M4M4=324=32个,所有 3 3 位偶数的总数为：12+32=4412+32=44个.2从0、1、2、3、4、5中取出和为 3 3 的倍数的三个数,分别有以下取法：012、015、024、045、123、135、234、345,前四组中有0,后四组中没有 0,0,用它们排成三位数,如果用前 4 4 组,共有4M2父庆；=16个,如果用后n(n1)!,左边=1_!.二2!2!3!n文案大全实用标准文档四组,共有4MA；=24个,所有被 3 3 整除的三位数的总数为 1616+ +24=4024=40个.典型例题十七例1 17 7一条长椅上有 7 7 个座