数列求和相关问题

1、数列求和相关问题摘要：本文以数列求和为核心,研究以下专题：1 1 数列求和；2 2 无穷级数化简；3 3 数列不等式证实目录第 1 1 章常见数列求和方法 1 11.11.1 公式法 1 11.21.2 倒序相加 1 11.31.3 拆项法 2 21.41.4 裂项法 2 21.51.5 错位相减法 3 31.61.6 归纳法 6 6第 2 2 章无穷级数化简 6 62.12.1 数列求和 6 62.22.2 构造新和 6 6第 3 3 章数列不等式证实 8 83.13.1 求和后缩放 8 83.23.2 不等式缩放后求和 9 93.33.3 累和法 1111第 1 1 章常见数列求和方法高中

2、数列求和公式仅有等差数列和等比数列,然而对于既不是等差数列也不是等比数列我们便需要其它方法来求出.这里列举三种常见的方法：其中裂项法和错位相减法是高考数列常考的知识点.1 1 拆项法；2 2 裂项法；3 3 错位相减1.11.1 公式法1 1 直接用等差数列、等比数列的求和公式求2 2 掌握一些常见数列的前 n n 项和.352n1“等距离的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前如等差数列的前 n n 项和及时用次方法推导的.1.21.2 倒序相加法如果一个数列与首末两端n n 项和即可用倒序相加法,如果一个数列an具有ankakcbn,可考虑用倒序相加法.例 1 1 求证：C03C：

3、5C：2n1C：n12n1.41.4 裂项法高中有两个常见的列项是一定要掌握的,一般情况下,所有的裂项都是从该两题中衍生出来的.对于无法用拆项法来裂出的数列,我们往往研究其通项,看通项是否能推导出裂项的形式.裂项的方法是观察通项公式,将通项裂成两个相邻并且符号相反的项.11.1.母题源(1)(1)an,求an的前 n n 项和Sn. .n(n1)入1答案：1-n1证实：设SnC：3C：5C22n1C：把上式右边倒过来由CmC：由得Sn2n1Cn2n1cn3C：Cn然后两式相加得2Sn2n2c0cnC；1C：12n所以C：3C：5C22nC：2n2001f2022般结论,函数4x4x200020

4、22xax=ax.af2022所以S1f20222001202212022两式相加得具有一个特征,即满足fxf2022220222001-2-1.31.3 拆项法顾名思义,就是将数列中的项拆开,拆成我们熟知的等差数列或等比数列2001f2022.当数列是由和组成或者可以化成和的形式时,拆项法往往可以考虑,拆项法重要的是一定要拆成两个我们熟知的两项.也叫做分组求和.如果一个数列的通项可以写成cnanbn的形式,而数列an,bn是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列,可采用分组求和.,、11(1)1(1)求(1-)答案：山211(24)(38)1(n了)(2)(2)数列an2n,求an的前 n

5、n 项和Sn. .答案：Sn3n2n1log3allog3a2log3an,求数列的前 n n 项和.bn11说明：第I I问全化成首项和公比即可解出a1-,q-,q-,-,第IIII问是裂项法求和.1331n、.nn12n答案：I Ian-；IIIIbn,其前 n n 项和Snn3n2n1(2)(2)数列an,求an的前 n n 项和Sn. .答案：Sn,1推广：nnk1nkn,nk,nk,12 2.数列1,121n n 项和.答案：Snn23 3. .数列an的前 n n 项和为Sn,且an求Sn.答案:Snn1,n21,24.4.20222022 山东等差数列an满足:%7,a5a726

6、.an的前 n n 项和为Sn.(1)(1)求an及Sn;(2)(2)人1*令bnnNan1求数列bn的前 n n 项和Tno答案:1 1an2n1,Snn22 2Tn5.5.20222022 新课标全国等比数列2an的各项均为正数,且2“3a21,a39a2a6I I求数列an的通项公式;IIII设bnn n 项和有相似的地方, ,于是我们考虑能否用等比数列前 n n 项和公式的推导错位相减法该式与等比数列前方法来求出该和.错位相减法源于教科书等比数列前 n n 项和的公式推导, ,建议先看看等比数列前n n项和公式的推导.其特点往往要把前n n项和想出来才能观察出来,与等比数列前n n项相

7、比就是前面多了一个有规律变化的系数. .列cn其中Cn%bn可以用错位相减法.1.1.求和Sn12x3x2nxn1. .解：Sn12x3x2nxn1(1)(1)23nxSnx2x3xnx(2)(2)2得:求：(1)(1)数列an的通项公式;(2)(2)数列an的前 n n 项和Sn. .答案：方法一：采用错位相减法得出a万法二：再写出一个式子用n1换式子中的n.再相减彳#出 U2nn2,再验证首项即2n可.第二问用错位相减法.答案：Sn(n1)2n241、n13.3.(2022(2022 全国 I)I)在数列an中,a11,an1(1-)an. .n2n、一an(1)(1)设 b bn,求数列

8、 b bn的通项公式.适用条件：等差数列与等比数列的乘积.即：设an是等差数列,bn是等比数列.那么数1时,xSn(10)(2xx)(3x22x2)n1nx(n1)xn1(0 xn)nnxSn1xn(1x)2nnx1x1时,Sn2.2.数列an满足:a1a222n12an2nn(2)(2)求数列an的前 n n 项和Sn. .1答案：bn2JL小、_n2(3)(3)Snn(n1)27T4.4.(2022(2022 全国新课标理) )设数列an满足ai(1)(1)求数列 a an n的通项公式;令bnnan, ,求数列bn的前 n n 项和Sn. .2a5.5.数列an的首项a-,an1,n2,

9、3an1(1)(1)证实数列1是等比数列;16.6.二次函数fx满足f0f10, ,且fx的取小值是一.设数列an的4n前 n n 项和为Sn, ,且对一切nN*, ,点n,&在函数fx的图像上. .(1)求函数fx的解析式；设数列an2an的前 n n 项和为Tn,求Tn;a1.一.一(3)(3)设An为数列的刖 n n 项积,那么是否存在实数t, ,使得不等式AnJan1t对an-一切nN都成立？假设存在,求出 t t 的取值范围；假设不存在,请说明理由. .分析：(1)(1)fxx2x(2)(2)错位相减得Tn813n122n399111人111, ,aa?an2,anian322n1(

10、2)(2)求数列的前 n n 项和Sn.an答案:n2n4n2( (2) )Sn222一111设gnAn,an1An.2n11112n1Aa2angn1/1,2n3/12n32n12n3由于11-gnan12n12n22n12n22n1J：,8n31,所以gngn1,所以gnmaxg1虫,所以.4n8n42t会第 2 2 章无穷级数化简数列和的化简也称数列求和,因求和也是将数列化简的过程.除了求和外还有其它化简方式1 1 求和；2 2 构造新和2.12.1 数列求和常用的数列求和就是拆项法,裂项法,错位相减.见数列求和专题.2.22.2 构造新和此方法类似于错位相减法,也类似于anSnSn1,

11、总之就是再构造一新和.1. .数列an满足：当为n2nnN*2 22求：(1)(1)数列an的通项公式；(2)(2)数列an的前 n n 项和Sn. .解：(1)(1)由于包当之n2nnN*, ,2222na1a2an1.2所以一2-1n1n1n22222n1a两式相减得2nann2n2,nN,*2在原等式中令n1得&4,适合(*)式,故ann2n1(2)(2)错位相减即可Snn12n242.2.设数列的各项都是正数,且对任意nN*有a；a；a；a；S；, ,其中Sn为数列nnnnnan的前 n n 项和.1.61.6 归纳法归纳法一般是先用不完全归纳法猜出前n n 项和的公式,再用数学归纳法

12、证实.(1)求证：a22Snan(2)(2)求数列an的通项公式a2n(为非零整数,nN)试确定的值,使得对任意*nN都有bn1bn成立答案在不等式恒成立专题中说明理由.n1.由(2)(2)知anbnn2,显然 n=1,2n=1,2 时等式成立. .(3)设bn3n1n13.3.数列anbn中,对任意正整数n n 都有:aMa2bn1a3bn2n1anb12(1)(1)假设数列an是首项和公差都是1 1 的等差数列,求证bn是等比数列. .(2)(2)假设数列bn是等比数列an是等差数列,假设是,求出通项公式,假设不是请(3)(3)假设数列an是等差数列 ,数列bn是等比数列,求证:分析:an

13、n,故等式化为bn2bm3bn2n1nb12n2, ,又bn12bn 23bn3nth2n2(n2),两式相减得1,得bn2n1, ,数列bn是首项为 1 1公比为2 2 的等比数列.(2).(2)设等比数列bn首项为 b,b,公比为 q,q,那么bnbqn1,从而有n1n2n3bqa1bqa2bqa3ban2又bqn2albqn3a2bqn4a3ban12nn2n2,代入得2nn2qbann12qn2n2,故an2b所以 q=2q=2 时,数列an是等差数列,通项公式为an当q2时,数列an不是等差数列n当n3时,i1ah11_322412312n2n1112212221223n111211

14、24.4.正数数列 C Cn的前 n n 项和为&,&,且满足SnCn1AN(1)(1)求数列 C Cn的通项公式；1n1设an,探究是否存在数列bn,使得a,a2b2anbn2n12n12Cn对一切正整数 n n 都成立？假设存在,求出数列bn的通项公式；假设不存在,请说明理由. .2n1、,一bn,那么计算一刖 n n 项和.2nn1分析：(1)(1)Cn- -(2)(2)再写出一个相减得bn2n1,n2, ,验证首项满足(3)(3)错位相减2n第 3 3 章数列不等式证实1 1 求和后缩放；2 2 缩放后求和;3;3 累和法求和后缩放1.一一一.一,1 1 .假设an,且Sn是数列an的

15、前 n n 项和.求证：Sn1nn12 2 . .20222022 全国 IIII 理数列an的前 n n 项和Sn(n2n)-3n.(3)(3)在(2)(2)探究出存在数列bn,那么求数列bnCn的前 n n 项和；假设(2)(2)探究出不存在数列2n5I求liman；nSnn证实：a12a222分析：n n中当n1时,雪3n.na1a21222ann%S2S11222SnSn13 3 . .无穷数列an的前 n n 项和SnnpannN,并且aa?(1)求 p p 的值；(2)求 a an n的通项公式；213(3)作函数fxa?x&xanix,如果Go45,证实f一一.341分析：1 1

16、令n1得出a10或p1,验证令n2,舍去p1,由a10得出答案p-.2 2用累乘法得出答案ana2n1,其中要验证首项.3 3由Soaa?&o利(2)假设数列bn是等比数列,数列an是等差数列,假设是,求出通项公式,假设不是请说明理由.n13(3)假设数列an是等差数列,数列bn是等比数列,求证：nni1ah2列.(2).(2)设等比数列bn首项为 b,b,公比为 q,q,那么bnbqn1, ,从而有用通项公式全化成a2得出a245,从而fx231一.x2x3x-nx,写出f一后用31错位相减法写出2f33n4 4. .6.6.不等式缩放后求和1.1.数列anbn中,对任意正整数 n n 都有

17、:aha2bn1a3bn2n1anb12n2(1)(1)假设数列an是首项和公差都是1 1 的等差数列,求证bn是等比数列分析：(1)(1)ann,故等式化为bn2bn13bn2nb12n1n2, ,又bm2023.3g2nn12(n2),两式相减得bn14243D2n1,得2n1, ,数列bn是首项为 1 1 公比为 2 2 的等比数n1n2n3bqa1bqa2bqa3ban2bqn4a3ban12nn2n2,代入得on12qon2n2,故an2b1,由(2)(2)知anbn2,显然 n=1,2n=1,2 时等式成立. .等比数列.bn的通项公式;所以 q=2q=2 时,数列an是等差数列,

18、通项公式为an当q2时,数列an不是等差数列求证：当n2时,1b2答案：1 1an2,n2n1,n2；(2)(2)由飞9得b21或 1414舍,所以bnn1；1bi21bl112232又bqn2aibqn3a22nn2qbann当n3时,i11_2242n2n1112212221223n1112TT-2.2.数列an的前 n n 项和为Sn,a12a1Sn(1)(1)求an的通项公式;(2)(2)等差数列bn的各项为正, 其前n n 项和为Tn且T3b2,a3b3成3.3.在数列an中,a11,anan13n.设bnan3n(1)(1)求证：数列bn是等比数列;(2)(2)求数列bn的前 n n 项和;(3)(3)设T2n,求证T2nanb1a13na2所以数列a33na2nan1an即bnbnT2na1a3bn由于32n132n1所以T2n81333.3.3 3累和法1 1. .函数f求函数fx(2(2) )ln2证实：31、是以一为首相,4-1-1 为公比的等比数列.bn132n113n32132Sn3n132132n1132n1131132n11132n1ln的单调区间;1341132r32n1314n1P22n130恒成