专题六：导数与函数高考大题类型(自己总结)

1、导数高考大题(教师版)类型一：对单调区间的分类讨论1 1、已知函数f (x) = ex_ ax，aR. .(i)求函数f (x)的单调区间；(n)当x0,：)时，都有f (x)0成立，求实数a的取值范围. .解：(i)f(x)的定义域是：；：,(x)二ex_a. . 2 2 分(1)当a0成立，aR. . 7 7 分当0, :时，f(x)二ex_ax0成立，x即x三0, 时，aw成立 xXXXX设g(xH-，所以g(x)二乞邑=弹xxx当x(0, 1)时，g (x) : 0，函数g(x)在(0, 1)上为减函数；.1111 分x1,：时，g (x)0，函数g(x)在1,：上为增函数. . 12

2、12 分则g(x)在x=1处取得最小值，g(1)=e. .则awe. .综上所述，x 0,时，f (x)0成立的a的范围是(-：，e. . . 1313 分类型二：给出单调递增递减区间等价于恒成立问题22 2、已知函数f(x)=x 2aln x. .(i)若函数f(x)的图象在(2, f (2)处的切线斜率为1，求实数a的值;2(n)求函数f(x)的单调区间;x22a 2x 2a八解：(I)f (x)二2x.1 1 分xx由已知f (2) =1，解得a = -3. . 3 3 分(IIII )函数f (x)的定义域为(0, ：). .(1 1)当a_0时，f(x).0,f(x)的单调递增区间为

3、(0,：)；5 5 分x当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下:x(0,)V-a(J-a,)f(x)- -0+ +f(x)X极小值zxxx由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g (x)岂0在1,2上恒成立，22a即2x0在1,2上恒成立. .xx12即ax2在1,2上恒成立.1111 分x1211令h(x) x，在1,2上h(x)22x二-(石2x)：0,xxx所以h(x)在1,2为减函数. .h(x)min=h (2)=-, ,所以a-.2 2类型三：零点个数问题2(川)若函数g(x)f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围由上表可知，函数f (x)的单调递减区间是

4、(03)；单调递增区间是(、,匚a,：).8 8 分(II(II )由g(x) = x22a In x得g (x)工2x一 , . 9 9 分23 3、已知函数f(x) =4I n x ax -6x b(a,b为常数)，且x =2为f (x)的一个极值点.( (I) )求a的值；( (n) )求函数f (x)的单调区间；( (川) )若函数y = f(x)有 3 3 个不同的零点，求实数b的取值范围.解：( (I) )函数 f f (x)(x)的定义域为(0 0, + +V).1分f (2)=2 4a -6 = 0，贝ya a = = 1 1 .2( (n) )由( (i) )知f (x) =

5、 41n x x -6x b2.4x 62x 6x+42(x2)(x1) fx x( = +2x-6 =x由 f f x(x( 0 0 可得 x x 22 或 x x 11，由 f fxOxO 0 0 可得 11 x x 2001-x(+k) 00,即 f f (x x)X1 x1时，(k-1k-1 )1 -k当 x x (1 1, + + :：)时，h h (x x) 00,x0,且 x x 1 1 时,(ii(ii )设 0k1.0k00,1 -k(iii(iii )设 k k _ _ 1.1.此时h(x)0,0,而 h h (1 1) =0=0，故当 也也+ +徑X1 x+2x0,+2x

6、0,故h(x(x ) 0,0,1可得-h h (x x) 0,00,可得1 -xh h (x x) 0, 0，当x ( -2 -、5, 2)U(-2. 5 ,+ )时，f(x)v0，f (x)在(，2 - 5)单调递增，在(-2 - 5， 2 )单调递减，在(2，-25)单 调递增，在(- 2 5，+ )单调递减，故当x=-2 - 5和x=-2 5时取极大值，f (-2 - .5)=f(-2=16.8、 ( 21)(本小题满分共 12 分)已知函数 f(x) = x2+ ax + b，g(x) = ex(cx + d)，若曲线 y = f(x)和曲线 y = g(x)都过点 P(0，2)，且在

7、点 P 处有相同的切线 y = 4x+2(I)求 a，b，c，d 的值(U)若 x2 时，f(x)乞kg(x)，求 k 的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识，是中档题【解析】(I)由已知得f(0) =2,g(0) =2, f (0) =4,g (0)=4，而f (x)= 2x b，g (x)=ex(cx d c)， a=4， b =2，c=2， d =2 ; .4 分(U)由(I)知，f(xx24x 2，g(x2ex(x 1)，x2设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke (x 1) x 4x2( x _2),F (x)=2kex(x 2) -2x -4=2(x 2)(kex-1),有题设可得F(0)0，即 k -1,令F (x)=0 得，禺=-1n k ,X2= - 2,(1 )若1乞k：e2，则2Vxi0 ,即F (x)在(-2,xJ单调递减，在(X1：)单调递增，故F (x)在x=捲取最小值F(xJ，而2F (x1)=2x12 - x1-4x1-2=-