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1、基于影子长度变化的定位技术摘要随着互联网革命的到来，视频数据的利用日益重要。本文旨在通过分析太阳影子长度随各个因素的变化规律，探索出一种视频信息定位技术。针对问题一，我们以国家大地坐标系为标准，建立数学模型，得出了太阳高度角、地理纬度、时角和太阳赤纬角等参数的函数关系并将问题一中的数据带入该模型，可以得出太阳影子长度随时间的变化曲线。针对问题二，由正午时分时角为0、太阳高度角最大、影长最短的规律，即可得当地与北京的经度差，由此可得当地的经度为111°2328E。我们运用最小二乘拟合法则，得出附件一的影子长度变化曲线。再利用各个参数的函数关系进行逆运算，得出当地的纬度为70°

2、30N，并使用正态分布假设检验检测数据质量。于是推测可能的测量地点的地理坐标可能为（70°30N，111°2328E），在俄罗斯境内。针对问题三，我们通过问题二求解经度的方法，求得附件二、三中的经度不同，从而可得附件二、三为不同拍摄地点，即纬度可能不同。又由于只有两组数据，但有两个拍摄地点的纬度和赤纬三个未知数，正常情况下无法求得唯一解，由此我们建立条件平差模型，通过设定适当的协因数矩阵，并依据最小二乘原则，得到三个未知数的最优解。再由赤纬的最优解反推日角和真太阳时，接着再由真太阳时求出对应的具体日期，公式、.针对问题四，运用PHOTOSHOP以等时间间距取得21张图像，并

3、量出影长和杆长的像元点个数，再由2米杆长得出真实影长。首先，在拍摄日期已知的情况下，利用问题二的解决方法求解出拍摄地点的经纬度。其次，在拍摄日期未知的情况下，同理利用问题三中的解决方法求解出拍摄地点的经度，再由赤纬的最优解反推“日角”和“真太阳时”，接着再由“真太阳时”求出对应的具体日期。本文的主要特点在于，建立的条件平差模型很好的解决了未知数个数大于方程个数的问题，并且可以利用条件平差的相关精度评定方法评定误差。另外，本文所建立的模型简单、所用算法比较清晰，易于程序实现。关键词： 条件平差 最小二乘法 拟合 太阳高度角 影子长度一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要

4、方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用我们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将我们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，得出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将我们的模型

5、分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，得出若干个可能的地点与日期。4附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。我们需要建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用我们的模型得出若干个可能的拍摄地点。另外，如果拍摄日期未知，请根据视频确定出拍摄地点与日期。二、问题分析2.1问题一的分析通过参阅地理学相关文献，发现影子长度是由太阳高度角决定的（物体自身高度一定），而太阳高度角与赤纬角、地理纬度、太阳时角有关，利用球面三角可推出它们之间的函数关系，由此可以得出影子长度变化随各个参数的变化规律模型。通过该数学模型，利用Matlab编程利用Matlab编程可以求

6、出给定时间、地点、杆长下太阳影子长度的变化曲线图，详见图二。2.2问题二的分析由第一问所得到的太阳影子长度变化曲线，联想到将附件一中的影子顶点坐标数据进行拟合，即可得到近似的影子长度变化曲线，由于直杆定长并且影子长度变化曲线与太阳高度角成非线性关系，另外，太阳高度角、赤纬角、时角和地理纬度存在函数关系，那么在已知太阳高度角、赤纬角和时角的情况下可以得到当地的地理纬度。再对纬度进行正态分布假设检验，判断其是否为真地理纬度。再者，由于附件一所给数据的前提是北京时间，而且依据正午时分时角为0、太阳高度角最大、影长最短的规律，即可得当地与北京的经度差，由此可得当地的经度。2.3问题三的分析由于附件二和

7、附件三中所给的数据仅有北京时间和影子长度，没有拍摄日期，因此我们通过问题二求解经度的方法，求得附件二、三中的经度不同，从而可得附件二、三为不同拍摄地点，即纬度可能不同。又由于只有两组数据，但有两个拍摄地点的纬度和赤纬三个未知数，正常情况下无法求得唯一解，由此我们建立条件平差模型，通过设定适当的协因数矩阵，并依据最小二乘原则，得到三个未知数的最优解。再由赤纬的最优解反推日角和真太阳时，接着再由真太阳时求出对应的具体日期。2.4问题四的分析通过量取视频中每隔2分2秒的影子长度和杆长，结合已知的真实杆长，求出影子的真实长度。首先，在拍摄日期已知的情况下，可以通过拟合得出影子长度变化曲线，并利用问题二

8、中的解决方法求解出拍摄地点的经纬度。其次，在拍摄日期未知的情况下，需要先求解经度，再利用条件平差原理，求出最优的纬度和太阳赤纬角。同理，再由赤纬的最优解反推日角和真太阳时，接着再由真太阳时求出对应的具体日期。三、模型假设1不考虑大气对太阳光线的折射、透射现象，且太阳光线近似是平行的；2假设问题二中某固定直杆的长度为3m；3假设问题三中直杆的长度为1、2、3、4、5m；4假设影子长度变化曲线符合二次函数；5假设问题三中附件二、三拍摄日期相同。四、符号说明影子长度太阳高度角物体自身高度时差日角年份Matlab语言中求出不大于的最大整数的标准函数积日，即日期在年内的顺序号，例如平年12月31日的积日

9、为365，闰年则为366积日修正值、分别是观测时的时值和分值、分别是观测处经度的度值和分度值真太阳时hs1、hs2附件二、附件三数据中影长最短条件下的太阳高度角fi1、fi2附件二、附件三中数据的纬度条件方程系数条件方程常数项系数和常数项条件方程的闭合差，或称不符值五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解(1)太阳高度角的计算太阳高度角随着太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化，其计算公式1： （11）(2) 赤纬角、太阳时角的计算时差的计算太阳在黄道上的运动时快时慢，真太阳日的长短也各不相同。但是在实际生活中，匀速不变的时间单位往往是人们需要的，因此需要需找一个假想的、以均匀速

10、度运行的太阳。此太阳即为平太阳，平太阳日指的是它每天的持续时间，由此而来的小时即为平太阳时。平太阳时无法观测的，但可以从真太阳时间接求出，同理也可通过平太阳时来求得真太阳时，这二者之间的差值即为时差，可通过下式求出：式中的求解公式为：当给定年、月、日分别为、时，相应的积日可通过以下Matlab伪代码来实现，详见附录。由观测时刻与格林威治0时时间差的修正值和观测地与格林威治经度差所产生的时间差的修正值(西经为正，东经为负)两项组成：由此可得的计算公式：综上所述，根据、可求处，进而求出，最后求出时差。太阳时角的计算太阳时角的九三公式为：式中真太阳时的计算公式为：其中为经度订正，计算公式为：赤纬角的

11、计算综合前述公式可得赤纬角的计算公式为：(3)影子长度随各个参数变化的模型显然，影子长度和太阳高度角的正切值成反比：由前述太阳高度角的计算公式，利用三角函数关系，可得影子长度随赤纬角、地理纬度、太阳时角各个变化的数学模型：或者直接利用前文求出的，代入，立即得到影子长度变化模型： （4）模型的应用使用CGCS2000国家大地坐标系，使用Matlab编写程序，详见附录。代入问题一中提供的年份、时间、经纬度和杆的长度等数据，可得杆的影子长度变化曲线如图1所示：图1 影子长度变化曲线图5.2问题二的模型建立与求解5.2.1模型的建立根据附件一提供的数据，可以得到影子长度变化散点图，如图3所示：图2 附

12、件一的影子长度变化散点图此图基本上符合问题一中得到的影子长度变化规律，为求其地理位置，可建立整体模型，先利用问题一得到的影子长度变化模型，结合附件1提供的影子长度变化数据，可以推出太阳高度角变化数据，如表1：表1 太阳高度角随时间的变化数据北京时间北京时间北京时间14:4269.032715:0365.135315:2461.033814:4568.492315:0664.574315:2760.413714:4867.947215:0963.996915:3059.797714:5167.395615:1263.412315:3359.176214:5466.842115:1562.8236

13、15:3658.547114:5766.282615:1862.227915:3957.914015:0065.718815:2161.628815:4257.2736得出了太阳高度角的数据，即可推出纬度变化数据，并对其应用数理统计学的相关知识对其进行数据分析，最后对其进行假设检验，得出较理想的纬度值。要得到相对应的经度值，只需对影子长度变化曲线进行二次拟合即可。5.2.2模型求解（1）纬度计算，根据上述模型，利用Matlab编写程序，可求得测量地点的纬度的表2数据：表2 纬度的各类数理统计值位置特征计算结果变异特征计算结果算术平均70.2090极差1.2074中位数70.3877方差0.14

14、24切尾平均70.2630标准差0.3774几何平均70.2080四分位极差0.5188调和平均70.2070平均绝对偏差0.3155使用统计学中的四分位法，对每一部分使用normplot(x)得到正态分布概率图，如图所示，其原理是 “正态概率纸”，而正态概率纸是一种特殊的坐标系，其横坐标是等间隔的，纵坐标是按标准正态分布函数值给出的，所以，正态概率纸的定义就是让正态分布点近似落在直线上。因此对于正态分布，用normplot画出来会是一条近似直线，对于非正态分布，就会明显弯曲。由图可知，纬度为北纬70.5度的时候，严格服从正太分布，因此求得该可能地点的纬度为70°30。图3 正态分布

15、检验图（2）经度计算给定坐标序列：，设，用此二次多项式拟合影子长度数据，则拟合函数和坐标序列的均方误差为：根据多元函数求极值的原理，的极小值应该满足：整理得该二次多项式拟合函数的法方程为：得到在均方误差最小条件下的拟合函数，其法方程的系数矩阵是对称的。并对影子长度数据进行整体拟合后得下图4，程序文件见附录。进而求出最小影长0.4925所对时间12:36与北京时间（120E）对比得出经度为东经111°2328。综上所述，可以推测测量地点的地理坐标可能为（70°30N，111°2328E），在俄罗斯境内。5.3问题三的模型建立与求解5.3.1模型的建立依据问题二中建立

16、的模型，编写程序1（见附录），可求得附件二数据中的测量地点的经度为72.2716E，附件三数据中的测量地点的经度为116.3534E，。并对影子长度进行整体拟合，如下图4，可得附件二数据中影子最短长度为0.6222m,此时的时间 为15.2075 即相对于北京时间下午3点12分；附件三数据中影子最短长度为3.4836m,此时的时间为12.2687， 即相对于北京时间下午3点16分。图4 附件二、三的影子长度拟合图正午时太阳高度角最大，时角为0，则问题一中太阳高度角的计算公式可以化简为：由三角函数的和差化积公式，得：对于太阳位于天顶以北的地区而言，应满足：而对于太阳位于天顶以北的地区而言，应满足

17、：综合上面两个式子，即得正午太阳高度角的计算公式：然后假设了五组杆长数据，分别为1、2、3、4、5米，结合上述太阳高度角公式，并用Matlab编程，详见附录，分别由附件二、附件三得到两组太阳高度角的最大值，见表3。表3 附件二、附件三中数据对应的太阳高度角最大值杆长/m12345hs158.111172.719778.283481.158882.9068hs216.016829.861240.734648.947755.1346得到了这两组最大太阳高度角数据之后，需求得附件二、附件三的纬度以及赤纬角共三组未知数，不妨建立条件平差模型3，设有个平差值线性条件方程： （51）把代入式（51），可得

18、： （52）满足： （53）假定：则（52）式变为条件方程： （54） （51）式写成矩阵形式为： （55）式中： 式（53）写成矩阵形式为： （56）在（55）式中，的应有值为零，因此观测值减去其应有值即为闭合差。根据条件极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为，称为联系数向量，构成函数：令：两边转置得到：用左乘上式两端，得改正数的改正数方程： （57）将式（57）和式（54）联立求解，即可求得n个改正数和r个联系数，而且由基础方程解出的一组V，既可以消除闭合差，也一定符合的要求。5.3.2模型求解将式（57）和式（54）联立求解时，先将（57）式代入（54）式，得：令： （58）则有： （59）式

19、（59）称为条件方程的法方程，其系数矩阵的秩满足：因此是阶满秩方阵，并且是可逆矩阵，于是可得到的唯一解：若权阵是对角阵，则改正数方程（57）和法方程（59）的纯量形式分别为：和从法方程得到之后，将其代入式（57），即可求出值，于是可求平差值。依据此原理，结合前述两组太阳高度角数据，根据精度评定的原理，为了提高精度，假设协因数阵为：建立条件平差方程：然后使用Matlab求其纬度和赤纬角数据，进而根据它们和日角及真太阳时的关系，导出日角和真太阳时数据，见下表：表4 附件二、附件三各类地理参数表杆长/m12345纬度fi1-1.1339-2.8420-2.8702-2.5967-2.2977纬度fi

20、212.897511.44419.64608.14046.9597赤纬ed-11.7636-8.6021-6.7758-5.5437-4.6621日角theta-85.9087-86.1399-86.2772-86.3714-86.4395真太阳时t-87.1600-87.3939-87.5335-87.6295-87.6976接下来求可能的日期。由于同一地点真太阳时不变（与杆长无关），取不同杆长下真太阳时的均值作为该模型的真太阳时，即t=-87.4829,然后用Matlab编写程序1，可求得下图5：图5 年积日与年份改正日的关系图不妨取=79.9可得N=-7.6,于是月份为上一年的12月。又

21、根据和年份的函数关系，得下图6：图6 年份改正日与年份的关系图由以上数据得出年积日为357天，年份为如图所示（2000，2002，2004，2006，2008，2010，2012，2014年）假设年份向零取整。例如2000年12月22日。综上可得，附件二的测量地点的经度为72.2716E，纬度符合函数 （510）附件三的测量地点的经度为116.3534E，纬度符合函数 （511）5.4问题四的模型建立与求解问题四的第一问是根据杆长和时间求拍摄地点，根据从视频中提取的信息，可得出在杆长L为2m的条件下，各个时刻的影长（单位：米）见表如下：表5 附件二、附件三各类地理参数表时间/分0:002:02

22、4:046:068:0810:1012:12影长/米2.41732.38172.34012.30962.27402.23242.2205时间/分14:1416:1618:1820:2022:2224:2426:26影长/米2.19002.17222.15442.11282.08822.05852.0407时间/分28:2830:3032:3234:3436:3638:3840：40影长/米2.01101.99321.93301.92111.89141.86771.8617由表格中的数据，建立与第二问中相似的整体模型，可得到下图7：图7 影子长度拟合图并得到该地经度为118.8307°

23、E，然后利用问题三中推导出的简化的太阳高度角计算公式，可得到纬度为46.8795°N和3.0704°S。而问题四的第二问是仅根据杆长同时推导拍摄时间和地点，从理论上讲，一个方程两个未知数无法得到固定的解，但通过建立条件平差模型并利用最小二乘准则可以求出最优解。仿照问题三建立的模型，可设：然后建立条件平差方程：由此可得：由赤纬角反算出日角为-87.0635°，进一步可得真太阳时：又年限改正与年积日的函数关系为，图像如下：图8 年积日与年份改正日的关系图不妨取，则=-8，可得月份为上一年的12月份。继续利用年限改正与年积日的函数关系，得图8：图8 年份改正日与年份的关

24、系图由图可知，二者只有一个交点为2000年，于是可得拍摄日期为1999年12月23日。六、模型的误差分析对于问题一所建立的数学模型，其所有数据都是经过泰勒级数展开取前几项所得，因此在数据的精确度上存在误差，导致结果偏离真值。针对问题二、三所建立的模型，直杆的长度是假设出来的，不能求得理想的地点。另外，在进行经度计算时，我们假想地球每小时转过的经度相同，导致算出的精度存在误差，其中该误差与地球自转角速度有关。再者，该问题运用整体拟合求出太阳影子长度变化曲线，与真实曲线存在差距，只能得到近似解，即经纬度均存在误差。在问题三中，其所建立的平差模型的最优解为最小二乘解，并非真实解，存在一定误差，如若再有至少一组观测数据即可得出准确解。同时，在计算拍摄日期时，所假设的年份改正日个数太少，无法说明日期的准确性。对于问题四的模型，因为其所取数据是从视频截图中直接量取的，并没有进行正射影像图纠正，因此所得的太阳影子长度变化曲线并非真实曲线。而且据题可知，直杆高度为2米是估计出来的，也即初始数据存在误差。七、模