17几何概型的应用

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(21-17):几何概型的应用(611) 1531 几何概型的应用 母题(21-17):(必修(人教A版)P144例2)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲在离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离家之前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？解析:如图,设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y,(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为=(x,y)|6.5x7.5,7y8,这是一个正方形区域

2、,面积为S=11=1;事件A表示父亲在离开家之前能得到报纸,所构成的区域为A=(x,y)|yx,(x,y),即图中的阴影部分,面积为SA=1-=;这是一个几何概型,所以,P(A)=.点评:应用几何概型解答相并问题的关键是建立何种几何模型(一维模型、二维模型、三维模型)？对此,我们需要分析待求事件由几个独立的变量控制,由几个独立的变量,就建立几维模型,然后,由相应度量(长度、面积、体积)的比求解. 子题(1):(2012年辽宁高考试题)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm3的概率为( ) (A) (B) (C) (D)解析:

3、如图所示,令AC=x,则CB=12-x(0x12)矩形面积S=x(12-x);令x(12-x)32,则x(0,48,12)P=.故选(C). 注:本题中的待求事件A:“矩形面积小于32cm3”由线段AC的长x所控制,因此,建立一维模型;确定几维模型后,一要确定哪些量为独立的变量？二要确定各个变量的取值范围;三要确定满足条件的各个变量的取值范围. 子题(2):(2013年四川高考试题)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若都在接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后.它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是

4、( ) (A) (B) (C) (D)解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0x4,0y4;它们第一次闪亮的时候相差不超过1秒,则|x-y|2;画出|x-y|2的可行域如图P=1-=.故选(C). 注:本题是“会面问题”的一个简单变式,“会面问题”是几何概型的典型问题,“会面问题”的一般形式:二人在时间m内约定在某地会面,且先到者等后到者时间后即可离开,则两人会面的概率P(A)=. 子题(3):(2011年复旦大学保送生考试试题)在半径为1的圆周上随机选取3点,它们构成一个锐角三角形的概率是( ) (A) (B) (C) (D)解析:如图,ABC是锐角三角形A,B,C(0,)

5、,(0,).设=x,=y,=z,则x+y+z=2.令=(x,y,z)|x+y+z=2,0x,y,z2,A=(x,y,z)|x+y+z=2,0x,y,z.则是以D(2,0,0),E(0,2,0),F(0,0,2)为顶点的DEF区域,A是DEF的三条中位线构成的MNT区域,由SDEF=4SMNT概率P=.故选(C). 1532 母题(21-17):几何概型的应用(611) 注:请同学们思考:它们构成直角、钝角三角形的概率分别为多少？(0,). 子题系列:1.(2012年辽宁高考试题)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率

6、为( ) (A) (B) (C) (D)2.(2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)设m,n为实数,且直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点,则关于x的方程x2+2mx+n2=0有实根的概率为 .3.(2013年全国高中数学联赛四川初赛试题)从0,10上任取一个数x,从0,6上任取一个数y,则使得|x-5|+|y-3|4的概率是( ) (A) (B) (C) (D)4.(2013年全国高中数学联赛广东初赛试题)设E为正方形ABCD边AB的中点,分别在边AD、BC上任取两点P、Q,则PEQ为锐角的概率为 .5.(2009年全国高中数学联赛陕西、辽宁初赛试题)把长为a的线段分成三段,这

7、三条线段能构成三角形的概率为 .6.(2012年全国高中数学联赛河南初赛试题)将长为3的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为 .7.(2011年全国高中数学联赛广东初赛试题)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？8.(2014年重庆高考试题)某校早上8:00上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30-7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 (用数字作答).9.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)甲乙二人相约10天之内在某地会面,约定先到的人等候另一个人

8、,经过3天以后方可离开.若他们在限期内到达目的地是等可能的,则此二人会面的概率为 .10.(2013年全国高中数学联赛陕西初赛试题)在一个圆上随机取三点,则以这三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率等于 . 子题详解:1.解:设AC=x,则CB=12-x(0x20x(2,10)P=.故选(C). 2.解:=(m,n)|直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点=(m,n)|m2+n24,M=(m,n)|(m,n),且方程x2+2mx+n2=0有实根=(m,n)|(m,n),且|m|n|概率P=. 3.解:如图,|x-5|+|y-3|4的区域为以G(5,3)为中心的正方形BNEM及其内部,设BM与RQ的交点为A,易知A(4,6),类似的F(6,6)P=.故选(C). 4.解:设正方形边长为1,AP=x,BQ=y,则0x.y0;由-=-P=- 5.解:设分成的三条线段的长度分别为x,y,a-(x+y),则=(x,y)|0xa,0ya,0a-(x+y)a=(x,y)|0xa,0ya,x+ya,M=三条线段x,y,a-(x+y)能构成三角形=(x,y)|(x,y),且x,y,a-(x+y)中任意两数之和大于第三个数=(x y)|(x,y),且x,y,其中,是以O(0,0),A(a,0),B(0,a)为顶点的三角形OAB,M是三角形OAB