一类以演绎推理为载体的新题赏析

1、1与不等式结合例 1 在 R 上定义运算 ： x:y=x(1-y),若不等式则实数 a 的取值范围是()依据定义不等式(x-a)：(x+a)1 可化为x-a1- x a 12 2.x _x _a(a-1) 1 - 0由图象知：丄0即_4a_3013a -22【赏析】本题叙述简洁以不等式为背景，涉及恒成立不等式中参数的取值范围问题，隐含了求函数值域的方法(其中分离参数的方法最常用)及数形结合的思想方法。2.与数列结合例 2 设数列a的前n项和为Sn,若对于任意的n N*，都有Sn求数列an的首项a1与递推关系式：an41=f(an先阅读下面定理：“若数列有递推关系递推关系an 1=Aan+B,其

2、中 A、B 为常数,且A= 1,B = 0，则数列an-一 L 式以 A 为公比的等比数列。”请你在的基础上应用In1-A：本定理，求数列an的通项公式；求数列a的前n项和为sn。【考查目标】本题考查数列递推公式、等比数列的判断及通项公式。解析：当n=1时，=a2a3*1. & =3又S1=2an 1_3(n1)-an 1= Sn 1一9=2an 1一3(门1) _Qn一3门an 1 -2an依据定理知：BA = 2, B=3 ,B = -31 -A二an+3是以a+3 = 6为首项、以 2 为公比的等比数列。一类以演绎推理为载体的新题赏析曲中彩)(山东省龙口一中 C 区13C -a2

3、2【考查目标】 本题考查一元二次不等式的解集与参数的关系A .-1a1B .0a 2D.-3a12 2(x-a) ： (x+a)1 对任意实数 x 成立,2a“- 3n.。an3=6*2心n 1故an=6*2_-3/ 012nsa?an=6(2 2 2二)_3n= 6*a6*2nS6。1-22【赏析】本题以数列为背景、以演绎推理为载体，蕴含了演绎推理的定义理解及解题要领：紧扣定义中的条件。例 3有以下真命题：设anan2,，anm是公差为 d 的等差数列an中的任意m 项，若n1n2nm=p+ 二(0 乞 rm, p,r,mmN或 =0),贝 U 有n1nm=ap+rd。特别地，当 r=0 时

4、，称勺为mpamanzLnm的等差平均项，对于等差数列a，请根据上述命题解答下列问题。若an=2n+1(nN),求aaaa的等差平均项;设a1a3a7a15a31a63，a?55，若s =32，且a62 =1，求数列曲的通项公式。解析:13 10叭84刊a3a。a182*81=174a81 3 7 15 31 63 127 255=5028-6268a1a3a7a a31a63aa?5587628d二4a62二1aa62(n 62)d =1( n-62)*4 =4 n - 2473.与函数结合例 4.对于定义域为0,1的函数 f(x),如果同时满足以下三个条件：对于任意的若- 0,x2- 0,

5、Xj+x2- 1,都有f(X1 X2) -f(X1)+f(X2)成立，则称函数 f(x)为理想函数。若函数 f(x)为理想函数，求 f(0)的值。判断函数 g(x)=2X-1( 0,1)是否为理想函数，并予以证明。【考查目标】本题以函数为背景考查演绎推理的定义、依据定义解决有关问题的方法解析：取x1=x2=0可得 f(0) _f(o)+f(o). f(o)_0又由条件知 f(0)_0，.f(0)=0 xg(x)=2-1 在0,1上是增函数，.g(x) _g(0)=0 满足条件；又 g(1)=2-1=1 满足条件；若x 0,x2_ 0,x1+x1贝 U,X1故2虫X1X2X1祇2N X2g(X1

6、X2)-g(X1)+g(X2)=2x x-【2 21=2一2一2+1X1X2=(2-1)(2-1)-0，满足条件，故 g(x)=2-1C 0,1)是理想函数。【赏析】紧扣定义，证明 g(x)=2X-1c 0,1)满足三个条件。综合考查函数的性质 及化归转化思想。4与三角结合例 5若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数。给出下列三个函数：f(x)二si nx,f(x) = cos(x ),f(x) = si n2x,1243则互为同形函数的是-【考查目标】本题主要考查三角函数图象的变换。JJJ解析：( x) ( x)=442JEJ31JIf(x)=cos(x-)=

7、cos-(- x)=cos( - x)=sin(x )24444左移一个单位4Jf(x)二si nx的图象f(x)二cos(x )的图象124n:右移一个单位4X 0,1,总有 f(x) - 0; f(1)=1 ;nf(x)二sinx与f(x)二cos(x )互为同形函数1 2f1(x)、f2(x)的图象都需经过伸缩变换才能得到f3(x)的图象它们不是同形函数【赏析】以三角函数为背景，以演绎推理为载体，蕴含角的组合、象的伸缩或平移变换的考查。5与解析几何结合例 6已知两个点 M(-5,0) , N(5,0),若直线上存在点 p,使PM - PN =6,则称该直线为4“ B 型直线”。现给出下列

8、直线：y x，y=2xT，y=x1，且这三条3直线中有且仅有一条“ B 型直线”，则该“ B 型直线”的序号是-【考查目标】本题考查双曲线的定义及渐近线方程解析：由PM PN =6Y MN知：点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点的双曲线的右支4由题意知：B型直线应是该双曲线的切线或与渐近线平行的直线，易知y =4x是3渐近线，y =x 1是切线.y =x 1是“ B 型直线”【赏析】本题以直线方程为背景，以演绎推理为载体，考查双曲线的定义、直线方程的求法及直线与直线的位置关系，蕴含了化归转化的数学思想方法， 题目设计新颖、构思奇特，让人耳目一新。同步演练:S+ s + ，+ s1有穷数列a的前n

9、项和为Sn,定义Tn二 -XI二 为数列 玄匚的凯森和”。如n果有 99 项的数列 31, 32,，399的凯森和”为 1000，则有 100 项的数列 2 , 31, 32,，399的凯森和”为( )A. 991B. 992 C. 999D. 100122兀兀“2定义运算a * b =3 2abb，则sin * cos等于-12 123.设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在3,b】上的面积。已知函数y=sinnx在p/上的面积为 -(n =N*)，贝卩函数XI设函数 g(x)=-x，求证 g(x) M.诱导公式、图IL nn=sin 3x在、-x

10、+ y _4将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数:y=f(x)(x，D)，对任意 x,y,D均满足f (-丫)一丄lf(x) f(y)】，当且仅当 x=y 时等号成立。2 2若定义在(0，：)的函数 f(x) M,试比较 f(3)+f(5)与 2f(4)的大小。参考答案:1.分析：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题仔细求解，避免岀错.由题意可知 S1+S2+Sn=nai+ (n-1 ) a2+ (n-2 ) a3+2an-i+an,由此入手，能够求出数列列 2, ai, a2,，a99的凯森和”，即得答案.解答：*Si=ai, Sn=ai+a2+an二 S1+S2+Sn=ai+ (

11、ai+a2) + (ai+a2+a3) + (ai+a2+an)=na1+ (n-i) a2+ (n-2 ) a3+2an-i+an由于数列 ai，a?,，a99的凯森和为 1000二sS2- =1000二 S1+S2+S99=99ai+98a2+2a98+a99=9900099对于数列 2 , ai, a2,，a99由于 S1+S2+Si00=200+99ai+98a2+2a98+a99=200+99000=99200+ + +S1S2_S100_ 992100 -所以数列 2、ai、日2、日3、日99的凯森和” T=992二二2二二二2二7：132.依据定义知sin* cos=2sincos=1+sin =1 + = 1212 511 1212 i2i26222一3.y =si