民航案例讲义2015[1]

1、数学模型与民航案例案例汇编目 录案例1 飞机的最佳耗油量问题11案例2 飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A题）3案例3 为什么航空公司要超订机票211案例4 飞机排队模型(1989年美国大学生数学模型竞赛B题)324案例5 飞机地面除冰问题模型435案例6 波音公司飞机最佳定价策略541案例7 民航发动机状态监控参数EGT的时间序列模型44案例8 航空公司机型指派问题的多目标规划方法49案例9 基于参数估计方法的航空发动机性能可靠性预测53案例10 飞机排座问题56参考文献7375案例1 飞机的最佳耗油量问题1 一架飞机从A地经B、C、D、E飞往F，飞行员只可能在这些点上决定到下

2、一点时的飞行高度，任意连接两点间的距离均为200km，按不同高度飞行时耗油不同。在适当单位下，所需耗油如1-1表所列，表中第一列各行标出的是飞机在前一点的高度，第一行各列为到达下一点的高度，行列交叉处为相应的油耗，“”表示从0m到0m高度的飞行是不可能的。试根据表1-1的数据，决定一个飞行方案，使总油耗最低。表1-1 飞机耗油量表高度/m0100020003000400050000400048005520616067201000800160026004000472060802000320480800224031204640300001603205601600304040000080240480

3、160050000000160240 这是一个多阶段决策问题，而在A及F两点高度只能是零，将A、B、C、D、E五点上的决策视为五个阶段，每个阶段的输入变量是到达该点的高度，输出变量是到达下一点的高度。为了简便，每点的决策变量也用到达下一点的高度表示，相应的目标函数则是两点间的油耗。 下面用表格法来求解这个问题，从最后一阶段，即在E点的决策开始考虑。在E点，飞机可以有除0m外的任何高度，但到达F时，高度必须降到0m，考虑所有可能的情况，将它们列于表1-2。表1-2 从E到F最佳决策表 1000020000300004000050000800320000 表1-2中，第一行表示E点的所有可能输入及

4、对应的最佳决策（此处只有一种决策可能，即到F时降到0），第二行是相应的油耗。 现在考虑由D经E到F的所有可能。只要D点的输入取定，考虑所有可能的决策，再利用表1-2，不难得出相应这一输入的最佳决策及到达终点的最小油耗，例如，若D的高度是0m，即输入为0时，若决定到E时爬升到1000m，这段飞行油耗是4000，从表9.2可知，到达终点还要消耗800，故这一决策的消耗合计为4800。类似地，对于固定的输入高度0，可以对D的任何决策进行计算，在考虑了所有可能之后，知道D点的输入变量为0时，最佳策略是到E时升到1000m，最佳油耗量为4800 。对D点所有可能输入加以考虑，将结果列入表1.3，第一行表

5、示输入变量取值及与之相应的从D到E的最佳决策，第二行表示相应于这一决策到达终点的最佳油耗。表1-3 从D经E到F最佳决策表 0100010001000200020003000300040003000500030004800240011205602400 类似地，得到表1-41-6，它们依次是对从状态C、B、A开始的子系统的计算结果。由于在A处必须从地面起飞，所以表1-6的输入参数只有一个，即0 m。表1-4 从C经D、E到F最佳决策表 0200010002000200020003000300040004000500050005920372019201120720240表1-5 从B经C、D、E

6、到F最佳决策表10002000200020003000300040004000500050004520272016801200480表1-6 从A经B、C、D、E到F最佳决策表 030000500072007200从表1-6可知，对于所讨论的问题，最小油耗是7200，达到这一油耗的飞行路线有两条，它们可逆向由表1-6到1-2得到，其结果是：1，0m3000m 3000m3000m3000m0m；2，0m5000m5000m5000m5000m0m。案例2 飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A题）1 问题的提出 在约10000m的高空的正方形区域内，有若干架飞机做水平飞行。区域内每架

7、飞机的位置和速度向量均由计算机记录数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。 假定条件：（1） 不碰撞的标准是任意两架飞机的距离大于8 km。（2） 飞机飞行方向角调整幅度不应超过，而要尽可能小。（3） 所有飞机的飞行速度为800km/h，不受其他因素影响。（4） 进入该区域的飞机在到达边缘时，与该区域的飞机的距离在60km以上。（5） 不考虑飞机离开区域后的情况。（6） 建模时暂考虑六架飞机。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学

8、模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机的方向角调整的幅度尽量小。设该区域四个顶点的坐标为（0,0），（160,0），（160,160），（0，160），记录数据如表13.1（其中方向角指飞行方向与 x轴正向夹角）所列。飞机编号横坐标纵坐标方向角度/()1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052表 2-1 飞行位置及方向2 问题分析根据题目的条件，可将飞机飞行的空域视为二维平面xOy中的一个正方形，顶点在（0,0），（160，0），（160，160），（0，160）。各架飞机的飞行方向角

9、为飞行方向与x轴正向夹角（转角）。根据两飞机不碰撞的标准为二者距离大于8km，可将每架飞机视为一个以飞机为圆心、以4为半径的圆状物体（每架飞机在空域中的状态由圆心的位置向量和飞行速度向量确定）。这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运动中是否相交的问题。两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可。建模时补充假定条件：（1） 飞机在所定区域内作直线飞行，不偏离航向。（2） 飞机管理系统内不发生意外，如发动机失灵，或其他意外原因迫使飞机改变航向。（3） 飞机进入区域边缘时，立即进行计算，每架飞机按照计算后的指示立即作方向角调整。（4） 飞机管理系统发出的指令应被飞机立即执行，即认为转向时瞬间完成的（忽略飞机

10、转向的影响，即转弯半径和转弯时间的影响）（5） 每架飞机在整个过程中至多改变一次航向。（6） 新飞机进入区域时，已在区域内部的飞机的飞行方向已调整合适，不会碰撞。（7） 对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的。3 模型的建立 3.1.圆状模型由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究。两圆不相交，则表明不会发生碰撞事故；若两圆相交，则表明会发生碰撞事故。为了研究两飞机相碰撞问题，采用相对速度作为研究对象，因为飞机是否碰撞的关键是相对速度。图2-1给出了任意两架飞机之间的关系。其中符号含义如下： 第 第 架飞机的圆心； 第 第 架飞机的碰撞角； 第 架飞机相对第 架飞机的相对飞行速度； 第

11、第 架飞机的圆心距； 第 架飞机相对第 架飞机的相对飞行速度与两架飞机圆心连心的夹角（逆时针为正）；AB，CD两圆的公切线，/ /AB，/CD。另外再引进记号： 第 架飞机的飞行方向与x轴正向夹角（逆时针为正）；第 架飞机的位置向量；第 架飞机的速度向量。图2-1 飞机间关系示意图3.2 .由圆状模型导出的方程组首先讨论 的改变量与第 第 两架飞机飞行方向角改变量 的关系。由题目条件可知，对第 架飞机速度大小=A=800，可用复数表示速度 =A 。设第 ，飞机飞行方向改变前的速度分别是 =A ， = A，改变后的速度分别是 ， 则飞行方向改变前后的相对速度分别是两者之商的幅角就是。即交角之差为

12、于是有如下定理：定理 对第, 第两架飞机，其相对速度方向 的改变量等于两飞机飞行角改变量之和的1/2，即3.3决策目标题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，这个尽量小是针对飞机而言的，同时也要求满意程度（即对管理层而言，使每架飞机的幅度都尽量小）。因此构造目标函数时，可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言，其调整达到满意程度，则由假设（7）对其余飞机调整量均可满意。即要求每架飞机的调整量都小于某个数 （0），故可取决策目标为求其最小值min，其中=max|。另外，也可以六架飞机调整量的绝对值之和作为目标函数，其决策目标是 3.4.约束条件调整方向角时不能超过，即| | ，=1，2，3，6调整

13、飞行方向后飞机不能碰撞，应有3.5.数学模型总结以上可得如下优化模型：或式（2-1）和式（2-2）都是非线性规划，求解困难。下面将式（2-2）转化为线性规划。 3.6.化为线性规划模型由于可正可负，为使各变量均非负，引入新变量：式（2-2）化为4 模型求解4.1. 的计算可以用MATLAB计算，其程序为：x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j alpha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*a

14、sin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2; end endendalpha计算结果为alpha = 0 5.3912 32.2310 5.0918 20.9634 2.2345 5.3912 0 4.8040 6.6135 5.8079 3.8159 32.2310 4.8040 0 4.3647 22.8337 2.1255 5.0918 6.6135 4.3647 0 4.5377 2.9898 20.9634 5.8079 22.8337 4.5377 0 2.3098 2.2345 3.8159 2.1255 2.9898 2.3098 0的计算用MATLAB

15、程序编写为：a=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita计算结果为beita = 0 -180 0 -180 0 -180 180 0 0 -180 0 -180 0 0 0 -180 0 -180 180 180 180 0 180 -180 0 0 0

16、-180 0 -180 180 180 180 180 180 04.2. 最优解的计算用MATLAB求解式（2-1）编程如下。首先编写函数M文件：function f,g=plane(x)alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000, 4.8040024,6.813460,5,807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539, 5.091816,6.613460,4.363673,0.0

17、00000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000, 2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000;beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934 109.263642 0.000000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.4763

18、11 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606 174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.914383 14.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)=alpha(1,2)-abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2

19、);g(2)=alpha(1,3)-abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)=alpha(1,4)-abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)=alpha(1,5)-abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)=alpha(1,6)-abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)=alpha(2,3)-abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)=alpha(2,4)-abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)=alpha

20、(2,5)-abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)=alpha(2,6)-abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)=alpha(3,4)-abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)=alpha(3,5)-abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)=alpha(3,6)-abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)=alpha(4,5)-abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)=alpha(4,6)-a

21、bs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)=alpha(5,6)-abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);执行命令：x0=0,0,0,0,0,0;v1=-30*ones(1,6);v2=30*ones(1,6);opt=; x=constr('plane',x0,opt,v1,v2)计算结果： x=-0.00000576637983-0.000005766379832.58794980234726-0.000012434879850.000036204730951.04151019765274 最优解为：5 模型检验各飞行方

22、向按此方案调整后，系统各架飞机均满足，结果是正确的。 模型的评价与推广：（1） 此模型采用圆柱模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判别标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算。（2） 建模中用了适当的简化，将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题，既求到合理的解，又提高了运算速度，这对解决高速飞行的飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的。（3） 由对称性知模型中的约束个数是 （是飞机数），所有约束条件数是增大时，约束条件数是的二次函数，计算量增加不大。案例3 为什么航空公司要超订机票21 问题介绍我们有时会在一些刊物上看到旅客

23、们抱怨，他们本已订上了某天某次班机的机票，但当到达机场而在接待室接受检查时，却听到可怕的消息：“对不起先生，您的航班现已满员，我们将不得不让您乘坐下次班机了。”也许哪位的朋友遇到过这种事，而作者却有一次个人的亲生经历。在一个大家熟知的英国航班途中，他被迫将自己第一天的假期花费在了希腊gatwick机场跑道尽头的一个旅馆中。这种事情常会旅客诸多不便甚至怨恨，在计算机辅助订票的当今时代，应该可能设计一个系统以降低这种错误率。本文的目的在于介绍并让大家理解为什么为了盈利，航空公司定给旅客某次班机的票数要多于那次航班所能容纳的乘客数。进一步的某型将为我们揭示航空公司这种做法的强制效果。在任何强制服务及

24、航班数据均缺乏的情况下，我们不可能对某次飞行给出定论，但模型中各个参数变化的结果将会定性的给出航空公司决策的道理。2 符号说明显然，在建立数学模型前，有必要先定义变量，并解释所用符号。一个人在开始建立适当复杂的模型时，不可能在他一开始就用到所用变量。我觉得必要的是应编辑好记号便于自己用，而且这也有助于其他人读或用所得模型。到一页结束时，我总是将我所用符号记在另一页上，建议鼓励学生养成这种习惯。而你，作为指导教师，将会发现这对于理解他们所做的工作很有益处。：某次班机的飞行费用：飞行中飞机所载旅客数：每个旅客所偿付旅行费 ：飞行飞机的容量：对每一次飞行来说“未到”旅客的人数：人未到的概率：某次班机

25、订票的人数：飞行所产生的结余（利润）：留下（例如挤掉）一名已订票旅客的耗费：一个订票旅客到达的概率：一个旅客“未到”的概率（即）：一次班机售出的低费票数目：低费票相对于全费票的低费率3 模型建立建模时，我发现通过阶段性建模与查证对理解问题很自然，也很有益。而在每一阶段，模型特性均是与我对所构模真实系统的直觉相一致，以这种直觉，我们下面开始着手建立一个航空公司希望来源于不足订票的效益模型。3.1 首次尝试 与某次飞行有关的费用不依赖于飞行所带乘客人数。不管飞机是否满员，航空公司都必须付钱给飞行员、导航员、工程师及客舱工作人员。一架满员的飞机相对于一架半满的飞机所耗掉的燃料差作为总载油量的百分比是

26、非常小的。飞机起飞时，须带有供它到达目的地的燃料，这部分燃料占其起飞重量的百分比是很大的，而这一般只要求能使飞机到达终点时所剩油量恰如其分为好。起飞、降落或由机场索要的管理费也不与飞机所载乘客数有关。因此，一定精度下，我们可以忽略飞行的各种费用差别，而假定进行一次飞行的费用为定数，各个乘客付费的总额与飞行耗费之差为结余，或从某种意义上讲，就是利润。当然，包括其它费用（例如：飞机保养）。 另外，首先尽量地使模型简单些，而反过来又要包括已有基本公式化模型的更多特征，以此训练学生较好，当然，还应常提醒他们不要受细节渗杂的干扰而去完善那基本模型，一旦他们对模型有了基本的了解，他们就会回过头来去包括更多

27、的影响因素。我发现，决定了他们的策略后，学生建模时最常见的困难就是决定应包括的因素，大的与小的，怎样正好？ 若一次飞行载有个旅客，则产生的结余应为，这里，是每一个旅客所付的费用，十分明显，这个简单的模型有我们所期望它的那种特性，当所载旅客数增加时，利润相应增加，能够取得的最大利润是，这里，N是飞机的旅客容量。这里有一个奇点，在奇点处，正好由所载旅客所支付费用抵消了飞行费用，此时，比此更少的载客飞机将赔钱。所有这些都是所期望的。 观察这个简单模型有：为了取得尽量多的利润，航空公司应把目光盯在填满每次飞行上。一旦接受订票为，飞机视为满载，不能再接受更多的订票。但问题又出来了：某些旅客也许会在飞机起

28、飞时为到达现场，对于客机来讲，标准条件下，对于全费旅客的这种行为可以不受惩罚，他们可以迟到，并且其机票对另一次飞行来说仍有效，而对于某些其它客舱的旅客来讲，却没有这种优惠，下面我们将这点考虑在内。不能到达的每一旅客在某种程度上都有潜在的经济损失。这种旅客在生意上被称为“未到”。3.2 一个较好模型让我们以下列方式来改进上述提出的简单模型，假定人“未到”的概率为，而表示某次航班订票的旅客数，且允许超过，当有人未到时，航空公司将从飞行中得到的利润为： （3-1）对于此次飞行来讲，未定的旅客人数为一种偶然事件，因此，所获利润的适当表达式为概率期望利润，我们用表示，则有：= 载有-个旅客时的结余= （

29、3-2）未定的旅客数也许由于需要缺乏而很小，在这种情况下，航空公司不需要确定多少旅客订票或超订多少，而我们所要考虑的问题是超过供应情况下航空公司的表现行为。先假定为这种情况，且无论航空公司设置多高的订票水平，都可以完成预定。这相当于白天航行的情形。现在我们能将（3-2）改写为：由的定义，可得：因此，我们可以看到，因为带有和式的那部分全为正，要取得接近于期望利润的最大值，唯一方法是减少一切而使之尽可能接近于零。如果订票水平超过，将可实现这一情况，实际上，当订票旅客数增加时，“未到”任何大数的概率减小。这个模型告诉我们，要订票旅客数不肯定出现而事实上出现的情况下，航空公司实际上将会超订，以便于取得

30、接近于满载飞行时的理论极大期望利润值。在这个模型中未考虑因飞机客容量而多次超订带来的后果，实际上，这种策略会导致大量的旅客被所有的飞机抛下，且随着订票水平的增加而加剧。因此，我们得到，为什么航空公司为尽可能多获得利润，而故意超订，但超订并不现实，模型需要进一步的提炼。3.3 一个更进一步的提炼在航空公司超订飞行的情况下，会在机场有越来越多的旅客因飞机客容量而不能飞走，这些超员则须移往别处，或者在后续飞机上提供座位，此时，航空公司也许会靠付某种费用给旅客以消民愤；或者，旅客决定坐另一家航空公司的飞机，此时需退票，航空公司要付管理费而造成经济损失，还有，随着名声的败坏使航空公司的公开形象遭受损失。

31、我们假定，对于订票到达而不能上机的旅客（在商业上称之为“被挤掉者”），不管是以什么形式，航空公司要支付赔偿费。这样就需要建立对于超定带有一定惩罚性的更复杂模型，以便取得较高的平均收入总额。 若到达机场要检票上机的旅客数为，由这次飞机获取利润为： （3-3）那么，航空公司由一次飞行获取的平均或期望利润为一个和式，它是所有可能未到人数对应情况下的利润乘以相应概率的和。因此，我们有：而且是“未到”的数学期望值，用来表示之，则 （3-4） 现在，我们得到了一个相对复杂些的直接结果，要验证其正确性，检查结果的有效性，并寻找错误，我常以一两种特殊情况来检验其是否像我期望的那样，与此同时，也检查这阶段的计算

32、错误，教会学生不断挑自己工作的不足很重要。例如我们在（3-4）中令，（对于一切）来检查一下结果，这相当于旅客不能到达的偶然性为零，即所有订票上机的旅客都到达了。此时，（3-4）退化为：这表明，若飞机客容量为个旅客订了机票，且他们全到，利润将是从满员飞行利润中去掉被挤掉留下的那部分旅客。在这种情况下，当时，可得到最大平均利润，这与第一个简单模型一致。目前，我们对的形式没做任何假定。为从已提炼的模型获取更多的东西，对这些概率作出似乎合理的假定是有益的，也许，最简单的假定莫过于其任一旅客出现的概率为，为未到的概率为。进一步假定旅客的到达是相互独立的，这将会有二项分布的： （3-5）当然，这种“未到”

33、为相互独立的假定并不完全有效。事实上，部分旅客会成双或成群到达（或未到）。然而，让我们暂不考虑这种附带的困难，这样有，而（3-4）式变成： （3-6）现在所要做的是如何是平均飞行利润最大。（3-6）式中，平均利润的表达式依赖于支付与赔偿费不受航空公司短期控制的影响（这些费用是由IATA来规定的），为外部限制，而只有订票水平为航空公司的可控参数。要求出（3-6）式中部分和，最好由数值方法求解。不过很明显，最优订票水平应至少为飞机客容量。因为由（3a）式可知，时，期望利润退化为：（3-7）它是的一个增函数。由（3-5）式知，随着订票水平的变化而取不同的值，这些变化可手工计算。若有条件用计算机的话，

34、应鼓励学生编一个程序来计算任何组合下的期望利润。接着，在的某个固定情况下，用它来决定最优的订票水平，若用手（或用一个非程序化计算器）来计算，我将首先同他们探讨所有简化后的可能情况，例如，若充分大（对于 客机，对于波音747有，用泊松分布来代替这里的二项分布不会有太大差别。另一方面，（3-6）式部分和中的项数为，且为找到最优订票水平，部分和的项数必定随的增大而增多。从而工作量将会因一个小飞机（比如说80个座位的feederliner）而减小。小型飞机超定10%时只有8项，相反，450个座位的喷气式飞机10%超定时的部分和却要加45项。（3-6）式中部分和是的函数，可写一个计算机程序来计算给定值下

35、的部分和，由于期望利润是的函数，航空公司要求以近似于60%的一个奇异载重因子来计算，也就是假定0.6，则：（3-8） 对于客容量为300的一个飞机假定，编程并用计算机计算期望利润，结果见表3-1。显然，最大期望利润时的超订水平为确定的。且我们还可以计算个或更多个旅客被挤掉的概率为：或更多旅客被挤掉）=表3-1中包括了至少一个和至少5个旅客被挤掉的概率。 表3-1 300个座位的飞机，当时的期望利润和被挤掉的概率3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0

36、000.0003050.609720.0010.0003060614980.0020.0003070.620220.0050.0003080.625420.0150.0003090.630520.0270.0003100.635470.0510.0023110.640180.0270.0053120.644540.0510.0113130.648460.0880.0243140.651850.1420.0463150.654650.2110.0813160.656830.2940.1313170.658390.3870.1963180.659390.4850.2773190.659880.58

37、10.3673200.659960.6710.4643210.659700.7510.5613220.659190.8180.6523230.658490.8710.7343240.657660.9120.8033250.656750.9420.8603260.655780.9630.9033000.500000.0000.0003010.505000.0000.0003020.510000.0000.0003030.515000.0000.0003040.520000.0000.0003050.525000.0000.0003060.530000.0000.0003070.535000.00

38、00.0003080.540000.0000.0003090.545000.0000.0003100.550000.0000.0003110.560000.0000.0003120.565000.0000.0003130.570000.0000.0003140.575000.0000.0003150.579990.0000.0003160.584990.0010.0003170.589970.0010.0003180.594950.0020.0003190.599910.0040.0003200.604830.0070.0003210.609710.0120.0013220.614530.01

39、90.0023230.619250.0300.0033240.623850.0450.0063250.628280.0650.0103260.632510.0910.0163270.636500.1250.0253280.640190.1650.0393290.643570.2120.0573300.646590.2650.0803310.649220.3240.1113320.651470.3860.1483330.653330.4510.1923340.654800.5170.2423350.655900.5810.2983360.656650.6430.3593370.657100.70

40、10.4233380.657270.7530.4883390.657200.8000.5533400.656930.8400.6153410.656490.8750.6753420.655920.9030.7293430.9270.7783440.655230.9450.8213450.654470.9600.859在这两种情况下，可以看到，当分别超定20和39张票时，最大期望利润提高。挤掉5个或更多旅客的概率实际为46%和55%。每一挤掉旅客的赔偿率影响情况见表中的结果。其结果与直觉期望相一致。当与每一个挤掉者联系的罚值增加时，最大期望利润时的超定水平相应减小。挤掉任何给定数旅客的相应概率（

41、作为一例，这里给出了挤掉至少5个的概率值）减少。表3-2 300个座位的飞机，时，期望利润相对于飞行固定耗费最大时的订票水平最大时的订票水平.1321663.56.2320660.46.3319658.37.4318656.28.5317655.20(a)最大时的订票水平.1342661.73.2339657.55.3338654.49.4337652.42.5336650.36(b)最大时的订票水平.1364660.77.2361655.64.3359652.55.4357649.44.5356646.40(c)在此有一个好的练习供与学生一起讨论，那就是如何估计航空公司要达到的b值，它可能由

42、非常确定的直接费用和一些相对不明确的间接费用（像信誉与未来顾客减少所带来的损失）组成。由此将会引导出对敏感性的讨论，要取得问题的充分理解并估计模型预测中可能的错误，就要改变涉及的参量并观察输出相对于这些变化的敏感性。还有要考虑的另一个有趣事情也许就是改变选择超订水平的准则。一个航空公司订票的准则应该是确定的。可假定其有较低的一定挤掉任何旅客的概率。并启用广告以强调其相对于所有竞争对手有最低的挤掉率。那么，要求学生给出这种经济表现的测量模型以估价这种策略。并比较这种设置超定水平策略下的期望利润与前述超定策略下可获得的最大期望利润。这自然地引导向多种准则决定的整体范围和无共同计量单位准则间的二分概

43、率问题。表3-2中数字表明挤掉5个或更多个旅客的概率对b 作为g的百分比值的变化是极为敏感的，另一方面，期望利润对于这种变化来说是相对不敏感的，实践中，这往往使航空公司决策者错误地超估b值。要精确估计b值十分困难，对于超估来说，较低的平均利润下，惩罚很小，而在降低挤掉可观数目旅客的概率方面，益处却很大。3.4再进一步的提炼假若某次班机只是挤掉一两个旅客，可能可以保持平静，但一小组的不满意旅客会使航空公司当众出丑，而航空公司祝愿这种冒险越小越好，也许在公式化订票策略时，航空公司会采取一种策略，即取低于极大期望利润但又可以使大数目旅客被挤掉的概率减少到可接受的程度的最优值。一种变通的办法是努力想办

44、法去增加实际出现旅客订到机票的可能性，这可以通过有APEX ，ABC和其他特殊费方案来实现。用这种方案，旅客能以较低的票价得到仅对某次班机有效的机票，若旅客未到，机票失效，旅客会损失掉这部分钱。显然，一些旅客（主要是度假者）将接受这种限制以减少耗费，这部分旅客将不会轻率地错过班机。因此，我们可以假定他们“未到”的概率为零。则这部分旅客形成了一个固定的旅客基数，他们是可靠的上机者。假定个旅客以票价订了低价机票，那么，由个低费旅客和个全费旅客产生的利润为： （3-9）而人未到的概率现在为个全费旅客中未到人的概率，例如飞行期望利润为： （3-10）这个式子能编程计算而用来解释变化的影响，像前边一样，

45、如果我们对飞行耗费比全比率费用的关系作出一个近乎实际的假设，这里的计算困难也可以减小，假定奇点载重时以适当比例混合的全费与低费旅客占了座位的60%，从而，当低费旅客比例增加时，因偿付全费的旅客比例减少了，全费用基数应相应增加，相应奇异条件就是：即因此，由（3-10）式与此方程结合有等价于（3-7）的式子：（3-11）修改以前的程序即可用来计算这种情况下的。现在，模型已被提炼成为这里的一个有充分多变量及参量的式子，并且表达方式实用而清楚，就建模本身而言，教导学生做到这一点很有益，在工业及商业环境中的数学家所需要有的技能之一就是以清楚而且通俗的方式为非数学家提供并表述他们的发现。表3-3给出了用模

46、型（3-11）算出的一些典型结果。其中的及是针对阐述目的而选择的。要改变关于的影响是可能的，只要改变各种不同的订票水平以及即可。从表3-3我们可以看出，当增加时，极大化的订票水平降低，而挤掉旅客的概率也相应减小。这正是我们所期望的。表3-3 低价票的不同预订水平下，300个座位的飞机，时，期望利润及被挤掉概率的变化情况。3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0000.0003050.609720.0010.0003060614980.0020.000

47、 307 0.62022 0.005 0.000 308 0.62541 0.013 0.000 309 0.63050 0.027 0.000 310 0.63542 0.051 0.002 311 0.64008 0.008 0.005 312 0.64436 0.142 0.011 313 0.64817 0.211 0.0243140.651400.2940.0463150.654000.3870.0813160.655910.4850.1313170.657170.5810.1963180.657810.6710.2773190.657900.7510.3673200.657750.

48、8180.464(a) 3000.579710.0000.0003010.585220.0000.0003020.590720.0000.0003030.596230.0000.0003040.601730.0010.0003050.607210.0040.0003060612630.0110.0003070.617950.0250.0003080.623070.0530.0013090.627880.0960.0033100.632220.1590.0093110.635970.2410.0233120.639030.3380.0473130.641320.4430.0873140.6431

49、50.6510.2243160.643820.7410.3183170.643470.8150.421(b) 3000.575760.0000.0003010.581510.0000.0003020.587270.0000.0003030.593010.0020.0003040.598710.0080.0003050.604290.0220.0003060.609650.0520.0003070.614610.1040.0023080.618990.1790.0073090.622630.2780.0203100.625410.3930.0463110.627280.5130.0933120.

50、628290.6280.1643130.628540.7300.2583140.628170.8130.369(c) 3000.571430.0000.0003010.577460.0000.0003020.583460.0040.0003030.589360.0160.0003040.595000.0480.0003050.600160.1090.0003060.604560.2030.0033070.607980.3280.0143080.613020.4640.0473090.611590.6000.0973100.611930.7200.1843110.611520.8160.301(d) 本文建立了模型却没有给出任何确定的结论，这只因为对许多外部参量没有做进一步的研究而不能确定出其确定值，然而，本文着重说明了成功提炼而建立模型的过程，以及用模型来获取定量结果（如：趋势的与直觉的）并组织观察多变量函数参量变化的方法。4 进一步建模工作的建议本章所考虑的正是大量相似问题之一。同样，一个资料拥有者可以公开出借、雇佣或出售，但其必须考察可以实现或不可以实现的顾客预订问题。下面列