线性代数自学简明教程总杨荫华

1、- 28 - 第一章 行列式 线性代数 第一章 行列式 自学提纲 一、2.、3阶行列式1、何谓2、3阶行列式？它们从何而来？2、2、3阶行列式算法。二、n阶排列1、何谓n阶排列？2、何谓逆序？怎么统计一个n阶排列的逆序数N（，）？3、何谓奇排列？何谓偶排列？任意对换排列中的某两个数，排列的奇偶性改变吗？4、由自然数1，2，3，n能构成多少个n阶排列？5、当n2时，全部n阶排列中有多少个奇排列？多少个偶排列？三、n阶行列式定义1、何谓n阶行列式？它有多少项？每一项是哪些元素的乘积？怎么确定乘积前面的正、负号？2、注意：2、3阶行列式的对角线算法对于n4阶行列式已不适用。3、何谓上（下）三角形行列

2、式，它的值怎么计算？四、行列式性质1、行列式有哪些性质？试以数字的2阶行列式为例，说明各性质含义。2、怎么用行列式性质，把一个行列式化成上（下）三角形行列式，加以计算？五、行列式按一行（列）展开1、何谓行列式中元素的余子式？代数余子式？2、写出行列式按第i行展开公式；写出行列式按第j列展开公式。3、会按任一行（列）展开计算行列式。六、克莱姆法则1、克莱姆法则有哪些前提条件：有哪些结论？2、会用克莱姆法则解释符合法则条件的线性方程组。3、何谓齐次线性方程组？齐次线性方程组一定有解吗？4、方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组有非零解的条件是什么？内部资料数学是研究客观世界空间形式与数量关系的科学

3、。它来源于实践，其高度抽象性决定了广泛应用性。“代数”可以初等地解释为“用字母代表数”，它只有“加法”和“数量乘法”（简称“数乘”）两种运算。由于直线方程y=kx+b只含这两种运算，是一次方程。因此，加法和数乘统称为线性运算或一次运算。本课程也称为线性代数或一次代数。为便于学院理解大纲所要求的基本概念、理论，掌握算法，据杨萌华编线性代数（北京大学出版社2004年3月第1版）编写本教程。线性代数 自学简明教程 第一章 行列式 简明教程 一、2、3阶行列式用加减消元法解二元一次方程组，为便于记忆解公式，引入定义1.1.1 记号称为2阶行列式，它表示代数和，其中（i，j=1,2）称为位于第i行第j列

4、的元素。算法：主对角线上的两个元素，的乘积减去次对角线上两个元素，的乘积。例1.1.1 =14(3)2=10, =20, = 。从而有定理1.1.1 二元一次方程组 当乘数行列式 0 时，有惟一解： = , = 例1.1.2 解方程组 解：系数行列式 D=100，有惟一解： =2 ,= =-1。用加减消元法解三元一次方程组，为便于记忆解公式，引入定义1.1.2记号 称为3阶行列式，它表示代数和 +。算法：主对角线方向三个乘积之和减去次对角线方向三个乘积之和，如下图： +例1.1.3 =42(2)+5(1)3+(3)104(1)051(2)(3)23 =3=+ =6= =3从而有定理1.1.2

5、三元一次方程组 当系数行列式 D0时，有唯一解： =, =, =。例1.1.4 解方程组 解：系数行列式 30，方程组有惟一解：=2，=1，=3。例1.1.5 解方程（1）0 解：（3）（1）（1）（5） 28 （2）（4） 0所以方程有两个实根：2，4。（2）=（+1）（3）（2）(1）4（2） =（2）(23+4) =（2）所以方程有实根2，1（2重）练习1.1证明下列等式（*表示任意数）1、(1) =0 (2) =0 (3) =2、(1) =abc (2) =abc (3) =abc (称上三角行列式) （称下三角行列式） （称对角形行列式）3、(1) =;(2) =; (3) =4、解

6、方程 0 答：1（2重根），2。5、解方程组(1) 答：x=2, y=3.(2) 答：x=2, y=1，z=3.(3) 答：只有零解=0.（常数项全为零的方程组称为“齐次方程组”）二、n阶行列式定义先分析3阶行列式与2阶行列式关系：+ =()()+() =+ =+ =+定义1.2.1 去掉元素所在第i行和第j列，余下的行列式称为的余子式，记作；称为的代数余子式，记作。这样，3阶行列式又可以定义为第1行元素与其代数余子式乘积之和。由此，我们用递归法给出定义1.2.2 记号 称为n阶行列式，它的值等于 其中， （j1,2,n）n阶行列式也可简记为。例1.2.1 按定义计算4阶行列式 解：原式=+b

7、+c+d =10+b(1)(2)+c12+d(1)(2) =2(b+c+d).例1.2.2 计算4阶行列式 解：原式(1)(bcd)=+abcd.可见，2、3阶行列式对角线算法对于n4阶行列式已不适用！练习1.21、计算行列式 2、计算行列式(1) (2) (3) 3、计算行列式(1) (2) (3) 4、计算行列式（空白处为“0”，*表示任意数）(1) (2) (3) 三、行列式性质按列式定义计算n阶行列式是很繁的，如果行列式是上（下）三角形的，其值就等于主对角线上所有元素乘积。本节介绍n阶行列式性质，用这些性质可以将行列式化简成上（下）三角形后加以计算。将行列式 的行与列对换，得行列式 。

8、称后者为的转量行列式，记作。例如： =的转量行列式。读者可以动手计算一下，这两个行列式值都等于24，其实是一个普遍的事实。性质1 对于任意n阶行列式，总有。性质1表明行列式的行与列有相同的性质。性质2 用数k乘行列式的某一行（列），等于k。即k或者说，行列式的某一行（列），如果有公因子k，可以提到行列式前面。例如：2。用3乘以的第2行所有元素，得 63又例如，行列式 的第3列有公因子4，则可提到行列式前面。 4性质2告诉我们，在计算n阶行列式的过程中，如果发现某一行（列）有公因子k，可以马上将k提到行列式前面去，从而简化下一步计算。注意：推论1.4.1 如果行列式中有一行（列）元素全为“0”，

9、则行列式值等于零。性质3 行列式可按某一行（列）拆成两个行列式之和，即 例如， 62+4.注意：下面的拆法是错误的， 21（2）1例1.3.1 。性质4 对换行列式的两行(列)，行列式值反号，即例如， 6对换的第1行与第3行，得6。对换的第2列与第3列，得6推论1.4.2 行列式若有两行（列）相同，则行列式值为零。证：设行列式的第i行（列）与第j行（列）相同，对换第i行（列）与第j行（列），得。由得，20，所以0。 推论1.4.3 行列式若有两行（列）成比例，则行列式值为零。 证：k0性质5 将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式值不变。证：设，将的第i行的k倍加到第j行上去，

10、得=+0=.例1.3.2 计算行列式 。分析：目标是用行列式性质将行列式化成上三角形，然后求值。解：* 当c0时，表示第i行（列）提出公因子c；(i)(j)表示交换第i行（列）和第j行（列）；(j)+k(i)表示第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去；以上记号写在等号上面，表示对行变换，写在等号下面表示对列变换。 2=50.例1.3.3 计算行列式 解：行列式中有分数，为便于计算，先提出第2列公因子（即第2列乘以3，外面除以3），第4列提出公因子（即第4列乘以2，外面除以2），得原式=例1.3.4 计算行列式分析：每一行元素之和都是4+,可将第2、3、4列都加到第一列，然后提出新的第1列公因子

11、4，从而得到一个特殊的第1列。解： (4+)=(4+).思考：将例1.3.4改成n阶行列式，试计算之。例1.3.5 计算5阶行列式分析：若将行列式化成上三角形，首先要用将第5行第1个数“1”消成“0”.这要假设0；还要讨论0，很麻烦，由于、与右边相邻元素反号。所以本题化成下三角行列式为宜。解：原式5.思考：将例1.3.5改成n+1阶行列式，并加以计算。例1.3.6 证明下列5阶行列式值等于零。证：将的每一行提出公因子（1），得20 推出0n阶行列式中，如果，则称为反对称行列式。思考：证明：奇数阶反对称行列式值等于零。练习 1.31、计算行列式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (

12、7) (8) (9) 思考：将第(3)(4)(8)题改为n阶，将第(7)题改为2n阶，将第(6)(9)题改为n+1阶，如何计算？2、如果3阶行列式,求下列行列式值。 。3、设5阶行列式12。依下列次序运算：交换第1列与第4列，然后转置；用2乘以所有元素；把第5行的(3)倍加到第2行上去；再用乘以第3行每一个元素。求最后这个行列式的值。4、设行列式 m.那么 ；。5、求下列方程的次数及所有根。 06、利用行列式性质证明下列各等式。* 数学中证明等式有三种方法：从左推出右从右推出左左右同时计算，结果相同。(1) 2(2) (3) 2.四、行列式按一行（列）展开公式本节介绍行列式的另一种算法降阶法。

13、1.2 n阶行列式定义（定义1.2.1）给出了行列式按第1行展开公式，事实上，行列式可以按任何一行（列）展开，我们有定理1.4.1 （行列式按一行（列）展开公式）设则 (i)或 (i)例1.4.1 计算行列式 解法1 按第2行展开10(1) 2 320341650解法2 按第3列展开3(1)(2) 3 =50.解法1启发我们，选“0”元素较多的行（列）展开为宜，读者可对例1.4.1任选一行（列）展开计算之。例1.4.2 证明 。（*表示任意数）证：等号左边按第1行展开（因为第1行“0”较多）左边(两个3阶余子式均按第1行展开)。例1.4.2可做为公式用，例如 (-2)10=-20.一般地，设，

14、那么有公式 .。（空白处全为“0”，*表示任意数）思考：为什么有 .。例1.4.3 Vandermonde行列式 。例如 (21)(31)(41)(32)(42)(43)12.例1.4.4 计算行列式 解：原式=+(+)=+()=+()=.例1.4.5 计算行列式 解：按第1列展开，原式 思考：将例1.4.5改成n阶行列式,计算之。练习1.41、设 ,求元素、b、c、d的余子式和代数余子式，并按第2列展开，求值。2、综合运用行列式性质和展开定理计算下列行列式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 思考：将第(5)题改成n阶，将第(7)题改成n+1阶计算之。五、克莱姆（

15、Cramer）法则本节将定理1.1.1和定理1.1.2推广到n个方程n个未知量的线性方程组情形。定理1.5.1 （Cramer法则）含有n个方程n个未知量的线性方程组 (1)当其系数行列式 D=0时，有惟一解：（j1,2,，n），其中 这个定理有两个条件：方程个数等于未知量个数的线性方程组系数行列式不等于零。三个结论：方程组有解，只有一个解，解是（j1,2,，n）。例1.5.1 解线性方程组 解：系数行列式 160，方程组有惟一解。 32， 48， 16， 64，解是2， 3，1，4.读者可将解代入原方程组验算之。 如果线性方程组(1)的常数项全为零，即 (2)称为齐次线性方程组，齐次线性方程

16、组一定有解：0，0，0，称为零解。克莱姆法则对常数项,，的值没有限制，因此克莱姆法则也适用于齐次线性方程组（2），即有推论1.5.1 方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组（2），当其系数行列式不等于零时，只有零解。这个推论的逆否命题是：方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组，如果有非零解（即，值不全为零），则系数行列式等于零。第二章还将证明：如果系数行列式等于零，则齐次线性方程组（2）有非零解。例1.5.2 设齐次线性方程组问取何值时，齐次线性方程组只有零解？若齐次线性方程组有非零解，应取何值？试导出全部解。解：系数行列式 。当2时，系数行列式D0，齐次线性方程组只有零解，若2时，系数行列式

17、D0，齐次线性方程组有非零解。将2代入原方程组，用消元法解方程组由得，代入得0，从而0，而是自由未知量，所以全部解为0，0，c（c为任意数）。 练习1.51、解线性方程组(1) (2) 2、判定齐次线性方程组是否只有零解？3、证明下列齐次线性方程组只有零解。 4、下列齐次线性方程组有非零解，求值。 5、问取何值时，下列齐次线性方程组有非零解。- 41 - 第二章 线性方程组 第二章 线性方程组 自学提纲 一、消元法原理1、线性方程组的一般表达式。2、何谓线性方程组的一个解？3、何谓两个线性方程组同解？4、对线性方程组可以施哪三种同解变换？5、怎么看线性方程组有无穷多解？无解？二、用分离系数消元

18、法解线性方程组1、何谓矩阵？它与行列式在本质和形式上有什么区别？2、对于给定的线性方程组，能写出它的系数矩阵和增广矩阵。3、对矩阵可以施行哪三种初等行（列）变换？它与行列式的性质有什么区别？4、分离系数消元法就是对增广矩阵施行一系列初等行变换，将其化成阶梯形，要动手解题，熟练掌握这种方法。 思考：为什么对增广矩阵不能进行列的初等变换？5、何谓矩阵的秩数？为什么矩阵经初等行（列）变换，秩数不变？6、线性方程组有解的充分必要条件？在有解时，如何判断有惟一解或无穷多解？并能导出全部解。三、齐次线性方程组1、齐次线性方程组一般表达式？为什么说齐次线性方程组恒有解？2、齐次线性方程组有非零解的充分必要条

19、件？3、为什么方程个数少于未知量个数的齐次线性方程组一定有非零解？4、方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件？ 第二章 线性方程组 简明教程 线性方程组的一般形式为 (1)其中(j=1,2,n)称为未知量，(i=1,2,s)为第i个方程的系数，称为常数项。一、消元法原理本节用加减消元法解三个例题.例2.1.1 解:对换得 的(-7)倍加到上; 的(-4)倍加到上,得 的(-1)倍加到上,得 用乘以,得的2倍加到上,得 最后一个方程组有惟一解,简记为(,),称为一个解向量.为什么最后一个方程组的解就是原方程组的解?因为这两个方程组同解(即解集合相同),我们有定理2.1.1

20、对线性方程组施行以下三种变换,所得方程组与同解,1、对换两个方程(换法变换);2、用非零数c乘以某一个方程(倍法变换);3、把某一个方程的k倍加到另一个方程上去（消法变换）。例2.1.2解：的(2)倍加到上，的(-3)倍加到上，得的(-1)倍加到上，得矛盾方程无解，整个方程组无解，原方程组也无解。例2.1.3解：的2倍加到上；的(-5)倍加到上，得用乘以，得的(-1)倍加到上；的3倍加到上，得将最后一个方程组改写成可见方程组有无穷多解，,是自由未知量，令，全部解为 其中为任意实数。二、用分离系数消元法解线性方程组定义2.2.1 由个数(i=1,2,s; j=1,2,n)排成的矩阵表 称为s行n

21、列矩阵，称为矩阵的(i,j)元，通常用大写字母A,B,或表示，如果s=n，称A是n阶方阵或n阶矩阵。例如2.1 一般线性方程组(1),称 是方程组(1)的系数矩阵；称是方程组(1)的增广矩阵。定义2.2.2 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：1、对换矩阵的两行（列），称为换法变换；2、用非零数c乘矩阵的某一行（列），称为倍法变换；3、把矩阵某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为消法变换。增广矩阵可以看成线性方程组的简便记法。用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行一系列初等行变换。（列变换没意义）将例2.1.1、例2.1.2、例2.1.3用分离系数消元法解之：例2.1.1解： 惟一

22、解例2.1.2解： 无解。例2.1.3解： 有无穷多解，全部解其中为任意实数。为了总结出线性方程组有解判别定理，我们给出定义2.2.3 如果矩阵A中有一个r阶子式（矩阵A中r行r列交叉点元素构成的行列式）不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零，则称矩阵A的秩数等于r，记作秩(A)=r.换句话说，矩阵A中不等于零的子式最高阶数称为矩阵的秩数。例如，例2.1.1最后一个系数矩阵 有一个2阶子式，而没有3阶子式，所以秩(A)2；又如增广矩阵 中有一个2阶子式，而没有3阶子式，所以秩。例如，例2.1.2最后一个系数矩阵 A中有一个2阶子式，而所有（只有一个）3阶子式所以秩(A)2.最后一

23、个增广矩阵为0.有一个3阶子式，而没有3阶子式。所以秩3。例如，例2.1.3最后一个系数矩阵 中有一个2阶子式，而所有3阶子式（共个）全等于零： 0， 0， 0， 0所以秩(A)2.。最后一个增广矩阵 中有一个2阶子式，而所有3阶子式（共个）全等于零。所以秩2.定理2.2.1矩阵经初等变换，秩不变。分析证法：从求证入手，设矩阵A经过初等变换得到B。如果A中不等于零的子式最高阶数是r,欲证明B中不等于零的子式最高阶数也是r，那就要看矩阵的初等行（列）变换对矩阵的各阶子式的值有什么影响？回顾行列式的性质：变换矩阵的两行（列），含这两行（列）的子式反号；用非零数乘矩阵的某一行（列），含这行（列）的子

24、式值要乘以；将矩阵某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，含这两行（列）的子式值不变。因此，矩阵A中有r阶子式不等于零，矩阵B中也有r阶子式不等于零。A中所有r+1阶子式全为零，那么B中所有r+1阶子式也全为零。定理2.2.2 线性方程组(1)的系数矩阵为A，增广矩阵为，则1、当秩(A)秩()时，方程组(1)无解；2、 当秩(A)秩() r时，方程组(1)有解； 若rn，则方程组(1)有惟一解； 若r<n，则方程组(1)有无穷多解，解中有nr个自由未知量。用定理2.2.2观察例2.1.1 系数矩阵秩数等于2，增广矩阵秩数也等于2，所以方程组有解。又因为系数矩阵秩数等于未知量个数，所以方程

25、组有惟一解。例2.1.2 系数矩阵秩数2不等于增广矩阵秩数3，所以方程组无解。例2.1.3 系数矩阵秩数增广矩阵秩数2，所以方程组有解，由于秩数2小于未知量个数4，所以有无穷多解，有422个自由未知量。练习2.2用分离系数消元法解下列线性方程组：1、答：惟一解0，2，。2.、答：惟一解1。3、答：无解。4、答：无穷多解。有3个自由未知量。五、齐次线性方程组常数项全为零的线性方程组 称为齐次线性方程组，齐次线性方程组恒有解。因为至少有0，0，0是一个解，称为零解。如果齐次线性方程组还有其它解：，,即,不全为零，称为非零解。因为齐次线性方程组的增广矩阵最后一列全为零，所以系数矩阵秩数恒等于增广矩阵

26、秩数。即齐次线性方程组恒有解。因此只需讨论齐次线性方程组在什么条件下有惟一解（只有零解）；在什么条件下有无穷多解（非零解）。而这个问题在上节定理2.2.2已经回答。定理2.3.1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵秩数小于未知量个数。定理2.3.2 如果齐次线性方程组方程个数s小于未知量个数n,则必有非零解。证明：因为系数矩阵秩数rs，n中较小者。已知s<n，所以r<n。据定理2.3.1必有非零解。定理2.3.3 方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0证：定理的必要性就是推论1.6.1的逆否命题，以下证明充分性：已知系数行列式

27、等于零，所以系数矩阵秩数小于未知量个数n。据定理2.3.1必有非零解。例2.3.1 解齐次线性方程组 解： 系数矩阵秩r2，未知量个数n=3，r<n所以齐次线性方程组有非零解，有nr321个自由未知量。全部解为其中c为任意实数。例2.3.2解齐次线性方程组解：该齐次线性方程组方程个数等于未知量个数，可考察系数行列式 。所以方程组只有零解。例2.3.3 解齐次线性方程组 解：因为该齐次线性方程组方程个数小于未知量个数。所以必有非零解。系数矩阵秩r3，未知量个数n4，有nr431个自由未知量。全部解 c是任意实数。例2.3.4 讨论取何值时，齐次线性方程组有非零解，并求出全部解。因为这个齐次

28、线性方程组方程个数等于未知量个数，所以系数行列式等于零时，有非零解。解：=0=4或=1时，齐次线性方程组有非零解。当=4时，原齐次线性方程组增广矩阵 全部解为 （c为任意实数） 当=1时，原齐次线性方程组增广矩阵全部解为 （为任意实数）练习2.31、解下列齐次线性方程组：(1) (2) 答：只有零解。 答：有非零解，有2个自由未知量。2、设齐次线性方程组 问k取何值时，方程组只有零解？又k取何值时，方程组有非零解？并求出全部解。 答：k3时，又有零解；k3时有非零解： （c为任意数）。- 72 - 第三章 n维向量空间 第三章 n维向量空间 自学提纲 一、n维向量及其线性运算1、n维向量、零向

29、量、负向量，两个n维向量相等定义。2、向量的加法、数量乘法法则；线性运算的8条运算律。3、理解实n维向量空间是2维平面空间、3维主体几何空间的推广。为直观理解§3.2、§3.3、§3.4有关概念定理打好基础。4、能熟练进行n维向量的线性运算，特别是能用分离系数消元法解下列两种向量方程：其中都是n维列向量。二、线性组合（线性表出）1、何谓向量组的一个线性组合？怎么判断向量能否由向量组线性表出？“表示法惟一”的含义？2、何谓向量组与向量组等价？证明如下4个向量组等价：三、线性相关与线性无关1、何谓向量组线性相关？线性无关？举例说明。2、判别法：向量组线性相关（线性无关

30、）有非零解（只有零解）。3、线性相关（线性无关）4、线性相关（线性无关）存在数k使（对任意数）。5、向量组s的一个部分组线性相关线性相关。逆否命题：向量组s线性无关中任意部分组线性无关。6、n维基本向量组线性无关。7、8.s个维向量，当s>n时，一定线性相关。特别地，n+1个n维向量线性相关。逆否命题：向量组线性无关，则它所含向量个数不超过维数。9、向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。逆否命题：向量组线性无关其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。10、逆否命题：线性无关线性无关11、怎么证明一个向量组线性相关，线性无关？练习题：已知向量组线性无关，求证：(1) 线性无

31、关；(2) 线性相关。12、若向量组线性无关，向量组线性相关，则向量可由向量组线性表出，且表示法惟一。四、极大线性无关组与秩数1、何谓向量组的一个极大无关组？举例说明。2、怎么求一个向量组的极大无关组？3、何谓向量组的秩数？4、若两个向量组等价，则它们的秩数相等，逆命题不成立。五、齐次线性方程组解结构1、齐次线性方程组解的性质。2、何谓齐次线性方程组的一个基础解系？3、齐次线性方程组在什么条件下有基础解系？4、怎么求一个齐次线性方程组的基础解系？并用它表出全部解？六、一般线性方程组解结构1、何谓线性方程组的导出组？线性方程组的解与其导出组的解有什么关系？2、会求线性方程组的一个特解，并用特解与

32、导出组的基础解系表出全部解。 第三章 n维向量空间 简明教程 一、n维向量及其线性运算定义3.1.1 n元有序实数组称为n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，用希腊字母表示向量，称为第i个分量。分量全为零的向量称为零向量，记作，(0，0，,0)或(0，0，,0)T。如果，称的负向量，记作。定义3.1.2 如量向量与对应分量都相等，即 则称这两个向量相等，记作. 定义3.1.3 n维向量与的和等于向量记作,这种运算称为向量的加法。利用负向量可以定义向量的减法：定义3.1.4数k与向量的乘积等于向量记作,这种运算称为数与向量的乘法，简称数量乘法(数乘运算)。向量的加法和数量乘法统称为向量的线性

33、运算。向量的线性运算满足以下8条运算律： 其中都是n维向量，k,l都是实数。定义3.1.5 实n维向量全体，定义了加法和数乘运算称为实n维向量空间，记作kn。平面解析几何就是在k2空间(XOY平面，直角坐标系)中讨论平面几何问题；空间解析几何就是在K3空间(O-XYZ 空间直角生标系）讨论空间几何问题，本教程在kn中讨论线性方程组等理论。练习3.11、在平面直角坐标系中表示出下列向量：2、已知向量 求向量3、已知解向量方程4、设求 答案：1、 2=(2,4)yo=(1,2)=(4,1)x=(-3,1)=(3,-1)2、3、(1) 4、二、线性组合(线性表出)定义3.2.1 设是一组向量，k1

34、,k2,ks是一组数，称向量是向量的一个线性组合，如果向量等于向量组的一个线性组合，即称向量可由向量组 线性表出。例3.2.1由于向量与向量组有关系式 就说向量是向量组的一个线性组合；或说向量可由向量组线性表出。定义3.2.1同时给出了判别法：要问，向量是否可由向量组线性表出，只需看方程是否有解。例3.2.2已知向量及向量组试判断向量能否由向量组，线性表出？若能，试写出表达式。解：设即亦即因为系数行列式根据克莱姆法则，线性方程组有惟一解： 所以可由向量组线性表出：且表示法惟一。例3.2.3 已知向量和向量组判断能否由向量组线性表出？解：设 即 亦即用分离系数消元法解线性方程组，方程组无解，所以

35、不能由 线性表出。定义3.2.2设有两个向量组如果向量组(1)中每一个向量都可由向量组(2)线性表出，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表出。如果组(1)与组(2)可互相线性表出，则称组(1)与组(2)等价，证作例3.2.4已知向量组因为所以可由线性表出，自己动手解方程 得 所以也可由线性表出，故向量组的等价关系具有(1) 反身性：(2) 对称性：若(3 )传递性：若练习3.21、证明：中每一个向量都可由线性表出。2、证明：零向量0可以由任意向量组线性表出。3、已知向量和向量组判断能否由线性表出？若能，表示法是否惟一？4、证明：向量组与向量组 等价5、给向量组证明答案：1、2、3、因为方程有

36、解，且有无穷多解，所以可由 线性表出且表示法不惟一。4、 5、证又因为故(1)(2)。因为又因为故(1)(3)三、线性相关与线性无关例 这里有两个向量组向量方程和都有零解X1=0，X2=0。不同的是(1)还有非零解X1=2，X2=1，而(2)没有非零解，或者说只有零解X1=0，X2=0。定义3.3.1若向量方程有非零解，则称向量组 线性相关，若只有零解，则称线性无关。这个定义同时给出了判断一个向量组线性相关，还是线性无关的方法。例3.3.1一个向量线性相关(线性无关) 证： 已知 线性相关，则方程x=0有非零解，即有数 必要性的逆否命题是：若则线性无关。已知，则对任意数，有，即有非零解所以线性

37、相关。充分性的逆否命题是：若线性无关，则。例3.3.1告诉我们 一个向量是否线性相关？只要看是否为零向量即可。例3.3.2两个向量 线性相关(线性无关) (对任意数K，)证： 已知线性相关，则有非零解：不妨设即有等式于是 取得证必要性的逆否命题是：如果对任意数k，都有，则线性无关。已知.这表明方程有非零解所以线性相关。充分性的逆否命题是：如果线性无关，则对任意数k，都有。例3.3.2告诉我们，两个向量是否线性相关，只要看它们的对应分量是否成比例。例3.3.3已知向量组线性相关，添入任一向量，证明向量组也线性相关。分析：从求证入手，只需证明方程有非零解。证：已知向量组线性相关，则方程 有非零解不

38、全为零)，从而有下列恒等式成立，这表明方程有非零解，因而向量组线性相关。例3.3.3告诉我们：一个线性相关的向量组，任意添入若干个向量，所得向量组也线性相关。或者说：一个向量组中若有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。例3.3.3的逆否命题是：整个向量组线性无关，则其中任一个部分组也线性无关。思考：一个向量组中若有一个零向量(或其中有两个向量成比例)，这个向量组线性相关，还是线性无关？为什么？例3.3.4证明：向量组行列式证：设 (3)即 亦即证：向量组 线性相关(线性无关) 向量方程(3)有非零解(只有零解)齐次线性方程组(4)有非零解(只有零解) 系数行列式 定理3.3.1 n个n维

39、向量线性相关(线性无关)的必要充分条件是其分量组成的行列式等于零(不等于零)例3.3.5 n维基本向量组 线性无关。例3.3.6 已知向量组线性无关，证明向量组 也线性无关。分析：从求证入手，只需证明方程只有零解证：设 已知线性无关，所以这是方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组，系数行列式 所以(6)只有零解，从而(5)只有零解，故线性无关。例3.3.7 证明向量组 分析：从求证入手，只需证明方程有非零解。证：设 (7)即 亦即 因为(8)是方程个数少于未知量个数的齐次线性方程组，必有非零解。因为(7)也有非零解，故线性相关。用例3.3.7的证法可得一般结论：定理3.3.2 s个n维向量，当

40、s>n时，必线性相关。用口头语言说：向量组所含向量个数s大于向量维数n时，这个向量组组必线性相关。推论3.3.1 n+1个n维向量必线性相关。定理3.3.2的逆否命题是：向量组线性无关，则它所含向量个数不超过向量维数。例3.3.8 证明：向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表出证： 已知 线性相关，所以 有非零解不妨设则由等式得等式 故 可由线性表出. 已知中至少有一个向量可由其余向量线性表出，不妨设即 这表明方程有非零解故线性相关。用例3.3.8的证法可以证明一个向量组线性相关与线性组合关系定理：定理3.3.3 向量组线性相关的必要充分条件是其中至少有一个向量可由其余向量线

41、性表出。因为一个向量组不线性相关，就线性无关，因此定理3.3.3还可以叙述为定理3.3.3向量组线性无关的必要充分条件是其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。例3.3.9 已知向量组可由向量组线性表出，证明向量组线性相关分析：已知 (9)欲证 (10)有非零解证：设为方程(10)，将已知(9)代入(10)，得 (11)由于齐次线性方程组方程个数少于未知量个数，必有非零解，因而(11)，(10)必有非零解，故线性相关。用例3.2.9的证法可以证明定理3.3.4 如果向量组可由向量组，线性表出，且s>T， 则 线性相关。定理3.3.4的逆否命题是：向量组可由向量组线性表出，且线性无关，则s

42、t。推论3.3.2 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等。例3.3.10 已知向量组线性无关，向量组线性相关，证明可由线性表出，且表示法惟一。证：已知线性相关则有不全为零的数 使成立，以下证明。用反证法：假设l=0则上式变成不全为零，此与已知线性无关矛盾。既然，则有这就证明了可由 线性表出。以下证表示法惟一。设 (12) (13)(12)-(13)：已知线性无关，所以故表法惟一。用例3.3.10的证法可以证明线性无关，线性相关，线性组合有关系。定理3.3.5已知向量组 线性无关，向量组线性相关，则可由线性表出，见表示法惟一。练习3.31、判断下列向量组线性相关？线性无关？叛别法：方程是否

43、有非零解，答：(1)线性无关 (2)线性相关。2、判断下列4个4维向量线性相关：线性无关，判别法：计算其分量组成的行列式，看是否等于零？ 答：(1)线性无关， (2)线性相关。3、向量组线性相关？线性无关？为什么？4、设两个向量组(1) 如果 线性相关，证明也线性相关；(2) 如果 线性无关，证明也线性无关。证法：讨论所对应齐次线性方程组解的5、已知向量组线性无关，求证：(1) 线性无关；(2) 线性相关。仿例3.3.6证。6、已知向量组线性无关，且向量不能由线性表出。求证 线性无关。这是定理3.3.5的逆否命，用反证法证：假设线性相关，推导出可由 线性表出，从而与已知矛盾。四、极大线性无关组

44、与秩数例3.4.1 设试找出向量组中线性无关部分组。解：一个非零向量是线性无关的，所以都是线性无关部分组。如果两个向量对应分量不成比例，则这两个向量性无关。所以都是线性无关部分组。三个3维向量，如果它们的分量组成的行列式不等于零，则线性无关。所以，都是线性无关部分组。因为四个3维向量必线性相关，所以多于3个向量的部分组必线性相关。以上所有线性无关部分组中，含有向量个数最多的是3个向量的部分组，我们就称这些含有三个向量的线性无关部分组都是的极大线性无关部分组，简称极大无关组，一般地，有定义3.4.1 如果是向量组(集合)s中的一个线性无关部分组，而s中任意r+1个向量都线性相关，则称是向量组s的

45、一个极大线性无关部分组，简称极大无关组。例3.4.1中线性无关， 中任意4个向量都线性相关。所以 就是s的一个极大无关组。定理3.4.1 向量组s的极大无关组与s等价(即可互相线性表出)证：设是s的一个极大无关组，任取一个向量由于是r+1个向量，所以线性相关，由定理3.3.5知可由线性表出。这就证明了s可由线性表出；反之 中每一个向量都可由线性表出。而所以中每一个向量都可由s线性表出。故定理3.4.2 向量组s的任意两个极大无关组所含向量个数相等。证：据定理3.4.1，向量组s的任意两个极大无关组都与s等价。由等价的对称性和传递性知，这两个极大无关组等价，它们又都线性无关，据推论3.3.2，这两个极大无关组所含向量个数相等。定义3.4.2向量组s的极大无关组所含向量个数称为向量组s的秩数，简称秩。记作秩(s)。例3.4.1 秩推论3.4.1向量组线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量个数。推论3.4.2两个等价的向量组，秩数相等。注意：推论3.4.2的逆命题不成立。例如秩并不等价，即不能互相线性表出。最后，介绍极大无关组求法扩充法。如果向量组s中全是零向量，即s中没有线性无关部分组，也就没有极大无关组。这时规定秩(s)=