完整约束保守系的拉格朗日方程

1、四、完整约束保守系的拉格朗日方程： 上次课我们导出了在完整约束下的第二类拉格朗日方程： ,并用它解了一些题目。考虑到如果我们要研究的系统所在的内外力场均是保守力场，或者其它作用于系统的力均不作虚功。在这种情况下，上面这条完整约束下的第二类拉格朗日方程还可以进一步简化。这次课准备要讲的内容就是，先由这条拉格朗日方程推出完整约束下保守系的拉格朗日方程，并举例应用，然后再讨论完整约束保守系的拉氏方程的一次积分。我们由前面学过的知识可以知道，如果系统处在保守力场中，保守力系必有与其对应的势能V，此势能是系统中各个质点的位置函数，即：V=V()，且有它的三个分量表达式为：。如果将用广义坐标表示： 则势能

2、也就是广义坐标及时间t的函数：V=V(q，t)，由此我们很容易求得在保守力场中广义力的表达式。由广义力的定义得： 根据复合函数的微分规则可知其结果为将此结果代入第二类拉格朗日方程就可将它写成为： 左边的式子又可写成为：在这里就定义：，L称作为拉格朗日函数，简称为拉氏函数，它就等于系统的动能与势能之差。那么上式就可写成为：这个方程就是完整约束保守系的拉格朗日方程。有时也叫它为拉格朗日方程或拉氏方程。由前面的推导可知这个方程适用的条件是：完整约束，保守力系或者除了保守力系之外的其它力均不作虚功，T和V即L都是相对惯性系的量。下面我们就举个例子用它来求解。应用保守系拉氏方程解题的步骤基本上和用第二类

3、拉氏方程解题的步骤相同，只是将上次课中的求广义力这一步改成为求势能V及拉氏函数L就可。在这里要注意，势能必须包含系统内力的势能和外力的势能。还有由于保守系的拉氏方程中包含有L对的偏导数，所以拉氏函数L也一定要表达成广义坐标和广义速度的函数：。例1：有两个质点，质量分别为和中间连一弹簧，其弹性系数为k，在光滑水平面上作直线运动。求两质点的相对运动规律。解：题目要我们求的是两质点的相对运动规律，那么，如果我们取m1、和这根相连的弹簧为研究系统的话，整个系统在运动过程中所受的外力只有垂直水平面方向上的力，而这些垂直方向上的力对系统是不作功的，系统的内力是弹性力，我们知道弹性力是保守力，因此内力是有势

4、的，所以该系统是可以应用保守系的拉格朗日方程的。根据这样一分析，那么在这个问题中我们就取m，m和弹簧组成的整个系统为研究对象。那么对于我们所取的这个系统应该有几个自由度？由于整个系统被约束在光滑水平面上作直线运动，所以系统中每一个质点只有一个自由度，而弹簧是不能看作一个约束的，因此可知系统共有两个自由度。有两个自由度，就得取两个广义坐标，这里的两个广义坐标应该怎么取呢？如图所示，先取任一固定点o为坐标原点，并沿系统运动直线向右的方向为x轴的正方向。在此坐标系中两个质点的位置坐标分别为和。由于在这个问题中讨论的是两质点组成的质点组的相对运动规律，所以我们在这里不取和为广义坐标，而取质心坐标xc和

5、两质点的相对距离x分别为两个广义坐标，q=x，q=x。从图上分明看出：x=-研究系统的质心位置坐标：x=。广义坐标确定了，那么我们就可以着手求出系统的动能、势能及拉格朗日函数。系统的动能：T=m+m，还需将它化成广义坐标xc,x和广义速度c, 的函数，为此我们将对上面两式求导。将上面两个式子对时间t求一次导数可得： 由这两个方程可以解得： 将这两个式子代入动能表达式中去：这就得到了用广义速度表示的动能表达式，刚才已经分析过，系统的内力即弹性力是有势的，其势能就是弹性势能V，故有系统的总势能：，c为常数，为弹簧的自然长度。系统的拉氏函数：。于是我们对应广义坐标就可列出一条保守系的拉氏方程为：，将

6、得到的拉氏函数代进去则有：， 质心加速度等于零。同样道理对广义坐标的拉氏方程为：， 拉氏函数代进去求偏导得再令 则。这正是一个简谐振动所满足的微分方程，很容易得到它的解为： 即：，其中的A和是两个积分常数由初始条件决定，而就等于：。由最后所得到的结果可见两质点的相对运动是以角频率为的简谐振动。到现在为止我们可以看出用拉格朗日方程求运动规律是很方便的，而且应用拉格朗日方程解题的步骤总是相同的。最后我再强调一下，应用拉氏方程解题必须注意的几点：1.所选的广义坐标的数目必须与自由度相等。2.系统的动能T必须按惯性系计算。3.计算广义力或势能时，每一质点所受的力 必须计算一切内外力，但光滑约束的约束力

7、及钢体的内力可不计算，换句话说，一切不做功的力都可以不用计算，4. 动能、广义力及势能均要换成的函数才能代入到拉氏方程中。要注意求偏导与全导数的区别，不要搞错了。§5完整保守系的拉氏方程的一次积分 接下去讲完整约束保守系的拉氏方程的第一次积分。由前面的讨论知道完整约束保守系的拉格朗日方程为： （）它是S个二阶常微分方程组，在某些特殊情况下可以得到它的第一次积分，通过一次积分可以使此运动微分方程降阶。常见的拉氏方程的第一次积分有两种，一种是循环积分，另一种是能量积分。下面我们先介绍循环积分。一、 循环积分： 在怎样的特殊情况下才有循环积分呢？只有在拉氏函数中存在循环坐标时，才存在循环积

8、分，所以在讨论循环积分之前得先介绍循环坐标的概念。 1、循环坐标：如果在拉氏函数中不显含广义速度对应的某个广义坐标，比如是，那么这个坐标就被称为循环坐标或者称可遗坐标。例如有一个质点的拉氏函数为 L=m(+) mgy ，在此拉氏函数中不存在与对应的广义坐标，这个坐标就是一个循环坐标。对于循环坐标来说，则有=0，此时拉氏函数就变成为：=0 于是得到拉氏方程的一次积分： = (常量) 此积分就称它为2、循环积分 ：由此可见对于任一循环坐标就有一对应的循环积分。在分析力学中定义系统的动能T对广义速度的偏导数为广义动量，通常用符号表示广义动量，即 = 。 一般来讲势能V与广义速度无关，所以拉氏函数L=

9、T-V对的偏导数也就是广义动量。因此，上式也可写成为：（q,t）= 。这正好说明广义动量是守恒的，所以循环积分又称为广义动量积分。如果在拉氏函数L中出现m个循环坐标时，就可相应地得到m个一次积分。例如：在质点的抛射运动中，(不考虑空气阻力)用直角坐标表示的拉氏函数为： L=m(+) mgz ，显而易见，在此拉氏函数中出现几个循环坐标？有两个循环坐标。L中不含x 和y所以x、y是循环坐标，在此对应的两个循环积分为：=m=const, =m=const, ，此结果表明抛射体在水平面内两个方向上的动量是守恒的。又例如：质点在有心力场中运动时，在极坐标下的拉氏函数是： L=m( + )+，显然在拉氏函

10、数中不含有，极角是循环坐标。与此对应的一个循环积分 = =m= 常数，这就是我们早已熟悉的有心力场中的动量矩守恒式。下面我们来讨论在什么条件下可由拉氏方程推出能量积分。二、 能量积分：也就是T+V=常数 1、积分的推导：能量积分的推导条件有三个：完整约束，保守力场， L=L（q,） 拉氏函数不显含t 。由两个条件可以用 =0 这条拉氏方程。然而由第三个条件可得拉氏函数对时间t的 全导数： = 。如果拉氏函数显含时间t的话，这里还要多一项。现在根据第三个条件由于L不是t的显含函数，所以就没有这一项了。由于在两个条件下可用拉方程： -=0 由这个拉氏方程可得： = 将此代到前面的式子中去则有： =

11、 = （）= （） 将它移到等式的左边，则有：(L)=0 ，显然对它进行一次积分可得： L =常量，在分析力学中就定义左边的量为哈密顿函数，并用符号H表示，即 H L 可见由上面三个条件利用拉氏方程推得的一次积分是 H=E ，而上式的H显然是q和的函数：H=H(q,) ，那么这个H包含什么物理意义？这当然是我们所要关心的问题。由前面的推导知道 H=E是在所给的三个条件下得到的。对于在什么情况下才能有两个条件这是清楚的，至于在什么条件下才有 L=L(q, ) 这个条件，现在我们还不知道的。因此，我们得先来讨论在什么条件下拉氏函数 L=L(q,) 不显含t。 2、什么条件下 L=L(q, )由第一

12、节对约束概念的讨论知道：对一般的完整不稳定约束： (,t)= 0 来说，质点的位矢不仅是广义坐标而且还是时间的函数，即 =(q, t ) 这是不稳定的情况。 由于在不稳定约束的情况下 =(q, t ) 在这种不稳定情况下位矢对时间的一阶导数： =+ 则系统的总动能 T= = （+ ）2 = +（）2。由此可见按广义速度 来分，不稳定约束的情况下系统的动能T是广义速度 的非齐次的二次函数。我们可以将它简写成为：T=T2+T1+T0 其中T2是广义速度的二次函数，T1是广义速度 的一次函数，T0则是广义速度的零次函数。这是在非稳定情况下得到的结果。如果系统是处在稳定约束的情况下，结果又会怎么样呢？

13、如果是稳定约束在稳定情况下，系统中质点的位矢只是广义坐标的函数：=（q）。不显含时间t，此时，系统的动能：T= T2它仅仅是广义速度的二次齐次函数，而且所选的广义坐标与固定坐标是没有相对运动的，显然在此情况下系统的动能是广义坐标q和广义速度的函数，而不显合时间t即T=T(q,)。因为L=T-V，而V一般是位置的函数，所以在稳定的情况下=(q) 势能V也只是广义坐标的函数：，也不是显含时间t，故有：不显含时间t，通过前面的讨论说明了在稳定约束条件下拉氏函数不显含时间t，有 L=L(q, )这样的形式，下面补充一些关于齐次函数的概念和欧拉齐次函数定理，即：3欧拉齐次函数定理：(1) 齐次函数的定义

14、：设：是这m个变量的n次齐次函数，那么前面分别都剩上一个任意的量则有 满足这个条件的函数就称作为n次函数。这就是齐次函数的定义。(2) 欧拉定理：如果y=f()是n次齐次函数，那么对n次齐次函数y=f()则有关系式为：,这就是欧拉齐次函数定理。有了这个数学定理，下面应用它就可以推出能量积分，从而也就可明确哈密顿函数的物理意义。而拉氏函数L=T-V中的势能V是不含广义速度的。哈密顿函数可以写成。然而我们由前面的讨论知道在L=L(q, )不显含时间t的条件下，系统的动能T=，此情况下的哈密顿函数：由欧拉齐次函数定理可得 这就说明了在完整约束保守场中在稳定约束下，不显含t，L=L(q, ) 拉氏函数

15、不显含时间t的条件下，系统的哈密顿函数是系统的总机械能，且总机械能H=T+V=E等于常量，即系统的总机械能守恒，此式也是我们所想到的能量积分。5广义能量积分：由前面对不稳定情况下系统动能的讨论可知 ：虽然显含时间 t时，但动能不是时间的显含数：T=T(q,) 尽管系统的动能不是时间t的显函数，但是由于，所以动能则是广义速度的二次非齐次函数，即系统的动能。如果假定势能V也不是t的显函数：，拉氏函数也不显含时间 t，即：L=L(q, )，故有哈密顿函数H=C,又根据哈密顿函数的定义有： 其结果中的不是系统的动能，虽然此时的哈密顿函数 常数=hE，但哈密顿函数H并非机械能，所以就物理意义来说上式不是一个能量积分，但是它与能量积分比较相似，于是就称它为广义能量积分。综合上面的讨论可知系统的哈蜜顿函数H等于系统的总机械能T+V即：H=T+V是有条件的，也就是说由拉氏方程给出能量积分是有条件的，其条件是(1)完整稳定约束 (2)保守力场 (3)L=L(q,)。在不稳定约束下为什么机械能不守恒是很好理解的。因为不稳定约束下，约束力要做功，所以系统的机械能就不守恒了。但另外要注意：虽然H=T+V是有条件的，但是拉氏函数的定义式：L=T-V和哈密顿函数的定义式：都是在任何情况下都成立的。这次课我们主要