第六章梁的位移及简单超静定梁

1、第六章梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移2.弯曲变形以挠曲线（中性层）的曲率表示梁弯曲变 形程度，曲率与弯矩间的关系为1 M x二八Elz(6 1)OCA ,A x 丿y-w(x) xC1#B1挠曲线 1图6-1I、梁的变形1.挠曲线平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的AGEr(x) F式中，M x为弯矩，Elz为梁的弯曲刚度，（6-1）式右端的负号，是因为在图（6-1）所示坐标系中，y向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。（6-1）是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，

2、弯矩为常量，曲率为常量，挠 曲线为一段圆弧线。横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x的函数，曲率与弯矩成正比。U、梁的位移1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移， 称为挠度，用w表示。表示挠度随横截 面位置x变化规律的方程为挠度（或挠曲线）方程W = W X在图6-1所示坐标系中，w向下为正，向上为负。2. 转角横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用二表示。在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角 二也为x轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。（图6-1），在图6-1所坐标系中，二以顺时 针转向为正，反之为负。在小变形的情况

3、下，转角''等于挠曲线在该点处的斜率，即taz = dx=w x川、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。梁的变形（曲率）仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。二、挠曲线的近似微分方程及其积分I、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为w x2在小变形时，1+w，(x) “，于是w x'X将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为或Elw x - -M(6 2)M xElU、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得Elw x -

4、- M x 丨亠 G再积分一次得Elw x/ M (x )dx dx +Gx +C2式中，G和C2为积分常数，由梁的位移边界条件确定。当梁上的弯矩需要分段列出时, 挠曲线的近似微分方程也应分段建立，分别积分两次后，每一段有两个积分常数，确定积 分常数除了应用位移边界条件外，还需应用位移连续条件。为了简化计算，在运算中需要 采取一些技巧(见教材例7-2)。三、用叠加法计算梁的位移I、叠加原理在线弹性范围内，小变形情况下，梁在若干个荷载共同作用下任一横截面的位移，等于梁在各个荷载单独作用下的位移之和。U、要求 利用梁在简单荷载作用下的位移值(见教材表7-1)，确定梁在若干个荷载共同作用下的位移值。

5、叠加法计算梁的位移是本章的重点和难点，要求熟记表7-1的结果，并通过作练习题，掌握利用叠加法计算梁位移的技巧。四、梁的刚度条件提高梁刚度的措施I、刚度条件梁的刚度条件为梁的最大挠度与跨长的比值不得超过规定的许可值，梁指定截面的转角不得超过规定的许可值，即罟 乞， max(6 3)U、提高梁刚度的措施1增大梁的弯曲刚度EI。选择适当的截面形状，增加截面对中性轴的惯性矩。2.减小梁的跨度或增加支承五、弯曲应变能等直梁平面弯曲时，在弹性变形过程中梁内所积蓄的能量，称为弯曲应变能，纯弯曲 和横力弯曲时的应变能分别为M 2LEl訂也dx1 Elz(6 4)本章只需掌握弯曲应变能的概念，其应用将放在能量方

6、法一章中六、超静定梁I、超静定的概念梁的约束反力数目超过了平衡方程式的数目，这种梁称为 超静定梁。多于维持平衡所 必要的约束，称为多余约束，相应的约束反力为多余未知力，多余约束数目或多余未知力 数目为超静定次数。U、超静定梁的解法解除多余约束使梁成为静定梁，此梁称为原超静定梁的基本系统（或称为静定基）。基本系统在荷载及多余未知力作用下，满足多余约束所提供的位移条件。这样的静定梁称为 原超静梁的相当系统，求出多余未知力后，利用相当系统来完成对原超静定梁的一切计算。例6-1用积分法计算图示各梁的位移时，各需分几段列挠曲线的近似微分方程？各有 几个积分常数？并写出其确定积分常数的位移边界和连续条件。

7、解：图a 分AC、CB两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界 条件为x = 0，Wa = 0x = l ，Wb 二 0位移连续条件为X =1： 2 时，Wq = Wc2，七-七图b分AB、BC两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为x = 0， wA = 0x = l ， wB =0X = I 时，WB1 二 WB2，二耳=也2图c只需列AB段挠曲线的近似微分方程，共有两个积分常数。位移边界条件为x = 0，Wa = 0qlaW 2EA分AB、BC两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为X = 0 时，WA = 0，二 A = 0位移连续

8、条件为x = L 2 时，= Wb2， 丁耳-Jb2图e分AB、BC和CD三段列挠曲线的近似微分方程，共有六个积分常数。位移边 界条件为位移连续条件为X = 0 时，WA = 0，71A = 0x = 21 ， wC = 0X = I ， WB1 = Wb2X = 21 时，wc2 = wc3，d c2 = 71C3中间铰B处，挠曲线连续但不光滑，即中间铰两侧面的挠度相同，但转角不等 飞=也。jA 2F|b 一刁Cl一十一 Di釦一、一cl.a _严 aLFaDa 1* 1例6-2 试绘出图 示各梁挠曲线的大致形 状。解：绘制挠曲线大 致形状的步骤为：x首先绘制弯矩图， 弯矩为正的区段，挠曲

9、线为下凸曲线；弯矩为 负的区段挠曲为上凸曲 线,弯矩等于零的区段， 挠曲线为直线段。弯矩 等于零的点处，且其左 右两侧的弯矩异号，或 弯矩有突变的点处，且 其左右两侧的弯矩异MyMeMeMe 亠A厂 f C1jfE X 1LuBo舫C一l/3-iH34 y【A X-1- a HI1XMFa2Me/37X-JMMe/3例6 - 2图MX号，挠曲线上有拐点。弯矩值大的地方挠曲线的曲率就大些，弯矩值小的地方挠曲的曲率 小些。再根据固定端处的挠度和转角均等于零；铰支座处挠度等于零，转角不等于零；中间 铰两侧面处挠度连续，转角不连续，挠曲线上出现折角。以及位移连续条件可绘出挠曲的 大致形状。各梁的弯矩图

10、及其挠曲线的大致形状分别如各图中所示。例6-3 简支梁的荷载如图所示，弯曲刚度为 EI。试用积分法求+、二b和WmaxB解：方法1梁的挠曲线如图a所示，由对称性知， “，-C =0，wc = Wmax。梁的支反力可取AC部分进行分析。1 x qo “ 23M x 二 FAx-?q x x命 3l2x-4x3Elw x - -M xq 4x3 -3|2x12IElw x = qo12l x4/c1EIw x $x51 12 312l 15-I2x3C,x C22x = 1 2 w = 0，得5q°lC1 = 192转角方程和挠曲线方程分别为43,212EIl x _2192EI 192

11、EIlS 5l4 -24l2x216x45q°l352X32、3爲“爲 25|4x40|2x3 16x54，wml 2 二谕 25q°l3q°l- V 00，-B192EI方法2 取图c为研究对象。分AC、CB两段列挠曲线的近似微分方程，积分后共有 4个积分常数，确定积分常数的位移连续条件为-A192EIx = L 2， W| = w? ， w<i = w2 ;位移边界条件为 x=0， w<i=0 ； x=l ， w2=0。 读者可自行完成其具体计算。例6-4梁的弯曲刚度为EI，已知其挠曲线方程为w xq° 3x4 -10l2x2 7l436

12、0EIl试求：1.梁的最大弯矩及最大剪力；解：1.求 M x、Fs x 和 q x2.梁的荷载及支承情况。由 M x = -Elw x，得(1)qoFsx 二幕罟 I*2dx 6IFsqo73dFs(x)xqx =0xMi27 例6-4图-3q02.求 M max。M max可能发生在X=0、X =1处，以及dM xdxFs x =0处。由(2)式，FsX0唱J。丸由(1)式，得x=0,M 0i=0故Mmax发生在x撐1处3.求 Fs,max oFs,max可能发生x = 0、x = I处，以及q X =0处dx由(3)式可见q x =0时x=0，该处Fs有极值。x =0，x=l，Fs x0-

13、qol6qol3故Fs max发生在X = l的边界处4.梁的荷载及支座情况。由qx二-fq。，知荷载为沿梁的长度线性分布，其方向向下。x = 0 ,q0=0 ;x = l， q l = o由 x=0, Fs x 二刮，M 0 =0; x=l，Fs l 刑，M l =063故x=0 和x=l均为铰支座。梁的荷载及支座情况如图 a所示，Fs图和M图分别如图(b)和图(c)所示。例6-5等截面悬臂梁下面有y二-Ax3的曲面。欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力)，试求梁上的荷载，梁的弯曲刚度为 EI o解：在图示坐标系中，w x = y = -Ax3，挠曲线的近似微分方程为EIw x x，梁的弯矩

14、方程为M x 二 Elw x =6AEIx剪力方程为F = 6AEII - Xp例6-5图Me 二 6AEI1,、dM x)Fs x6AEI(2)dx当在梁的自由端加向上的集中 F =6AEI，满足剪力方程 ，要满足弯矩方程 ，梁上还应加集中力偶Me作用，使M (x) = F lX亠 Me=6AEI I - x i亠 M e - -6AEIx得M e = -6 A E I I即在梁的自由端加一顺时针转的力偶 M e二6AEII。故梁的荷载有，在自由端有向上的集中力F =6AEI和顺时转的力偶Me=6AEII，如图b所示。例6-6图a所示悬臂梁，其弯曲刚度为 EIo试用叠加法分别求B、C截面的转

15、角和挠度。解：1.用图b所示的分解图式求B、C截面的位移q-T'T貝AI11 11 uxa a 1rlCy(a) qa k -*qaB截面的位移是由AB的变形产生的，与BC段的 变形无关，将BC段的荷载向B截面简化如图b所示, 该梁AB段的受力情况和原梁相同，故有qaEIEI2EI(qa )a3 WB _ 3EIfqa2 |a2+ 2EI7qa412EI(')BwT(b) B日C2Lb 二二F fa _1HJcWC2C截面的位移是由AB段B截面的位移和BC段的 变形共同产生的，由AB段B截面的位移引起的C截 面的位移为3qaEI(J)WWB咖二曲112EI4EI12EI由于BC

16、段的变形产生的C截面的位移为C23qa6E； WC24qa8Er,-1qBCqqA3qa . qa_EI 6EIJRCe1B2.44qa 41qaWc =12EI19qa38EI24EI(')用图c所示分解图式求C截面的位移qB(c)图c中梁的受力情况和原梁相同，故有3q 2a6EI3 qa 6ET7qa3=_6eTwC4q 2aqa48EI _8EI2 qa6EI41qa424EI(J)讨论：当不能直接利用教材中表7-1的结果计 算梁的位移时，首先对梁的位移进行分段分析， 利用相当力系代替原力系，保持受力情况（包括约 束反力）与原梁相同，把原梁分解成可利用表 7-1 进行计算的几种形

17、式，再利用叠加法。AaWcaa例6-7求图a所示外伸梁C截面的挠度和D 截面的转角和挠度，梁的弯曲刚度为EI0(b)例6-7图FD解：wC是由梁AB段的变形产生的，九和Wd是由梁的AB段和BD段的变形共同产生 的。分解图式如图b、c所示。在图b中，AB段的受力和约束和原梁 AB段完全一致，故2 3-(F2Fa33EI由BD段的变形产生的D截面的位移为a) _ Fa316EI4EI由AB段的变形产生的D截面的位移为D1Fa 2a 2Fa23EI - 3EI(')Wd12Fa3EID2Fa2EI72EI7Fa6EIWd2i： - i ；Wd2Fa33EI2Fa3EIFaFa3EIEI(J)

18、讨论：本例是教材中的例题，又在这里重复，是因为该例是计算外伸梁位移的典型例 子0例6-8图a所示简支梁的弯曲刚度为EI0试求C截面的挠度和转角及B截面的转角1”T B4 F，2 C F 2卜 L4.A-护U2-Wc1Id.(b)29页26页T_(a)BC F 2卜1久 A B (d)F/2B2” B解：图a梁的荷载可视为图b和图c两种荷载的叠加。图b结构和荷载均是关于C截面为对称的，其挠度是关于 C截面为对称的，转角是 关于C截面反对称的，C截面的转角 七=0。将简支梁的CB（或AC）部分简化悬臂梁CB （图 d）,由图可见由叠加法，得12丿12丿11F13EI3EI2EI768EIF2F22

19、3Fl2EI2EI64EI图c结构关于C截面为对称，荷载关于C截面为反对称的, 反对称，C截面的挠度wc2 =0，转角比不等于零，弯矩MC =0,其挠曲线关于C截面为C截面可简化为铰支座。梁的CB（AC）部分可简化简支梁（图e）。16EIFl2128EI将以上结果进行叠加，得311FI268 EIFl2屯"C1 七=128EI(J)3Fl2 _ Fl2_ 7Fl264EI 128EI128EI讨论：1.有时利用对称性求梁的位移，是很方便的，要掌握其中的规律，对称梁受对 称荷载时，其挠度是对称的，转角是反对称的，对称轴所在截面上的转角等于零；对称梁 受反对称荷载时，其挠度是反对称的，对

20、称轴所在截面上的挠度等于零，转角是对称的。 在分析时还要结合梁的内力的对称性（见第三章）。2.由教材例7-2的分析可知，该梁的跨中截面挠度值可代替其最大挠度值，即例6-9图a所示结构中，AB、BC杆的弯曲刚度为El, AB、BD杆的拉（压）刚度为EA。 试用叠加法求C截面的铅垂位移。(a) am?DB.Tbd 日 b日A1 J Ji(b) A,日 A = BD /i眄 HIIIHIHl川 CY |工CB-Cy1i2"2例6-10图解：求：cy的分解图式分别如图b、AA7/wm(C)c、d、e所示。1FN; BD = § qlqi-B l3 .2EA(d)一 C.1Cy3qB

21、?川川则HHC(e) ICy 4Cy2M |2 ql 2q3EIl,4ql-l6EICy :c y 二 1Cy4q 1 1 ql22EA 6EI EA 8EI 2EA 24EI例6-10试用叠加法求图a所示梁C截面挠度。梁的弯曲刚度为EI。77i C i ：為、 -l 2 l4 l4.(a)1/2 C(bq/2騙q厂i 11(c)I川1川屮川川川【出-14 第 iir B"mwCWC1 h2 一WC)2咋屮冲JB页共|26页也2解：图a所示梁的荷载可视为图b和图c两种荷载的叠加，图b所示梁的荷载可视为 图d和图e两种荷载的叠加，图c所示梁的荷载可视为图f和图h两种荷载的叠加，其中 图

22、f简支梁的CB（或AC）段，简化为图g所示悬梁。5ql4768EI3EI.2 l48EI号 Jl 23ql46EI4 12288EI例6-11位于xz平面内的刚架 直径为d的圆截面杆。其弹性模量为ABC，在C截面受沿y方向的集中E,切变模量为 G,且G-0.4E 。F作用，各杆均为 试用叠加法求C截面的铅垂位移 cy。o xy例6 _ 11图(C)|WCy3解：由AB杆B截面挠度wb和扭转：b产生的C截面的铅垂位移（图b）为Fl3WB _ 3EIf| 3 5Fl 3 =1Fl l-'：Cy2 二 B2 L =GIp 2 4Glp 16EI由BC杆的弯曲变形产生的C截面的铅垂位移（图c）

23、为"：Cy3 二3EI24EI将以上结果叠加，得y 3EI 16EI 24EI 48EI 匸一例6-12试用叠加法求图a所示组合梁D截面的挠度wd、转角和。梁的弯曲刚度为EI。Wba於上厂a(a)Bi(c)FDWdi-D1bFFB C l(b)FaDWD2D2例6-1图(d)DC F* D解：该组合梁的基本部分 AB悬臂梁，附属部分为BCD。在进行受力分析时先分析附 属部分，再分析基本部分，如图b所示。在进行位移分析时，先分析基本部分（图c）,再分 析附属部分图do图c 中,WbWd1Fa33EIv3EID13EI图d 中,Wd.Q a皿.3EI3EIWD3Fa33EIFa22EI卩

24、）3(SaIFa3 丄 Fa 3丄 Fa 3 FaWd 二二3EI 3EI 3EI EI f a3E I例6-13求图a所示超静梁的支反力，梁的弯曲刚度为EI(b)Wc1l 2l'2 2lL尸二 m ar Bk, q. n 二，WdJ13页共26FJb卜14-C F 2|解：图a所示超静定梁，可分别取图b、c、d为其相当系统。T汗2 5wj13F23EI2EI21一 X 296EIMb3Fc(2l )Fcl348EI 6EI%,FWc,Fc =0 ,WB,F2l 16EIFl一上一 16EI(FbI )lWb，fHT 1Wb,fWb,Fb =0Fl216EIMbI3E，亠左一 -c右=

25、0FbI33EI3EIMbI（和图d所示MB的转向相反）F32不论取何种相当系统，只要求出 多余”未知力后，不难利用平衡求出其它支反力, 为Fa =1|f ， Fb 二软 ，Fc 专 F323216结果3Fn 21FnI48EI EA例6-14图a所示结构中，简支 梁AB和悬臂梁CD的弯曲刚度均为 EI，DE杆的拉压刚度为 EA，且 Al2 =10001。试求D点的铅垂位移- D。解：取相当系统如图b所示，变 形协调条件为WD =WE *Ide，即3F -Fn I3EI解得D点的铅垂位移为2Al23 Al2 2IF = 0.6 6Z53F卡l3EIFl3= 0.112 EI(')例6-

26、15水平直角折拐ABC,在其C端的上方有一直杆DE，C端和D端之间有一微 小距离厶，如图a所示。试求安装后DE杆的轴力。已知，AB杆为直径为d的圆杆，弹性 模量为E,切变模量为G,且G =0.4E。 BC杆为刚性杆。DE杆的横截面面积为A,材料 和AB杆相同。l(a)解：安装后的受力图如图E)F nD1D另c'EOy(b)例6-15图b所示，变形的相容条件为 屯 剧 八Cy3EI GI p EA3EIGIp EA 丿EA16l3E-：d44|215a2*例6-16图a所示结构中，AB为圆截面杆，CD为刚性杆，AB杆和CD杆在B处刚 性固结。CD杆由杆和杆悬吊。杆上端距固定面有微小距离厶

27、。试求安装后和杆中的轴力。已知，AB杆的弯曲刚度为EI，扭转刚度为GIp，和杆的拉压刚度为EAo解：受力图如图b所示，冈性杆CD上的Fn1、Fn2分别为和杆的轴力，Fb和Mb为AB杆对CD的约束反力及反力偶矩。该题为二次超静定。平衡方程为F - fn1 ' fn2(1)Mb= Fn2 - aOlxCCB“DD B(A IF N 1(a)DFb(b)ABMbBCDWb DFb二丨2BCcC'?例6-16图安装后的变形图如图c所示，因为CD杆为刚性杆，先设由于AB杆B端的挠度Wb，使CD杆向上平移Wb到CD 位置，又由于AB杆B端的扭转角%，使CD杆绕B 点逆时 转动到c D 位置

28、。变形的协调方程为:前=Wb 打1 Ba - ' - 讣 2 - Wb将(3)式代入上式式中,FbI3Wb :3EI=l1Fn1FlEAEAMbIGIP将(1)、(2)、(5)式代入式，得2Fn2 - Fn1 a lFn1 ' Fn2 l3-FN1lGI P 将(1)、(5)式代入式，得32 Fn Fg IFnFn2I+= A3EIEA EA联解和式，得3EIEAFnif 2、.3|a lll+ (GI p3EIEAJ3EI EAGI丄P EA例6-17图a所示梁中，AB、CD段的弯曲刚度为El，BC段为刚性杆。试求B截面Jrn a图7-6例的挠度Wb解：根据对称性，画出挠曲线

29、如图a中虚线所示，E截面处挠度和弯矩均等于零，转角 不等于零，故E截面可简化铰支座，AE简化成如图b所示的梁，变形协调条件为B截面的挠度和转角分别为3EIFe 2a2EIE截面的挠度为Me 11工2-一 Fa l(2a )2EI1 Me -FeQ 2a2EI28FmaM e - Fga a3EIEI2Fe&2 M-FEaaEIEIWe 二 Wb弘 a 0(1)把、式代入式，即38FEa3EIMe-FEa a22FEa2M e - Fe&EI EIEI解得9业31 a将式代回式，得-9 M1wB =EI8 -31 a33a9Me Me31a?31EI(!)例6-18悬臂梁AB受铅

30、垂向下的均布荷载q作用，梁的长度为I，弯曲刚度为EI，固 定A高出刚性地面h(h«l),如图a所示。试求悬臂梁仅B端着地时，荷载q满足的条件。qB解：分析 设q二q时，B端和地面刚刚接触，即WBq =h，地面对梁不产生约束反力,q1为B端着地的最小荷载。设q二q? 71时，WB,q2 h，地面对梁产生反力Fb。要使梁仅B端着地，应使W WB,q2Wb,fb二h，二B “B,q2 Tb,Fb =0 q?为B端着地的最大荷载(图b)。当q q2时,将使梁上B端左侧某点与地面接触(图c)。1.求q1WBq4h8EI8EI hq p-2.求q2Wb = h ，得q2IFBI8EI 3EI(1

31、)"0， 得q2I F B16EI 2EI联解(1)和(2)式，得72EIhq2厂故悬臂梁仅B点着地时的荷载q条件为24EIhB I38Elh72Elhq i例6-19宽度为b,高度分别为h!和h2，弹性模量分别为Ei和E2的两根矩形梁叠合(无12a例6-19图解：上、下两梁叠合在一起，且两梁之间无摩擦,受力后两梁将沿其接触面发生错动,摩擦)在一起的简支梁受均布荷q作用，如图a所示。试求该梁中点C的挠度wc 0两梁将各自绕其自身的中性轴 Z!和Z2转动，如图b所示。设两梁的弯矩分别为 M, x和M x，则1 1(1)M, x 产 M2 x = M x qlx qx由两梁在同一横截面处

32、的挠度相等，W-! x =w2 x ，其二阶导数也相等，W1 X =W2 x，故两梁的曲率相等，即1 M1 x M 2 xP XE1 I 1E2I 2bh；式中，h 12联解(1)和(2)式,E1I1E2I2E1I1 E2I2Mx，M2"iMx由挠曲线的近似微分方程，得E1I1w1 x = -M1 x ， E212w2 x =-M2 xW1 x，W2 x 也-1EJ 1 E I 2 2 2E1I1 E2I2设 El 二 E1I1 E2I2，有可见，叠合梁的变形相当于弯曲刚度为E2I2的单一梁的变形。C点的挠度为5q384 E1I1 E212Wa5q|4384E l1 l25q|432

33、Eb hi3 h；例6-20 一根足够长的钢筋，放置在水平刚性平台上，钢筋单位单设的重量为 q,弯曲 刚度为EI。钢筋一端伸出平台边缘的距离为 a,如图a所示。试在F=0和F=qa两种情况下 分别求钢筋自由端的挠度wa。刚性平台*qaB卜b解：1. F =0 时，求 Wa。由于BA段伸出平台，在其自重作用，使 CB段隆起，但CD部分仍和同性平台接触（图b）。C截面为直线CD的端点，故C截面的曲率等于零，即 丄二哑=0，可知C截面的PC EI弯矩Me =0，且C截面的挠度和转角均等于零。即 =0，吃=0。从We二0和二c的条件 分析，C截面可简化为固定端，但反力偶矩 Ma=0 ；从Me=0和we

34、 = 0的条件分析，C截 面又可简化为铰支端，但C端的转=0 ； B点处均可简化为铰支座，所以 ABC部分可取 图c和图d所示的两种计算简图。现分别进行讨论图c所示梁，变形协调条件为Wb =0由v Me =0，得q2ra b在q及F作用B点的挠度分别为4. 3w 更.qa b .二WB,q '，q 8EI 3EI1qa2 b22EI 24EIqb 3b2 8ab 6ba2(')WB,Fb 二FebJba b2 b3EI3EI6EI由 Wb =WB,q *Wbfb =°，22 pqb 22 q a b b6EI3b2 8ab 6a2 二24EI在q及Fb作用下A端的挠度

35、分别为WAq8EiFbFBbWa,Fb丄-竝 aB 3EI 2EI故A端的挠度为Wa = WAq - Waf图d所示梁，由变形协调条件为qa4 3 2224EI求出卩）b = 2a，利用叠加可求出Wa。2.求F = qa时的wA。当F二qa时，在q和F作用下,4qaWb 8EI 2EI4qa8EIB截面已脱离刚性平台，设 AC部分被抬起，CD部分仍与刚性平台接触（图e）,则有Mc，0、wc =0、4 = 0, C 截面简化为固定端，但 Mc=0。ABC 部分简化为如图f所示的悬臂梁由二 M c = 0q a b1 2 a-2 q b a0得b =aA端的挠度为4q（2a ）WA =34qa 2

36、a2qa8EI 一 3EI - 3EI例6-21简支梁受荷载如图所示，荷载变化规律未知，梁的弯矩图如图b所示，其中Mc为C截面的弯矩，CB段弯矩图为直线，AC段弯矩图的面积A时，其形心坐标为a。梁的弯曲刚度为EI0试求C、B两截面的相对转角，BC o解：把挠曲的近似微分方程改写成微分形式EId= M x dxdx并在X=h到X=ll2区间（该曲间无集中力偶作用，M x为x的连续系数）进行积分2EI ddw x _ix- = l1 -M xdx'1EIM C1 22EI1l1 bCB 1- -Cl -M x dx =EI l1l1 I2l 1彳式中1 2M x dx为B和C两截面之间弯矩

37、图的面积 A2，A,二丄M Cl2，其右端的负号表 2 2可见，梁上两截面的相对转角，等于该两截面之间弯矩的面积除以梁的弯曲刚度再冠 以负号。以上计算中并无涉及到 AC之间弯矩图的面积A1及其坐标a，这是命题者有意误导, 有意考察答题者的基本概念。例6-22图a所示两根悬臂梁，长度为l，初始间距为=dl，上梁的弯曲刚度为D1，下梁的弯曲刚度为D2=E2l2=kD1，在离上梁的固定端b=tl处作用一集中力FF表示当F从零开始增加后，开始两梁只在一点接触，随后两梁在一段区域内接触。设将成无量纲形式F二匸岁，试求下列问题(以上d、k、t均为比例系数)：求F,及F2，当F < f < F2

38、，两梁只在一点接触；(2)当F F；后两根将有一段长度l的接触区，求出和F的关系;(3)证明接触区无分布反力，而只在接触区与非接触区交界处有一集中力FfR-d；，试给出Fr的表达式上梁F卜O下梁-I_Fr例6 -22图bFb-R解: 1.求两梁只在一点接触时的F,、F2。当F =F!时上梁自由端的挠度Wi =、时，两梁在其自由端接触，支反力 Fr = 0b所示。变形关系为当F =F2时，两梁在其自由端接触，两梁的变形及受力情况如图两梁未接触，上梁自由端的挠度为302D,3l -b(1)6D,3l -b 二dlFrI33D,r - F2bl 2 FrI 21 2D, 2D,FrI3 _ FrI33D2