三角形提高训练1

1、初一周末三角形提高练习（2015.5.31）1、 在ABC中，ACB=，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，（1） 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE（2） 当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE（3） 当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。2、 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点，探究：AM与DE的位置关系及数量关系。（1） 如图，当ABC为直角三角形

2、时，AM与DE的位置关系是 线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向转（090）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。3、 如图1，ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边做等边DEF，连接CF。（1） 当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF=CD（2） 当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由。（3） 只将条件“点D是BC边上的一个动点，”改为“点D是BC延长线上的一个动点，”如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为 （不必证明）4、 在ABC中，AB=A

3、C，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，连接CE，（1） 如图1，当D在线段BC上时，如果BAC=，则 BAE= （2） 设BAC，BCE。如图2，当D在线段BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请说明理由。当D在直线BC上移动，则、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论。若ABC为等边三角形，则 A=B=C=，AB=BC=AC，反之若，若A=B=C=则ABC为等边三角形5、 数学课上，李老师先让同学们了解了以下知识：ABC中，若AB=AC则B=C， 反之，若B=C，则AB=ACCBA已知：等边ABC，E为线段AB上一点，D为

4、线段CB延长线上一点，ED=EC，确定AE与BD大小关系然后出示了如下题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论，当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论：AEDB（填“”，“”或“=”）（2）特例启发，解答题目，当E为线段AB上任意一点，其余条件不变，如图2，确定线段AE与DB的大小关系解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“”，“”或“=”）并说明理由（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC若ABC的边长为1，AE=2，请直接写出CD的长6、 已知，在等腰RtABC中

5、， ABC=，AB=CB，D为直线AB上一点，连接CD，过C作CECD，且CE=CD，连接DE，交AC于F，（1） 如图1，当D、B重合时，求证：EF=BF。（2） 如图2，当D在线段AB上，且DCB=时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由。（3） 如图3，在（2）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使DGP=，交 DFG的角平分线于点Q，求证：FD+FG=FQ7、 在ABC中， C=，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、E，图是旋转得到的三种图形。（1） 观察线段PD和PE

6、之间有怎样的大小关系，并以图为例，加以证明；（2） PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。8、如图，将ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论正确的有（ ）EFAB BAF=CAF BDF+FEC=2BACA1个 B、2个 C、3个 D、4个9、如图，在ABC中，已知P为BC垂直平分线上一点，且，BP与CP分别交AC与AB于点D与E。求证：BE=CD10、如图，已知点D在AB上，ABC和ADE都是等腰直角三角形， ABC=ADE=，且M为EC的中点。（1）求证：BMD为等腰直角三角形；（2）将ADE绕点A再逆时针旋转时

7、（如图所示位置），BMD为等腰直角三角形的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。11、操作：在ABC中，AC=BC=2，C=，将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，如图是旋转三角板得到的图形中的3种情况。（1）三角板绕点P旋转，当PDAC时，如图，四边形PDCE是正方形，则PD=PE，当PD与AC不垂直时，如图、，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论。（2）三角板绕点P旋转，PEB是否成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由。（3）若将三角板的直角顶

8、点放在斜边AB上的M处，且AM:MB=1：3，和前面一样操作，如图，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图形加以证明。12、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，AB=BC，ABC=， MBN=， MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F。当 MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF。当 MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。13、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC=，以

9、D为顶点做一个的角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 14、（2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，C=120现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，

10、请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有MCN=60，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M、N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由（1）由于点Q从点O运动到点C需要2秒，点P从点AOB需要43秒，所以分两种情况讨论：0t23；23t43针对每一种情况，根据P点所在的位置，由三角形的面积公式得出OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并且得出自变量t的取值范围；（2）如果OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上两种情形每一种情形，都有可

11、能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出结果；（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证MOCFAC，得出MC=CF，再由SAS证出MCNFCN，得出MN=NF，那么BMN的周长=BA+BO=4解答：解：（1）过点C作CDOA于点D（如图）OC=AC，ACO=120，AOC=OAC=30OC=AC，CDOA，OD=DA=1在RtODC中，OC=ODcos30=1COS30=233（1分）（i）当0t23时，OQ=t，AP=3t，OP=OAAP=23t过点Q作QEOA于点E（如图）在RtOEQ中，AOC=30，QE=12OQ=t2，SOPQ=12OPEQ=12（23t

12、）t2=34t2+12t，即S=34t2+12t；（3分）（ii）当23t43时（如图）OQ=t，OP=3t2BOA=60，AOC=30，POQ=90SOPQ=12OQOP=12t（3t2）=32t2t，即S=32t2t；故当0t23时，S=34t2+12t，当23t43时，S=32t2t（5分）（2）D（33，1）或（233，0）或（23，0）或（43，233）（9分）（3）BMN的周长不发生变化理由如下：延长BA至点F，使AF=OM，连接CF（如图）又MOC=FAC=90，OC=AC，MOCFAC，MC=CF，MCO=FCA（10分）FCN=FCA+NCA=MCO+NCA=OCAMCN=60，FCN=MCN又MC=CF，CN=CN，MCNFCN，MN=NF（11分）BM+MN+BN=BM+NF+BN=BOOM+BA+AF=BA+BO=4BMN的周长不变，其周长为4点评：本题综合考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定难度很大注意分类讨论时，做到不重复，不遗漏15、操作：如图1，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。说明：（1）如果