弹性力学习题新

1、1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的 连续函数来表示他们的变化规律。2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应 力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程 成为线性的方程。3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比仙等） 就不随位置坐标而变化。4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同

2、的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位 移时，可以将他们的二次幕或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都 简化为线性微分方程。在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理式中2-1已知薄板有下列形变关系:A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力 分量表达式。解：1、相容条件：将形变分量带入形变协调方程（相容方程）其中所以满足相容方程，符合连续性条件。2、在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量

3、为3、平衡微分方程其中若满足平衡微分方程，必须有分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。例2-2如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力（水的密度为 p）,顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件。解:根据在边界上应力与面力的关系左侧面:右侧面:上下端面为小边界面，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件上端面额面力向截面形心O简化，得到面力的主矢量和主矩分别为y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反；应力主矩与面力主矩的转向相反。所以下端面的面力向截面形心D简化，得到主矢量和主矩为y=l坐标面，应力主矢量

4、、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同所以分析：1、与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平行的应力分量不会出现。如在左、右侧面，不要加入2、在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精确满足时，可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化。应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩） 的方向判断，二者方向一致时去正号，反之取负号2-8试列出题2-8图（a）,题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在 其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。解：图（b）1、对于图（a）的问题上，应精确满足在主要边界卜列边界条件：在

5、小边界（次要边界）能精确满足下列边界条件:在小边界（次要边界）上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来 代替,当板厚时,2、对于图（b）所示问题上，应精确满足下在主要边界列边界条件：在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚在小边界（次要边界）上，有位移边界条件:这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替,2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F,如题2-17所示，体力可以不计。根据材料力学公式，写出弯应力ox和切应力 g的表达式,并取挤压应力w=0,然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和

6、相容方程， 再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解:1、 矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程为,横截面对z轴（中性轴）的惯性矩,根据材料力学公式，弯应力该截面上的剪力为并取挤压应力02、经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡也能满足相容方程的主要边再考察边界条件：在界上，应精确满足应力边界条件:能满足在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件:满足应力边界条件。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件:满足应力条件。因此，它们是该问题的正确解答例3-1如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数求简支梁的应力分量（体力不计）解：1、相容条件:代入应力函数，得:由此得于是

7、应力函数可改写为2、应力分量表达式3、考察边界条件：确定应力分量中的各系数联立求解以上各式，得再根据简支梁的端面条件确定常数D,F。由圣维南原理得可得再带入式（f）得4、应力分量表达式例3-2图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1,右端固定、左端自由,荷载分布在自右端上，其合力为 P (不计体力)，求梁的应力分量。解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。(1)选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程 M (x) 与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标 y成正比， 因此可设(a)式中词的为待定常数。将式(a)对y积分两次，得式中的容方程%0 =+

8、yf(x) + f乂x)(b)I为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相V10 = 0)升网d/x)r-y + = 0dx dx上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即T（x）dx"代入式（b）,得应力函数为xyJ + a3x2 + a4x + aJJ+ (绘x* + a7x2 + aKx + %（2）应力分量的表达式f 鼠= 6(4y + %)x + 2(%y + 叼)122或产产J - 3%x -2%x-/（3）考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载;自由端的剪力之和为P,得边界条件，自然满足;4h-I-

9、23%x - 2%x-% = 0上式对x的任何值均应满足，因此得（叫小得叫乂 + 2叼=0|hz = a7 = 0X取任何值均应满足，因此得女1一1J.JQ=（内=JJ-J。加=-p将式（e）代入上式积分，得-a1y2-a1h2hy=p计算得3P P产於F其中(2以 j , b】F = 2h A，横截面对z轴的惯性矩。最后得应力分量为量（不计体力），画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题解 （1）相容条件:（2）应力分量表达式（3）边界条件：在|=+八/2|主要边界上,应精确定满足应力边界条件3-3试考察应力函数能满足相容

10、方程，并求出应力分将代入相容方程，显然满足3F(4y15/2 =。，%砒1-记在次要边界x=o, x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a） （b）、（c）可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变 化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自由端受集中力 作用的问题。3-6如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,h>>b,在两侧上受到均布剪力q 的作用，试用函数b二Axy+Bx"y|求解应力分量。y(h>>b)题3-6图解：(1)相容条件很

11、显然满足相容方程。(2)应力分量表达式72-23 05 05 02兀=-7 = Oq，= -7 = 6Bxy,T =- - =- A- 3Bx0y2 y dx2 v Oxdy(3)考察边界条件，在主要边界X=± 上,各有两个应精确满足的边界条件,即则只有A=B=0 ),可用积分的应力边界条件代替而的条件不可能精确满足(否(4)把各应力分量代入边界条件，得q2qA =- -FB =2b3-7设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，l>>h""233如题3-7图所示，试用应力函数。=Axy + By+ Dxy求解应力分量。解(1)相容条

12、件 将口=Axy + By+Cy 十 口号代入相容方程,显然满足(2)应力分量表达式(J222d 03 0d 0=-7= 2B + 6Cy + 6Dxyfcr = - = 0,t =-开才犷丫加 xy 队办=-(A + 3Dy2)(3)考察边界条件，在主要边界正士 h/a上,各有两个应精确满足的边界条件(a)在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。注意x=0是负x面，由此得J*h/21(b)f 2(%)x = °dy =，得 Ah + 严3 = F由式(a) (b)解出3底a=F，d=-2FIV最后一个次要边界条件(x=l上)，在

13、平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条 件下，是必然满足的，故不必再校核。代入应力公式，得3-9设题3-9图中的简支梁只受重力作用，而梁的密度为 口，试用教材§3-4中 的应力函数（e）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。解（1）应力函数为=y(Ax2 + By2 + Cy+D)+ x(Ey3 + Fy2 + Gy) _ / _ -y4 + Hy* + K/ (a)(2)应力分量的表达式x2 =(6Ay + 2B) + x(6Ey + 2F) - 2Ay3 - 2By2 + 6Hy2+ 2K (b)% = Ay，+ Ry'+ Cy 4 D - pgy( c)% = x(3

14、Ayi + 2By + C)-(3E/十 2Fy + G) (d)这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能够选择适当 的常数A,B,，K,使所有的边界条件都满足，则应力分量式(b) ,(c),(d)就是正 确的解答。(3)考虑对称性。因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称 于yz面。这样是 研是 x的偶函数，而 目是 x的奇函数，于是由式(b) 和(d)可见旧=f = g = q(4)考察边界条件：在主要边界b=± h/2上,应精确满足应力边界条件M h = °>(Tyx)h'=0(e)y=±z尸±w将应力分量式

15、(c)和(d)代入，并注意到前面已有F = F = G 下,可 见这些边界条件要求J h2 h pgh万A +声芸+ D-h,h2hpgh一 -A + B - -C + D H= 08422-xl ；h，A + hB + C)= 0 即:h'A +hB + C = O23 2-x(#A- hB + Cj = 0 HR-hzA -hB + C = 0联立求解得到2pg3pgA =-tB = 0rC = -r-,D = 0h22将以上已确定的常数代入式（b）,式（c）和（d）,得例如右边。梁的右边没有水平面力，x=l时，不论y取任何值 10（-h/2 Wy £ h/21都有卜 |

16、。由式（f）可见，这是不可能满足的，除非区H国是均为零。因此，用多项式求解，只能要求 园在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，也就是要求 _ dy = （）（i） h/2 x LJ （%）*即=。（j）将式（f）代入式（i）彳马J'h/21 6pg 74Pg .-3-x y + y + 6Hy + 2K dy = 0I -h/4 h'仔）积分以后得积分以后得1K = p8i-io n将K, H的值代入式(f)居4Pg 3(k)6Pg 2y + h2另一方面，梁右边的切应力应当合成为反力26Pg 2 三-XV h上积分以后，可见这一条件是满足的。将式(g) ,(h),(k)略加

17、整理，得应力分量的最后解答4Pg 3hzy + 6Pg -h102Pg 3 PgS-v + yy= M 26Pg3 Pg注意梁截面的宽度取为一个单位，可见惯性矩是上I,静矩是O根据材料力学应用截面法求横截面的内力，可求得梁任意截面上的弯矩方程和剪力方程分别为M(x) = pghTXx)=-pghx.可以写成l(x)y2 3)% = T-y + pgy 40一己Th2 5；3-10如题3-10图所示的悬臂梁，长度为l,高度为h, l>>h,在上边界受均布荷 2322载q ,试检验应力函数D二Ay十Bx旷 +Cy，+ Dx + Ev y|能否成为此 问题的解？如可以，试求出应力分量。解 (1)相容条件 将。二AyT Bx v+ty + Dx + Ex y|代入相容方程，得 |120Ay+24By="若满足相容方程，有(2)应力分量表达式q 2仃=-=20Ay - 30Ax y + 6Cy 药整0ffv = - =- 10 Ay + 2D + 2Ey dx铲0?*y=一旃= 3