空间立体几何讲义

1、空间立体几何讲义一、基本概念1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示2,向量的模：向量的大小叫向量的长度或模 .记为|两|, ：C特别地：M 规左长度为o的向量为零向星，记作 6:L少 模为1的向量叫做单位向量：A3,相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量4.负向疑：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量,如：的相反向量记为二,5,共线与共而向量（1） 共线向量：与平而向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些 向量叫做共线向量或平行向量，记作：必（2） 共而向量：平行于同一平而的向量叫做共而向量，共而向量定理：如果（X

2、, v），使得 P一向量或相等向（3） 定理 共线向量宦理：对于空间任意两个向的充要条件是存在实数八使得二疝两个向量二3不共线，则向量7与向量二6共面的充要条件是存在唯一的有序史书对=xa + yb.6.注意: 零向量的方向是任意的，规左与任何向就平行: 单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1 ； 方向相同且模相等的向量称为相等向疑，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同量： 空间任意两个向量都可以通过平移成为共而向呈：； 一般来说，向量不能比较大小，1 /129/ 12空间立体几何讲义语百抽述共线向里（平行向里）裘示空间向蚩的扫向统所在的言线平行或至仕共而向疑平行十伺一半而口勺向

3、盎.共处向蚯理对空间任S:意个向重二了订砂，方“了坏在;E R?使A庙?共而向窒走理若两个问宙？ ? 了不共线，则向野与向莹了共丽u存在唯一的有序竣对 v）.空间向鱼基本定理（。定理，如果三个向堂二系"F共面，那么对空间任一向蛋 ？.存在知7翊组口 y.可便得产矗 吊皿?<2）血论，设6 A B-. C罡不共面的四点，则对空间一点耶存在临一的二个有序买馥X y.旗二卅尸z且 x+y*z=l ?二、空间向量的运算1、加减法（1）空间任意两个向量都是共而的，它们的加、减法运算类似于平面向呈的加减法OB = 0A + AB = a + 方加法的三角形法则加法的平行四边形法则（2）加法

4、运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律 .交换律：结合律：（3）推广4 4 * T TBA = 0A - OB = a - b减达的三角周以法则*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量 闭图形，则它们的和为：零向量2 ?空间向量的数乘运算*首尾相接的若干向量若构成一个封（1）实数入与空间向量：的乘枳仍是一个向量，称为向量的数乘运算当入>0时，入：与方的方向相同:2）当入V0时,入：与：的方向相反:当入二0时，X?=o.A<02/129/ 12空间立体几何讲义?|A? r|A|.p|,的长度是:的长度的|入|倍.（2）运算律空间向疑的数乘满足分配律及结

5、合律分酉I律：2（ "项=2 " +久&(A + f.i) a = Art + /.ib结合律：2 （ f ）=（弘）： 3.空间向量的数疑积和坐标运算1 .两个向蜃的数堂积（1） a?方二 la lb icosv q,（2） 7,？耳？，0 （: > ?为非零向堡）；lalS?力口坐标运算二屏+舁+<a= ( 8i> 82> 83 )>(Op g向量和八+5=&2+如33+八3八向重差a -ft=(ai? Q, &2 2)&3? 03)数重积a*6=a1-1 *32-2 +a3-3共线:匚na二人6> 二

6、人二人S （人W R ）垂直:，了 oa 6 +32八+33八3=0夹角,t t、ab + aibi+cAb3cos Q7巫我+必松我+力口三. 直 线 的 方 向 向 量仁 直 线 的 方 向 向 量空间中任意一条直线I的位置可以由 I上一个左点A以及一个左方向确立.直线I上的 向量；以及与；共线的向 量叫做直线I的方向向量 注意： 一条直线I有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行 直线I的方向向量也是所有与I平行的直线的方向向量.3/129/ 12空间立体几何讲义2、方向向量的求法：可根拯直线I上的任意两点的坐标写出直线 I的一个方向向蚩：.3、 平而的法向呈：由于垂直于同一平而的直

7、线是互相平行的，所以，可以用垂直于平而的直线的方向向屋来刻画平而的”方向如果表示向量；的有向线段所在直线垂直于平而a,则称这个向量垂直于平而，记作;± a,如果；± a,那么向呈：；叫做平面a的法向量.注意： 法向虽一定是非零向量： 一个平而a有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； 向量7是平而的法向虽：，向量万是与平而平行或在平面内，则有；？需=0. 一个平而a的法向量也是所有与平而 a平行的平面的法向量.4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为"=：（2） 歹U：根据:？花0,匚？ ； =0,列出方程组：（3） 解：把U （或V或W）看作常数，用

8、U （或V或W）表示另外两个搭：（4） 取：取U为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向屋；的坐标 四、用向量证明平行1 .直线与直起平行设直娃11和2的芳向庙宣分别为y 和乜，则由可蚩共线的条件得？I/I2 （或H与I?重合）月云“云2 .直统与平面平行（1）已知两个菲零向蚩丁和 g与a共丽，直线的一个方向则虫共面向坐定理可以篝I"诫I在炳e存在两个有序买数（x? y）憋=.Y可-）石（2）虫共面同遂定理还可以H 如里久B, C三点不共余帛则点N在平面ABC内的充更条件是，耳在一对有序慈W y）侯向童丢 达式方二访-皿鬼.3 .平而与平面平行设平面6 B的法向量分别为“

9、1 "2 ,贝ha 越。与月重合C看“恳Q存左实瓠使并二厉五、用向屋证明垂直（1） 线红垂宜：逡宜线1卜？的万向币蛋分别为 a、b9则1|，baq ±（2） iO垂巨 设臣线I的肓向向址为；平面 a的法向II为7则I，ao : Ru > :二k,由线面垂克的判定定理？只要证朋已知亘线田方向向鱼与平面内两个不共线向堇垂直（3）面面垂亘：4/129/ 12空间立体几何讲义 U明两个平页的法向星垂自RIW个平面的法向星 R X 7A-7 =0 ; 由面面垂直的判定定理可知，只要证明一个平面内的一条醪的方向向堕和一个平面内的两条烧交醪的方向向SO.5/129/ 12空间立体几

10、何讲义选择题(共11小题)1 .已知直线I的一般方程式为x+y+"O，贝91的一个方向向量为()A. (1, 1) B? (1,- 1) C. (1, 2) D. (1, - 2)2 .已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=ll? Ss=5CfiW过点P (n, a)和Q (n+2, an-2) (nGN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()A? (? 1, - 3) B? (1,? 3) C- (1, 1) D. (1, - 1)3 .若直线11, 12的方向向量分别为二(2, 4, - 4) , b= ( - 6, 9, 6)则()A. I1/I2 B. Ii±

11、I2C. k与12相交但不垂直D.以上均不正确(-2,? 3,2)则 a与b的位置关系是(A.平行B.重合5-若 A 9' 2、罟)设平面a的法向量吕4?直线a, b的方向向量分别为二(- 2, - 2),)C垂直D.夹角等于善B (1,? 1, 1) , C ( - 2, 1且)是平面a内的三点, 8 8(x, y, z), 则 x： y：1 D? 3: 2: 4A? 2: 3: ( - 4) B? 1: 1: 1C.6.已知 AB 二(1, 5, - 2) , BC=3, 1, z),若忑，BC, BP= (x- 1, y, - 3),2, 40. 4，罟能使l a的是(3, 5)

12、 n= (1,0, 1)且BP,平面ABC则实数x、v、 z分别为A.(阻?些，4 B.型7777.若直线I的方向向量为0平面a的法向量为mA. a= ( 1> 0, 0), n= ( " 2? 0, 0) B? a= (1,C. a=( 0? 2, 1) , n=( " IT 0,- 1) 1)D? a=(l,3)口 一 3,&设：二a 3),:在电上的投影为竺2,电在x轴上的投影为2,且|b|<i4,26/129/ 12空间立体几何讲义A. (2,14) B. (2,C. (一 2,D. (2, 8)9.如图，在正方体ABCD - AxBiCiD中，

13、P为对角线BD】的三等分点，P到各顶 点访距制的不同取值行f ）C, 71 1/ /Vii 、I ' （ 1。尸 ，. 1 "j C、1* ' /Lij/CABA. 3个B. 4个C. 5个D,6个 10?已知直二面角 a-1-p,点AWa, AC± I, C为垂足，Bept BD± I, D为垂 足，若AB=2, AC=BD=1如D至U平面ABC的距离等于（）A.亚B.血C起D. 1 33311.在正四棱柱 ABCD- AiBiC止中，顶点Bi到对角线BD1和到平面AiBCDi的距离分别为h和d,则下列命题中正确的是（）A.B.若侧棱的长小于底面

14、的边长若侧棱的长小于底面的边长则旦的取值范围为（0,1） d贝呼勺取值范圉为（乎，卑3） 则等的取值范围为（卑3, V2）则旦的取值范圉为 d，+8）C.若侧棱的长大于底面的边长D?若侧棱的长大于底面的边长二.填空题（共12小题）15. 如图，在棱长为 2的正方体 ABCD - AiBiCiD中，E为BC的中点，点P在线 段DiE上，点P到直线CCi的距离的最小值为 .16. 若 3=(1, 0, 2), b=(0, 1,2),贝,J I a-2b 1=7/129/ 12空间立体几何讲义17?已知A (1, 2, - 1庆于面xOz的对称点为B,则AB二18?如图，在三棱锥 D - ABC中，

15、已知 AB=AD=2, BC=1, ACBD=-3 T 则 CD=19.如图，在四棱锥 S? ABCD中，底面 ABCD为矩形，SD,底面 ABCD, AD=V2, DC=SD=2点M在侧棱SC上，ZABM=60°.若以DA, DC, D的别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D - xyz贝JM的坐标为 ?20?如图，为一个正方体截下的一角 P? ABC, PA =a, PB =b, PC超立 如图坐标系，求ZABC的重心G的坐标?IJh 21 . 下列关于空间向量的命题 中，正确的有 若向量三电与空间任意向量都不能构成基底，则 a/7b;若非零向量£ b,:

16、满足T,电，；则有了；若$,丽，55是空间的一组基底，且乔，355+，丽+，56,贝I A, B, C, D?33点共面;若向冢hb, b+o是空间一组基底，则吕，b,c也是空间的一组基底.8/129/ 12空间立体几何讲义22 . 由空间向量二(1, 2, 3) , b= (1, - 1, 1)构成的向量集合 A=x x=Akb,kez,则向量匚的模£|的最小值为.23?已知点 A (1, 2, 1) , B ( - 2,4) , D (1, 1, 1)若菖 2 瓦，则PD的值是?24 .已知空间四点 A (0, 1, 0) , B (1, 0rL), C (0, 0, 1) ,

17、D (1,1，)，2 2则异面直线AB, CD所成的角的余弦值为?A B25 . 如图ABCD? AiBiCiDi是正方体,则BEi与DFi所成角的余弦值是'pi ¥ J 匚人B26 .已知向h'", b满足b =2,方与b的夹角为60。，则b在已上的投影是 三.解答题(共9小题)27 .如图，三角形PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6, BC=3.(1)证明：BC平面PDA(2)证明：BC± PD;(3)求点C到平面PDA的距离.28 .如图，已知四棱锥P? ABCD, PB 士珊面PAD为边长等于2的正三角

18、形，底面ABCD为菱形，侧面 PAD与底面ABCD所成的二面角为1201(I) 求点P到平面ABCD的距离，(II) 求面APB与面CPB所成二面角的大小.9/129/ 12空间立体几何讲义29 . 如图，在四棱锥 P - ABC计，PD，平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB DC,ZBCD=901(1)求证：PC± BC:(2)求点A到平面PBC的距离?30 .如图所示，在四棱锥P? ABCD中，底面ABCD为矩形，PA,平面ABCD点E 在线段 PC ± , PC平面 BDE设 PA=1, AD二 2.(1)求平面BPC的法向量；(2)求二面角B

19、- PC - A勺正切值.31 ?女口图，在四棱卡隹 P - ABC叶，PAdJ 龙面 ABCD, AD ± AB, AB/7DC,AD=DC=AP=2, AB"点E为棱PC的中点.(I )证明：BE, DC;(H)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(DI)若F为棱PC上一点，满足BFAC,求二面角F? AB - P的余弦值.10 / 129 /12空间立体几何讲义32?如题图，三棱锥 P? ABC中，PC，平面ABC, PC=3, ZACB=? D, E分别 2为线段 AB, BC上的点，且 CD=DE=V2, CE=2EB=2.(I )证明：DE，平面PCD(n)求二面角A - PD-C的余弦值？33?如图，在三棱台 ABC - DEF4,已知平面 BCFE±¥面 ABC, ZACB=9QBE=EF=FC=1, BC=2, AC=3,(I )求证：BF