浙江台州2017届高三上学期期末质量

1、浙江省台州市2017届it=1i三上学期期末质量评估数学试J第I卷(共40分)一、选择题；本大题共10个小题，每题4分，共40分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .已知全集=123,4,5,6,集合=1,工可，=1,2,念那么()n=()A.1B.2,4C.2,4,6D.1,2,4,6【答案】B【解析】因为=24无=1,2%，因此()n=2务，应选答案B。2 .已知复数一(e)的虚部1,那么=()A.1B.-1C.-2D.2【答案】A【解析】因为=兰一=一='一+)，因此+1=2=1,应选答案A。1243.已知随机变量s(33,那么()=()A.3B.2C.

2、-D.-22【答案】C【解析】因为九=3,p=$因此E(f)=呼=|，应选答案C.4.已知cosa=1,那么sin(a一£)=()a1n福八1n低A.-B.C.-D.2222【答案】C【解析】因为cosa=1=a=2kn,因此sin(QB=sin(-y)=-sin”一；，应选答案C.%>15.已知实数x,y知足y>1，那么x+y的取值范围为()2%4-y<677A.2,5B.2,-C.p5D.5,+8)【答案】A【解析】因为xNLyNl=x+yN2,又%+>45,因此2Mx+yW5,应选答Xs1案A。6.已知eR,那么“77m<0”是“抛物线?nx?+n

3、y=0的核心在y轴正半轴上”的()A,充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也没必要要条件【答案】C【解析】T<iz-mn<0”,那么好=一3丫中的一三>(),因此“抛物线m/+ny=0的核心在y轴正半小上成立，是充分条'I:反之，假设“抛物线m/+71y=0的核心在y轮山半剂卜.，那么/=-±y中的一二>0,即mn<0,那么“mnV0”成立,k必要条件，"选答案C,m7.已知函数f(x)=ax3+ax2+%(aeR),以下选项中不可能是函数f(x)图象的是()【答案】DB.【解析】因尸(%)=+葭以<0时

4、，判别式21=出一4。>o,其图像是答案c中的那种情形；当Q>0时,判别式/=。2一M>0,其标|像是答案8中的那种情形；判别式21=。2-4。二0,其图像是答案A中的那种情收："iQ=0.即y=%也是答案A中的那种情形，应选答案：D8.袋子里装有编号别离为“L2,2,3,4,5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，假设每一个球被取到的机遇均等，那么掏出的3个球编号之和大于7的概率为()A17c7八5n4A.-B.-C.-D.-201085【答案】B【鼾析】由题设取三个球的所有可能有九=Cl=衿4=20.其中编号之和小于或等：的所仃可能有，X/X

5、JL(1,2,2),(1,2,3),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,4),(2,2,3)共6种，其概率P=4=套，因此3个球编号之和大于7的概率为P'=1j应选答案Be20109.已知函数/。)=那么方程I"、)=2的实根个数为()|人1I乙，人/JLA.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】-pi/(x)=g(x)+2时，那么y=g(x)+2=.22_4J0<上住同一直角坐标系中画出函数y=/(x)=|lnR,y=g(x)+2=2)41的图像如上图，那么两图像有3个交点，即方程有?o<y<13个实数根：当/(%)=9。)一2时，那么=。(%)+2

6、=|、2_4|_4/，彳在同一直角坐标?o<y<1系中画出函数y=/(%)=|lnx|,y=g(x)+2=m_4|-4x>l的图像如以下图，那么两图像有1个交点，即方程有1个实数根因此方程共有4个实数根，应选答案De点睛：此题也是一道难题，求解时充分利用题设条件中提供的信息，借助转化与化归的数学思想、函数方程思想、数形结合的数学思想等重要数学思想与方式，通过对绝对值问题的分类讨论使得问题的求解取得转化与化归，借助函数的图像之间的变换使得问题变得加倍直观与简捷。10.如图，在矩形48co中，AB=4,BC=6,四边形力EFG为边长为2的正方形，现将矩形沿过点F的动直线I翻折，使

7、翻折后的点C在平面4EFG上的射影CI落在直线48上,假设点C在折叔上射影为。2,那【答案】A【解析】由呢2，乙。1，、1'而4"6面/£7*,那么。1。2口，故，&。2三点共。成立如上图所示的平面直角坐标系，那么4(0,0),C(4,6),F(2,2),过点尸(2,2)的直线I的方程为y=k(x-2)+2,那么点C(4,6)到直线y=k(x-2)+2的距离|CCz|=震旦又因CQJJ,那么直线CQ的方程为y=VKX一沁-4)+6,令y=0可得G(4+6k,0),那么点。式4+6左0)到直线y=k(x2)+2的距离|3k2+k+l|fc-2|GQ|=*等，那

8、么需=专答，令k2=%那么k=t+2,需户(t±2：+t+3|=囚+?+13|之6Jg13(当且仅当t=一代=k=2遥'时取等号)，故应选答案A。点睛：此题的解答进程中，先借助空间线面的垂直位置关系，判定C，G，C2三点共线，进而构建平而直角坐标系，成立过点F(2,2)的直线I的方程为y=k(x2)+2,再运用点到直线的距离公式,求出点C(4,6)到直线y=k(x-2)+2的距离|2|=：再借助CG成立直线CG的方程为y=一京。一2)+2,进而运用点到直线的距离公式求得。式2+2k,0)到直线y=k(x-2)4-2的距离IQ&I=“7+三,最后取得咨=与竺匕.然后运用

9、换元法与大体等式使得问题巧妙获解。Vk2+1|CC2|fc-2|?x%<111 .已知函数f(x)=£；：，那么/(0)=，«(0)=.【答案】(1).1(2).0【解析】由分段函数的概念可得/(0)=2°=1,那么/(/XO)=/(I)=log3l=0：彳案1,0。12 .以坐标原点。为圆心，且与直线X+y+2=0相切的圆方程是,圆。与圆>2+>2-2y3=0的位置关系是.【答案】(1).x2+y2=2(2).相交【解析】由题意所求圆的半径等于原点。到直线x+y+2=。的距离，即T=高=V2,则所求圆的方程为炉+y2=2：因圆。与圆/+y2-2

10、y-3=0的圆心和半径分别为0(0,0),n=展仅0,1)明=2,且|%1=VG+n=2+0,故两圆的位置关系是相交，应填答案/+=2和相交。13 .已知公差不为0的等差数列。九，假设的+。4=1。且%，。2，。5成等比数列，那么g1=.an=【答案】(1),1(2).2n-1【解析】由题设条件可得案1 和2n-lo+ 2d = 5 =产I=1的(臼 + 4d) = 1 d = 2那么an= l + 2(n-l) = 2n-l,应填答14 .某空间几何体的三视图如下图，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，那么该几何体的体积是，表而积是.【答案】(1).6(2).15+475【解析】由题设

11、中提供的三视图的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底而是梯形的横卧的四棱柱,其体枳V=|(1+2)xlX4=6,表面积为S=2X式1+2)x1+4x(1+2)+2S。=25。+3+12=15+2S0,其中So=4xJl2+()2=4x日=2代，故该几何体的表而月S=15+2so=15+475,应填答案6,15+4代15 .已知在。48c中，内角A,B,C的对边别离为a,b,c,且b=V2afVJcosB=鱼cosA,c=四+1,那么ZMBC的面积为.【答案】亨【解析】由题设条件b=v'2af导sinb=V2sin4,则由丫58sb=v'EcosA可得3(1sin2=2(1si

12、n24)与sin8=vEsia4联立可得,sinA=；,sinB=?比>a,故22力=?=C="，由正弦定理需=*na=6，贝出=鱼X佃=2,所以2月8c的面积S=；XeX2sinC=3二，应埴答案”。16 .已知不共线的平面向量乙E知足同=3,说=2,假设向量2=Aa+应（儿4WR）,且4+4=1，萨舒那么".【答案】|【解析】设方=dfOB=b,OC=c,那么由题意A,8,C三点共线，由题设条件2=萼得cos4AOC=向同coszBOC即0C是/。4c中乙40C的平分线，由角平分线的性质可得4C:CB=3:2,故就=三而，即SOC-OA=-（OB-'OA）

13、,也即5?=三51+三据，因此3=三2十三那么;l=L应填答案L5555555点睛:此题的关键借助题设条件判定0C是21047中乙40C的平分线,然后再由角平分线的性质可得AC:CB=3:2,进而取得而=三而，即=三（而一万?），也即公=三57+三加，最后取5555过运用待'定系数的思想求得4=:，使得问题简捷、巧妙狭:17 .已知函数f(x)=|x+巳axb|(a,beR),当xe仁，2时，设f(无)的最大值为M(a")，那么XNM(a,b)的最小值为.【答案】74【解析】设M=7x(')，那么M=max/G),/(l),/(2),由于M之/(=11b|=外。+19

14、2b5|,M>/(1)=2-a-bfM>/(2)=-|4q+2b-51那么M>|2-a-bf-M>23+2b51AM>i/(2)=|4q+2b-5,因此将以上三式两边相加可得2M>|2-323336a-Z)|+|a+2d-5|+|4a+2Z>-5|<|2-|-|,HP2M>=>M>i,应填答案点睛：解答此题的难点在于分析函数的最大值是如何取得的，在一个确实是如何构造绝对值不等式使得问题成立。求解时充分借助题设条件，先分出函数的最大值只有在/'(,/(1),/(2)中产生，若是直接求其最大值那么很难奏效，那个地址是运用绝对

15、值不等式的性质及不等式取等号的条件，也确实是等且仅当2-a-b=a+b-=2a+b-2时取等号，即a=0,b=，仅等号，这是解答此题的关键，也是解答此2224题的难点。18.已知函数/(无)=sin®x+(p)(3>0,|0|<的最小正周期为7T,且X=卷为/(%)图像的一条对称轴.(I)求3和。的值：(H)设函数g(x)=/(%)+f(x-7),求g(x)的单调递减区间.【答案】(1)3=2,0=k7T+g：()kn+,kn+tkeZ.【解析】【试题分析】(1)借助题设条件直接求解；(2)借助正弦曲线的单调区间求解：(I)因为/(无)=sin(3+0)(w>0,|

16、0|<g)的最小正周期为七由T=红=%因此3=2,3由2%+。=kzr+；,keZ,因此f(x)的图像的对称轴为、=y+j-,fcez,由三=处+三一2,得(/)=k7l十三12242”3(H)函数g(x)=f(x)+f(x-)=sin(2x+-)+sin2x63=|sin2x+ycos2x+sin2x=V9sin(2x+因此g(x)的单调递减区间阿+加兀+岩，keZ.19 .如图，在边长为2的菱形ABCD中4。=60°,。为力。的中点，点P为平面力BCD外一点，且平而PAC，平面48CD,P0=lfPA=2.(1)求证/。平而ABCO;(II)求直线PA与平面PBC所成角的正

17、弦值.【答案】(I)证明观点析：(H)亨.【解析】【试题分析】1)借助题设运用线面垂直的判定定理推证:(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式求解；(I)证明:在边长2的菱形45CD中=60°,工。=回又因为PO=1,P4=2,所以02+a02=4=PAz9所以力。1PO.因为平面24c，平面为5co.平面24Cn平面J45CD=AQ又因为PO仁平面PH&所以P。上平面工SCD(II)以。为原点，OB,OC,OP别离为入轴，y轴，z轴，如图成立空间直角坐标系，由已知得4(0,一闻),8(100),C(0,(0,0,1).设平面P8C的法向量五=(%,y,z),因为丽

18、=(1,0,-1),5?=(1,同)，Xz=0一尤+、口y=0由里.云=0,得BC-n=0设=/3,因此y=l9z=/3,因此n=(代L板).又因为刀=(0,历)，因此而。=|cos(Hn)|=I黑I=孺=苧因此直线PA与平面PBC所成角的正弦值为亨20 .已知函数/(无)=%3+|x-a|(aeR).(I)当。=1时,求f(x)在(0/(0)处的切线方程;(II)当qe(0,1)时，求f(x)在区间1,1上的最小值(用。表示).【答案】(|)y=一无+1；【解析】【试题分析】(1)借助题设运用导数的几何意义求解；(2)依据题设条件，借助导数与函数的单调性之间的关系求解：(I)-la=l,x&

19、lt;1时,/'(%)=x3+1-x,ff(x)=3x2-1,因此f(0)="(0)=-i,因此f(X)在(0/(0)处的I9程y=-x+l.(ID当qw(OJ)时，由已知赣f(%)=X3+x-a,a<x<1,x3-x+af-l<x<a.当q<%<1时，由/'(x)=3x2+1>0,知/(无)在(a,1)是上单调递增.当一1<x<。时，:f'(x)=3x2-L(1)当ae弓,1)时,/(x)在(一1,?)上递增,在(一今今上递减,在(左1)上递增,因此/(x)min=min/(-l),/(y)=mina,a

20、一等=。一.当ae(0,约MJ。)在(1,一当上递增，在(一名a)上递增，在(a,1)上递增，因此f(x)min=min/(l),/(a)=mina,a3=a3.综上所述，/(%)min=9'aw(0用.21 .已知椭圆C:2+3=l(a>b>0).（I）假设椭圆的两个核心与一个短轴极点组成边长为2的正三角形,求椭圆的标准方程；（II）过右核心F（c,0）的直线1与椭圆C交于48两点,过点尸作】的垂线,交直线x=?于P点,假设翳的最小值为2试求椭圆C离心率e的取值范围.a【答案】（I-【解析】【试题分析】（1）借助题设成立方程组进行求解：（2）成立空间直角坐标系，运用空间向

21、量的数量积公式求解：(I)依条件知2c=2,2a=4,即c=lfa=2.而炉=a2-c2=3,v2y2故所求椭圆的标准方程为了+5=1.(II)设核心尸(go),那么直线，:x=my+ClLi4(%i，y1),5(x2,y2)-x=my+c,联立炉y2得2m2+a2y2+2mcb2y-b4=0,则葭+岸=1，%+%=缁三那么乙+'2=/+2c=2c（贮需产）=生,故由椭圆的概念可得|力81=AF+|BF|=2。一久均+x2)=2a-律号+2a=喘磬又垂线的方程为y=-m(x-c),令x=匕得y=-m(a-c-)="也，即P(L,吧-),那么|PF|=cccccLa2-c2x9

22、,b2r：-；yrr.PF1m2b2a2a2m2b2、a2a2b7()2+()2=VI+m2,那么:=-X=>，即一=-=>a2=A/'c，'c，cABc2a2ac2ac2aca2bc,也即。4=4(十一。2/2=e”-e?+：=0.故e2=g=e=/。点睛：椭圆是圆锥曲线中的重要代表之一，也是高考重点考查的重要内容之一，求解此题的第一问时，可直接依据题设条件，求椭圆标准方程中的参数a,从使得问题获解；求解笫二问时，可依据题设条件，先成立宜线的方程，再借助直线与椭圆的位置关系进行分析推算出目标函数的解析式，再运用大体不等式取得取得最值的条件，使得问题巧妙获解，22 .已知数列册知足：的=aan+1=-+an（neN）ZZUlo（I）求证：an+i>an：（ID求证：a2017<1；（III）假设4>1,求正整数k的最小值