处理恒成立问题基本方法

1、处理有关“恒成立”的思路方法乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列， 不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我 们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了 保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而 且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合， 体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透 和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能 力，培养学生思维的灵活性，创造性，所

2、以是历年高考的热点。一.恒成立问题的基本类型按区间分类可分为：在给定区间某关系的恒成立问题；在全体实数集上 某关系的恒成立问题。二.处理恒成立问题的基本思路处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法变量分离思路处理；利用函数的性质，图象思路处理。若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为 函数的最值问题求解。在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用例2:若不等式x2+ax+1，1 ,x2D.-30对一切x (0,万成立，则a的取值范围为()A. 0 B. -2 C.-一

3、一，一1珈析：由于x (0, - , a21 ,1 1 , _ 5Qf(x) x 7卸，/单调递增，在x= 5取得最小值25 ，一a -,故选C2方法2:利用函数的性质，图象其主要体现在：1 ,利用一次函数的图象性质若原题可化为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b(a 0).若y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0(或f(x)0),则根据函数的图象可得：f(x)0,xm,n恒成立f(m)0f(n)0f(x)0,xm,n恒成立f(m)0f(n)02 ,利用二次函数的图象性质：a 0右f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0怛成立0若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分

4、布和韦达 定理求解。例1: 函数f(x)是奇函数，且在-1,1单调递增，又f(-1)=-1 ,若f(x)t2-2at+1对所有的a -1,1都成立，求t的取值范围解析：不等式中有三个变元，通过逐步消元法处理。首先选定主元 x, Q f (x)在-1,1递增 Q f(x) t2-2at+1a-1,1恒成立 t2-2at+1 f (x)maxQ x -1,1即t2-2at+11, a -1,1 上恒成立t2-2at01 .不等式mf(x)在区间D上恒成立m f(x) max,xD或f(x)的上确界(若f(x)在xD的值域为a,b,则a称为f(x)的上确界，b称为f(x)的下确界)2 .不等式mf(

5、x)在区间CLbl!成立m f(x) min,x D或f(x)的下确界注释：1.不等式mf(x)在区间D上有解mf(x) min,xD或f(x)的下确界2.不等式mf(x)在区间D上有解mf(x) max,xD或f(x)的上确界那么，如何求函数g(x)在区间D上的最大值(上确界)或最小值 (下确界)呢？通常可以采取利用函数的单调性，图象，二次函数在 区间上的最值，判别式法，三角函数的有解性，均值定理，函数求导 例1:若函数f(x)=(x+1)ln(x+1),对所有的x0都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围解析：由f(x)=(x+1)ln(x+1) ax,对所有的x0恒成立可得：(1)当 x

6、=0 时,aR(x+1)ln(x+1)(x+1)ln(x+1)(2) 当x>0时,av，设g(x)=-xx则问题转化为求该函数在开区间(0, + )的最小值(下确界)，又g? (x) =x lWx：,要想求由g? (x) = 0困难重重，可换元令x1h(x)=x-ln(x+1), Q h'(x)=1- , x0,故h'(x)0,则函数 h(x)x 1在(0, + )为增函数，即h(x) h(0)=0,从而g'(x)0,则函数g(x)在(0, + )也为增函数，故g(x)无最小值.此时，由于g(0)无意义，g(x)(x+1)ln(x+1)x的下确界一时也难确定，但运

7、用极限的知识可得g(x)>limg(x)，然而求此极 限又超生了所学范围，事实上采用洛比达法则可得limg(x)=limln(x+1) 11,故x0时,g(x)1,因而a 1。综合(1) (2)知a的取值范围为(-,1a -1,1 恒成立，即 g(a)=-2at+tg(-i)0g00,-1,1恒成立例2:若函数f(x)=-2t+t-2t+tt (, 2 U 0 U 2,)a21)x2 (a1)x2 的定义域为R, 1求实数a的取值范围.解析：该题就转化为被开方数(a21)x2(a1)x看0在R±恒成立，注意对二次系数的讨论。解：依题意，当(a21)x2(a1)xT 当 a21a

8、20时,即当(a21)x2a(a1)xa2a11-0恒成立，10时 a=1,此时0a=1成立2。当 a2a2a210a综上可得，f (x)的定义域为R寸,a1,9a2印当2方法三：直接根据函数图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画由等式 或不等式两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得由结果例：设x (0,4,若不等式 Jx(4x) >ax 恒成立，求a的取值范围解析：若设y1=&4一分则其图象为上半圆,设y 2=ax为过原点且斜 率为a的直线.在同一坐 标系中作出函数 图象,如下右依题意,半圆恒在直线上时，只有a<0,即其取值范围为 a<0三,在恒

9、成立问题中,主要是求函数的取值范围问题，其处理方法有以下几种1. 换元处理法例：对于所有实数x,不等式x2log 2 4(-)2xlog 22alog 2 (2-)-0恒成立 ,求 aaa 14a的取值范围.2a2a解析：因为log 2 上一的值随a的变化而变化,t=log 2 上一,则a 1a 1上述问题实质是当t取何值时，不等式(3-t)x2 +2tx-2t>0 恒成立 3 t 0它等价于，求解关于t的不等式组3 t 0 t 0,0一2a即 log 2 00 a 1a 12选定主元法例:对满足不等式江7<23#25的一切实数a,不等式(a-3)x<4a-2 都成立,求实数

10、的取值范围.解析:按常规理解要解以x为主元,为a常数的一元一次不等式但比较烦琐,若选a为主变元则可利用函数的性质解由x的取值范围.由"?7<23#:0<a<5设f(a)=(x-4)a-(3x-2),则由题意知,对任意的a(0,5),都有f(a)<0恒成立,由一次函数的性质得 f(0)0f(5)0一、，i 2解之得 2x933才勾造法例：设f(x)=lg 1x '* K (n1)xnxa其中a为实数n为n任意给定白自然数且n2,若x(- ,1时有意义求a的取值范围.解析：本题即为对于x(- ,1,1 x 2x 3x K (n 1)x nxa 0叵成立，、

11、一1 v 2 Vn 1 v先变量分离得对a>-( 1 )x+( 2 )x+K +( U )x, (n 2) n nn对于x (,1恒成立一，一一1 v 2V n 1v构造函数g(x)=-( -)+(-) +K +() , (n 2)n nn则问题转化为求该函数次，1上的值域.由于函数k vu(x)=-( 一)xk 1,2K n 1),x (,1上是单倜递增的，n1则g(x)在，1为单倜递增函数,于是g(x)的取大值为g(1)=- - (n-1),21从而可知:a>- -(n-1), 24.分类讨论例：若函数 f（x）=Jkx 26 kx取值范围是（）由题意kx 26kx （ k.

12、若，符合题意. 若，kx 26kx （k(k8)8)8）的定义域为0恒成立0恒成立R,则的(k<36k2Ik:0综上可得：0 k 1在处理恒成立问题时,并非单一的使用某一种思路方法各种思路方法相互渗透,解决这类问题是各种思路和方法的综合运用，且要求较高难度较大.正所谓"万变不离其中",只要我们在平时的学习中把基本思路和方法理解,掌握透彻，一切问题都会迎刃而解“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立；某函数的定义域为全体实数 R;

13、某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于 a等等 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直 接根据函数的图象。、恒成立问题解决的基本策略（一）两个基本思想解决“恒成立问题”m f(x)maxm f(x)min思路2、m"*）在* D上恒成立思路1、m如何在区间D上求函数f（x）的最大值或者最小值问题，

14、我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二)、赋值型一一利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例 1.由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射 f:(a1,a2,a3,a4户 b1+b

15、2+b3+b4,则 f ： (4,3,2,1)()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0,则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1，所以 b1+b2+b3+b4 =0 , 故选D例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 8 对称，那么a=().A.1B.-1C . 2D. - 2 .略解：取 x=0 及 x= 4 ,则 f(0)=f(4 )，即 a=-1,故选 B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.(三)分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给

16、定一次函数y=f(x)=ax+b(a w0蜉y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0 ,则根据函数的图象(直线) 可得上述结论等价于f 而)0f f(m) 0n) 0同理，若在m,n内恒有f(x)<0 , 则有f (n)例2.对于满足|a| 2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2, 2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a| 2时恒成立，设 f

17、(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有：2f ( 2)0 x4x 30 x汕x1f 即x10 解得：x1或x 11.x<-1 或 x>3.即 x C (8 ,1) u (3,+ 00)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、 总结，提炼出一些具体的 方法，在今后的解题中自觉运用。(1)若二次函数 y=ax2+bx+c(a W0止于0恒成立，则有 a 。且 0(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可

18、以利用韦达定理以及根的分布知识求解。f (x)例3.若函数.22(a 1)x (a 1)x2a 1的定义域为R,求实数a的取值范围222(a 1)x (a 1)x 0分析：该题就转化为被开方数意对二次项系数的讨论.a 1 在R上恒成立问题，并且注解：依题意，当x R时,/2/、2, 八2八(a 1)x (a 1)x 0a 1恒成立,ca2 1 0 一a2 1 0,即当,时，a 1,所以，当a 1 0，222(a 1)x (a 1)x 1 0, a 1.此时a 1a2 1 0时，即当当a2 1 0,222 时(a 1)24(a2 1)0a 1a2 1/a2 10a 9 0,1 a 9,综上所述，

19、f(x)的定义域为R时，a 192例4.已知函数f(x) x ax 3 a,在R±f(x) 0恒成立，求a的取值范围分析：y f(x)的函数图像都在 X轴及其上方，如右图所示： 22略解： a 4 3 a a 4a 1206 a 2变式1：若x 2,2时，f(x) 0恒成立，求a的取值范围分析：要使x 2,2时，f(x) 0恒成立，只需f(x)的最小值gf(x)解：a 3 r ,、 O O ，令 f (X)在 2,2上的最小值为g(a)当24时,g(a) f( 2)7 3aa不存在.当a 4 时，g(a)4 时,g(a)f (2) 7综上所述,变式2:若2,2 时,f(x) 2恒成立

20、,求a的取值范围.解法一：分析：题目中要证明f(x) 2在2,2上恒成立，若把2移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0的问题.2略解：f (x) x ax 3 a 2 0,即 f(x)x ax 1 a 0在2,2上成立.2.22.2f(2)f( 2)4(10a)综上所述，5解法二：(运用根的分布)当2即a 4时,g(a)f( 2)3a4,a不存在.g(a)-2 2 2 a 2 2 24 a 2、.2 2当 2 ，即 a 4 时，g(a) f (2) 7 a 2a 55 a 4综上所述 5 a 2 <2 2.此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，

21、对轴与区间的位置进行分类讨论； 还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在 R上恒成立问题往往采用判别式法(如例 4、例5),而对于二次函数在某 一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有 f(x)>g(a)恒成立，则 g(a)<f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，者B有f(x)<g

22、(a)恒成立，则 g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)222例5.已知三个不等式x 4x 3 0,x 6x 8 0 ,2x 9x m 0,要使同时满足的所有 x的值满足，求 m的取值范围.略解：由得2<x<3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x2 9x m 0在x (2,3)上恒成立，即m2x2 9x在x (2,3)上恒成立，又2x29x在x (2,3)上大于9,所以 m 92例6.函数f(x)是奇函数，且在1,1上单调递增，又"01,若"幻t 2at 1对所有的a 1,1都成立，求t的取值

23、范围.解：据奇函数关于原点对称，f(1)1,又“*)在1,1上单调递增f(x)max f(1) 12f(x) t 2at 1对所有的a 1,1都成立.因此，只需t2 2at 1大于或等于f (x)在1,1上的最大值1,t22at 1 1 t2 2at 0又 对所有a 1,1都成立即关于a的一次函数在卜1, 1上大于或等于0恒成立，t22t0t22t0t 't0或t2即：t(,2 0 2,)利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立;

24、若函数y=f(x)的周期为T ,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例7.对任意实数x,不等式|x 1 |x 2 a包成立，求实数a的取值范围.分析：设y=|x+-|x-2|,对任意实数“不等式x 1 x 2力旦成立即转化为求函数y=|x+-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围3 x 1y x 1 |x 2 2x 11 x 2解：令3 x 2在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出

25、，对任意实数x,不等式x 1 x 2a恒成立，只需a 3本题中若将对任意实数X，不等式X 1 x 2才旦成立，求实数a改为故实数a的取值范围是(，3).同样由图象可得a>3;对任意实数x,不等式x 1 x 2 a恒成立，求实数a对任意实数x，不等式|x 1 x 2 aT旦成立，求实数a,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解 题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基

26、本方法。(一)换元引参，显露问题实质1、对于所有实数X,不等式2 .4(a 1)x 10g 2a22a . (a 1)2x1og2 10g 2二a 14a0恒成立，求a的取值范围。log 2解：因为2aa 1的值随着参数a的变化而变化，若设, 2a10g2-a 1 ，2则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3 t)x 2tx 2t0恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于3 t 02求解关于t的不等式组：(2t) 8t(3 0 0。解得t易得0 a 1。222、设点P (x, y)是圆x (y 1)4上任意一点，若不等式2a log 2-0,即有 a 1x+y+c 0恒成立，求实数

27、c的取值范围。(二)分离参数，化归为求值域问题.23、若对于任意角总有sin 2mcos 4m 1 0成立，求m的范围。2解：此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos 4) COS ,又cos 2 0,则原不等式等价变形为2m2coscos2恒成立。根据边界原理知,2m必须小于 f ()2coscos 2的最小值，这样问题化归为怎样求2coscos 2的最小值。因为f()2coscos 2，一、2，一、(cos 2) 4(cos 2) 4cos 2cos 2 4 4cos即cos0时，有最小值为0,故m 0。(三)变更主元，简化解题过程24、若对于0 m 1 ,万程x mx 2m 1 0都

28、有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦,若以为主元，则m(x 2) (1刈2,1 x2由原方程知x2,得1.13解之得 21321时，若不等式(a6)x 9 3a 0恒成立， 求x的取值范围。(四)图象解题，形象直观6、设x (04,若不等式r0x(4 x) ax恒成立， 求a的取值范围。解：若设y1dx(4 x),则(x 2)2 y2 4(y1 0)为上半圆。设y2 ax ,为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有 a 0时成立，即a的取值范围为a 0。7、当x (1,2)

29、时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x 于y1的函数值。 故 1oga2>1,(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当 x=2时y2的函数值大于等1<a 2.8、已知关于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0 有唯一解，求实数 a的取值范围。 解：令 y1=x2+4x= (x+2) 2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线方有唯一交点，则直线必须位于y2的图象是k=2,而截距不定的直线, l1和l2之间。(包括l

30、1但不包括要使y1和y2在x轴上12)当直线为11时，直线过点(-4,0),此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2;5当直线为12时，直线过点(0,20),纵截距为-6a-4=0, a= 3段的范围为2旨分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4 ,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。(五)合理联想，运用平几性质9、不论k为何实数，直线y kx 求a的范围。1与曲线c2c,c2ax a 2a 4 0恒有交点,22解：(x a) y 4 2

31、a , C (a,0),当 a2时,联想到直线与圆的位置关系，则有点 A (0, 1)必在圆上或圆内，即点A(0,1)到圆心距离不大于半径，则有2a 1 2a 4(a2),得 1 a 3。用判别式来解题分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立,是比较困难的。若考虑到直线过定点A (0, 1),曲线为圆。(六)分类讨论，避免重复遗漏10、当|m|22时，不等式2x 1 m(x1)恒成立,x的范围。解：使用|m|2的条件，必须将 m分离出来，此时应对1进行讨论。_ .2当x2x 1一 -2 T0时，要使不等式x 1只要2xx2 1解得2x0时，要使不等式恒成立，只要x2 1

32、0时，要使2x 1恒成立，只有x 1。2解法2:可设f (m) (x1)m (2x1),用一次函数知识来解较为简单。11、当1 x 3时，不等式2 ax6 0恒成立，求实数a的取值范围。(七)构造函数，体现函数思想12、( 1990年全国高考题)1x 2x 3x(n 1)x nxaf(x) lg n其中a为实数,n为任意给定的自然数，且2,如果£他)当x (，1时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于x (x c xx x，1,有12 (n 1) n a 0恒成立。2x 1a的范围，可先将a分离出a来，得(1)xn(2)xnn(-1 x-)(n 2),对于x (，1恒成立。g(x)

33、构造函数(-)xn(2)xn(U)xn,则问题转化为求函数g(x)在x这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求上的值域。u(x)由于函数k x(kn1,2,1)在x (，1上是单调增函数,则g(x)在(1上为单调增函数。于是有g(x)的最大值为:1g(1)2(n可得1)o四、同步跟踪练习1、对任意的实数2恒成立，求实数a的取值范围R),12、已知函数f(x) -(mlg(2x 22x m)对任意的x R都有意义，求实数 m的取值范围。cos2 x)对一切实数x2知f (x)是定义在(，解、(1) a=2 ,b=-6. (2)的单调减函数，且f (a sin x) f (a成立，求实数a的取值范围。b 1对于一切实数x当a、b满足什么条件时，关于，2，、(x 1)a x(a 5)2-x的不