圆的重要定理

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段【课前测试】1. PT 切。0于T,CT为直径，D为OC上一点，直线PD交。0于B和A,B在线段PD上，若CD= 2,AD= 3,BD= 4,贝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5 D.【知识点回顾】1 .切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2 .切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引

2、圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3 .弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线AB切。0于P, PC PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5 .弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆角，圆外角。6 .遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7 .与圆有关的比例线段定理 图形相交弦定理相交弦定理的推论切割线定理切割线定理推论圆哥定理证法连结

3、 AC、BD, 证： AP6 DPB.用相交弦定理.连结TA、TB , 证： PTB APAT过P作PT切。0于T,用 两次切割线定理延长P'O交。0于M延 长OP'交。0于N,用相交 弦定理证；过P作切线用 切割线定理勾股定理证已知结论中，AB CD为弦，交 PA- PB= PC- PD.于P.00 中，AB为直径，CDLABPC=PA- PB.于P.00 中，PT 切。0 于 T, PT2=PA- PB 割线PB交。0于APR PD为。0 的两条害U线，PA- PB= PC- PD 交。0于A、C00 中，割线 PB交。0 于 P'C P'D = r2 2A

4、, CD为弦OP'PA- PB= OP r2r为。0的半径8.圆哥定理：过一定点P向。0作任一直线，交。0 于两点，则自定点 P到两交点的两条线段之积为常数| （R为圆半径），因为叫做点对于。0 的哥，所以将上述定理统称为圆哥定理。 【典型例题】例1.如图1,正方形ABCM边长为1,以BC为直径。在正方形作半圆 0,过A作半圆切线，切点为 F,交CD于E, 求DE AE的值。解：由切线长定理知： AF=AB= 1 , EF= CE 设CE为x,在RtADE中，由勾股定理例2.。0中的两条弦 AB与CD相交于 E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,那么C曰 cm=图2

5、解：由相交弦定理，得 AE- BE= CE- DE. AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,即1. CEi= 3cm或 CE= 4cm。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则 。 解：./P=/P/ PAC= / B, . .PA6 APBA又PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得即，故应填PG点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。【课间谜语】经典谜语1 :生在娘家青之绿叶，生在婆家黄皮寡瘦。 不提便罢，一提泪水连连。经典谜语2:溪壑分离，红尘游戏，真何趣？名利犹虚，后事终

6、难继。例4.如图3, P是。0外一点，PC切。0于点C,PAB是。0的割线，交。0于A、B两点，如果PAPB= 1 : 4,PC= 12cm, 00的半径为10cm,则圆心 O到AB的距离是 cm。解：.PC是。0的切线，PAB是。0的割线，且 PA PB= 1 : 4PB= 4PA又PC= 12cm由切割线定理，得.PB= 4X6= 24 (cm)，AB= 246=18 (cm) 设圆心O到AB距离为d cm, 由勾股定理，得故应填。例5.如图4, AB为。0的直径，过 B点作。0的切线BC, OCxOO于点E, AE的延长线交 BC于点D, (2)若AB= BC= 2厘米，求 CE、CD的

7、长。求证：；点悟：要证，即要证 CEDo ACBE证明：(1)连结BEme是的切线=>N黄=Zcbe"。乂 =。宜=/月=AQEA 02A = "ECNc公用角CF paCEDsdCBE =一 => CS =CB * CDCD CEEC是旧。切线'为直径卜 n ZABD 二如"£B = 2 = 08BC=2又，厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5, AB为。0的直径，弦CD/ AB, AE切。0于A,交CD的延长线于E。图5求证：证明：连结BD,.AE切。0 于 A, ./ EAD=

8、 /ABD . AE! AB,又 AB/ CD .AE! CD.AB为。0的直径 ./ADB= 90° ./ E= Z ADB= 90° .AD曰 ABAD. CD/ AB.AD= BC例7.如图6, PA、PC切。0于A、C, PDB为害U线。求证：AD- BC= CD-AB图6点悟：由结论 AD- BG= CD-AB得，显然要证 PAD PBA和PC8 PBC 证明：.PA切。于A, ./ PAD= Z PBA又 / APD= / BPA . .PA APBA同理可证 PCmAPBC PA PC分别切。0于A、CPA= PC .AD- BC= DC- AB例8.如图7,

9、在直角三角形 ABC中，/A= 90° ,以AB边为直径作。0,交余边 BC于点D,过D点作。0的切线交 AC 于 E。图7求证：BC= 20E点悟：由要证结论易想到应证 0E是 ABC的中位线。而 0A= 0B只须证 AE= CE证明：连结0D .ACL AB, AB 为直径 AC为。0的切线，又 DE切。0于D .EA= ED 0DLD E1- 0B= 0DB= Z 0DB在 RtABC中，Z C= 90° -ZB .Z0DE= 90° ./C= Z EDC.ED= EC.AE= EC .0E是ABC的中位线 .BC= 20E例9.如图8,在正方形 ABCD4

10、3, AB= 1,是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边 DC于点F, G为切点。当/DEF= 45°时，求证点 G为线段EF的中点；图8解：由/ DEF= 45° ,得 ./ DFE= /DEF.DE= DFX /AD= DC.AE= FC因为AB是圆B的半径，ADL AB,所以 AD切圆B于点A同理，CD切圆B于点C。又因为EF切圆B于点G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG即点G为线段EF的中点。【经典练习】（答题时间：40分钟）一、选择题1 .已知：PA PB切。0于点A、B,

11、连结AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,则PA=（）A.B.C. 5D.82 .下列图形一定有切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3 .已知：如图1直线MN与。0相切于C, AB为直径，/ CAB= 40° ,则/ MCA的度数（）图1A. 50 °B. 40°C. 60 °D. 55°4 .圆两弦相交，一弦长 8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1: 4,则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5 .在ABC中，D是BC边上的点，AD, BD= 3cm, DC= 4cm,如果 E是AD的延长线与

12、ABC的外接圆的交点, 那么DE长等于（）A.B.C.D.二、填空题7 .ARCD是。0切线，AB/CDEF是。0的切线，它和ARCD分别交于E、F,则/ EOF= 度。8 .已知：00和不在。0上的一点 P,过P的直线交。0于A、B两点，若PA- PB= 24, OP= 5,则。0的半径长 为。9 .若PA为。0的切线，A为切点，PBC割线交。0于日C,若BC= 20,则PC的长为。10 .正4ABC接于。O, M N分别为AR AC中点，延长M岐。0于点D,连结BD交AC于P,则。【课后自测】11 .如图2, 4ABC中，AC= 2cm,周长为8cm, F、K N是4ABC与切圆的切点，

13、DE切。0于点 M,且DE/ AC 求DE的长。图212 .如图3,已知P为。0的直径AB延长线上一点，PC切。0于C, CDLAB于D,求证：CB平分/ DCP图313 . 如图4,已知AD为。0的直径，AB是。0的切线，过 B的割线BMN AD的延长线于 C,且BM= MN= NC 若AB,求。0的半径。【景润的故事】景润不爱玩公园，不爱逛马路，就爱学习。学习起来，常常忘记了吃饭睡觉。有一天，景润吃中饭的时候，摸摸脑袋，哎呀，头发太长了，应该快去理一理，要不，人家看见了，还当他是个姑娘呢。于是，他 放下饭碗，就跑到理发店去了。理发店里人很多，大家挨着次序理发。景润拿的牌子是三十八号的小牌子。他想：轮到我还早着哩。时间是多么宝贵啊，我可不能 白白浪费掉。他赶忙走出理发店，找了个安静的地方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子，背起外文生字来。他背了一会，忽然想 起上午读外文的时候，有个地方没看懂。不懂的东西，一定要把它弄懂，这是景润的脾气。他看了看手表，才十二点半。他想：先 到图书馆去查一查，再回来理发还来得及，站起来就走了。谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了。理