向量组的线性相关与线性无关

1、向量组的线性相关与线性无关1 .线性组合设ai,a2, atRn,k1, k2,ktR ,称k1alk2a2ktat为 a1,a2,at 的一个线性组合。ki j、，一，、一a一，k2、【备注1】按分块矩阵的运算规则，k1al k2a2ktat (a1,a2, ,a) 。这Mkt样的表示是有好处的。2 .线性表示设备电，,at Rn , b Rn,如果存在ki,k2, ,kt R,使得b k1al k2a2ktat则称b可由a1,a2, , Q线性表示。k1k2b卜向 k2a2ktat ,与成矩阵形式，即b (a1,a2, ,at)。因此，b可12 t Mktk1由a且2,出线性表示即线性方程

2、组(a1,a2,同)"b有解，而该方程组有解12 t Mkt当且仅当 r(a1,a2, 自)r(a1,a2, ,at,b)。3 .向量组等价设a冏，自后心，M Rn,如果a1,a2,生中每一个向量都可以由b1,b2, M线性表示，则称向量组a1,a2,自可以由向量组b1,b2, ,bs线性表示。如果向量组a1,a2, ,at和向量组bb2, ,bs可以相互线性表示，则称这两个向 量组是等价的。向量组等价的性质:(1)自反性 任何一个向量组都与自身等价。 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。(3)传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III

3、等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为阚色，,ar ,向量组II为b,b2, ,bs,向量组III为g,c2, ,ct。t向量组II可由III线性表示，假设bjk 1s组II线性表小,假设a,xjibj , i 1,2,j1ss ta Xjibj Xji YkjCkj1j1k1ykjCk, j 1,2, ,So向量组I可由向量,r。因此，ts(ykjXji )ck ， i 1,2, rk1 j1因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同 样可得出，向量组III可由I线性表示。因

4、此，向量组I与III等价。结论成立!4 .线性相关与线性无关设0©, ,at Rn ,如果存在不全为零的数KH, ,kt R ,使得Ka 0则称a1,a2,同线性相关，否则，称&且2, ,at线性无关按照线性表示的矩阵记法，a1,a2, , at线性相关即齐次线性方程组k1,、k2 c(al ,a2, , at )0Mkt有非零解，当且仅当r(a1,a2, ,at) ta1,a2, ,at线性无关，即k1k2 (a®, ,at)0Mkt只有零解，当且仅当r(a1, a2, ,at) t。特别的，若t n ,则ai,a2, ,an Rn线性无关当且仅当r(a1,a2,

5、 ,an) n ,当且仅当(ai,a2, , an)可逆， 当且仅当(&,a2, ,an) 0 °例1.单独一个向量a Rn线性相关即a 0,线性无关即a 0。因为，若a线性相关，则存在数k 0,使得ka 0,于是a 0。而若a 0,由于1a a 0 , 1 0 因此，a线性相关。例2.两个向量a,b Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k1,k2，使得k1a k2b 0。1*2不全为零，不妨假设k1 0,则ak2b ,故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假设存在，使得a b ,则a b 0 ,于是a, b

6、线性相关。R3都可以由其线性表示，且表示1 0 0x1例3. 0 , 1 , 0线性无关，且任意x x2X3方法唯一。事实上,00X2 1X3 001X11XX2X1 0X305 .线性相关与无关的性质(1)若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明:设4冏，向 Rn ,其中有一个为零，不妨假设 为0,则0 al 0 a20 at 1因此，出且，为线性相关。(2)若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2, ,at, 1, 2, , s Rn , a1,a2, ,at线性相关。存在不全为零的数

7、ki, k2, , kt ,使得00 s 0s线性相关。这样,k1, k2k1a1ktat 0kt不全为零，因此a1 , a2 , atktat02后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3)若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的 新向量组仍然线性无关。证明：设ai,a2, ,at Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量，b1,b2,最后一个分量之后，成为ai , a911a21at Kk2kt 1bl 2 b2t bt 则 Kq k2a2ktat 0。由向量组91，92, k1 k2kt 0 o结论得证！ (4)向量组线性相关当且仅当其中有

8、一个向量可以由其余向量线性表示。 证明： 设a1，a2, ,at Rn为一组向量。 , , 9tKa k2a2 k1bl k2b2ktatt t 0ktbt,at线性相关，可以得到ab2btKa 0ki,k2, ,kt不全为零，设kj 0,则kiaikj 同 1 kj 同 1ktataj k充分性若aa2,出中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设aj可以表小成ai,，aji, aji,a的线性组合，则存在一组数ki, kji, kj i, kt,使得ajkiaikj iaj ikj iaj iktat也就是kiaikj iaj iajkj iaj iktat0但ki, , kj i, i

9、,kj i, ,kt不全为零,因此，ai,a2,向线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。(5)若ai,a2, ,at Rn线性无关，b Rn ,使得ai®, ,at,b线性相关，则b可由 ai,a2, ,at线性表示，且表示方法唯一。证明：ai,a2, ,at,b线性相关，因此，存在不全为零的数 匕*2, ,*冗i,使得kiai k2a2ktat kt ib 0kt i 0,否则kti 0,则kiai k2a2匕4 0。由aa2, 向线性无关，我们就得到ki k2kt 0 ,这样，ki,k2, ,kt,kt i均为零，与其

10、不全为零矛盾！这样,kiai k2a2ktatb kt i因此，b可由a1,a2, , a线性表示。彳贸设 b x1al x2 a2殁at y1a1 y2a2ytat ,贝11(xi yi)ai (X2 y2)a2(xt yt)at 0由a®,出线性无关，有为y x? y2为 5 0,即xi yi,x2 y2, ,xt yt因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组ai, ,at线 性表示，则表示法唯一。事实上，向量 b可由线性无关向量组ai,出线性表示，即线性方程组(句, , at)x b有解。而向, , at线性无关，即r(ai, ,at)

11、t。因此,若有解，当然解唯一，即表示法唯(6)若线性无关向量组a1,a2,4可由向量组Db, ,bs线性表示，则t证明:假设结论不成立,于是ai,a2, ,at可由bb, ,bs线性表示。假设aix21b2a2xi2hx22 b2xi2xs2bs(h,b2, ,bs) x22 ,Mxiix2ixsibs(DM,bs)，si s i 2 s Mxs2xitatxit bix2tb2,八，,x si2txstbs (h,b2, ,bs) 一 ，M任取 ki, k2, , kt ,则kak2a2kxl1x12Lx1t由于 x21x22Lx2tM MO MXs1Xs2LXstk1k20，,at)(hb

12、,Mkt为一个s t阶矩阵，而tX11X12LX1tX21X22LX2tXMMOMXs1Xs2LXstX11X12LX1tk1X21X22LX2tk2,bs)MMOMMXs1Xs2LXstkts,因此，方程组k1必有非零解，设为k2M kt00因此，存在一组不全为零的数k1,k2, ,kt,使得k1al k2a2ktat 0。因此，向量组a1,a2, ,at线性相关，这与向量组a1,a2, ,at线性无关矛盾！因此，t s。(7)若两线性无关向量组a1,a2,向和匕电，bs可以相互线性表示，则t s证明：由性质(6), t s, s t,因此，s t o【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个

13、数一样。(8)设备电，,at Rn, P为n阶可逆矩阵，则&且2,仇线性无关当且仅当Pa1，Pa2, ,Pat线性无关。b可由a1,a2,出线性表示，当且仅当Pb可由Pa1,Pa2, ,Pat线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。证明:由于P可逆，因此k1a1k2a2kt at0P(k1al k2a2kta) 0K(Pa) k2(Pa2)kt (Pat) 0k1al k2a2ktat bP(ki&K(Pa) k2(Pa2)ktat) b kt(Pat)Pb如此，结论得证!6.极大线性无关组定义1设ai,a2, ,at Rn ,如果存在部分向量组 a出2, ar ,使得(1)

14、 ah, ai2,电线性无关； ai,a2,A中每一个向量都可以由ah,ab, ,air线性表示；则称a%，为a1,a2,仇的极大线性无关组。【备注5】 设a0，,at Rn , 2八尾，风为其极大线性无关组。按照定义，a1,a2, ,at可由风，劭，间线性表示。但另一方面，ah, ai2, ,ar也显然可以由a1,a2, ,at线性表示。因此，a1, a2, , a与a%,即，用等价。也就是说，任何一 个向量组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个， 但都与原向量组等价，按照向量组 等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性 无关的，因此，由

15、之前的性质(7),向量组的任意两个极大线性无关组含有相同 的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关 组的选取无关，我们称其为向量组的 秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所 含的向量个数。【备注6】按照定义，向量组a1,a2,出线性无关，充分必要条件即其秩为t。定义2设a1,a2, ,at Rn ,如果其中有r个线性无关的向量 耳目2, ar ,但没有 更多的线性无关向量，则称ah, ai2, ,%为a1,a2, ,at的极大线性无关组，而r为 a1,a2, , at 的秩。【备注7】定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。 一方面，有r个线性无 关的向量，体现了

16、 “无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果 ai1,a2, ,ar线性无关，且ai,a2, ,at中每一个向量都可以由 气邑，ar线性表示，那么，ai©, ,a就没 有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为 bi,b2, ,bs, s r 0 bi,b2, ,bs当然 可以由aii©2，电线性表示，且还线性无关，按照性质(6), s r,这与假设矛盾！另一方面，假设a，ai2, ar为ai,a2, ,at中r个线性无关向量，但没有更多 的线性无关向量，任取a1,a2, ,at中一个向量，记为b ,则向仔即，

17、ai，b线性相 关。按照性质(5), b可有%, , 凡线性表示(且表示方法唯一)。【备注9】设向量组用a2, , at的秩为r ,则其极大线性无关向量组含有r个向量反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是ai,a2,出的一个极大线性无关组。这从定义即可得到6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵A的行秩 定理i任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩 证明:设A (aj) Rm n , r(A) r。将其按列分块为A 0，aj。存在m阶可逆矩阵P ,使得PA为行最简形，不妨设为10 L 0 n,r+i Lb1m1 L 0b2

18、,riLb2,nPA (Pai,Pa2, ,Pan)0MM L M1br,r i Lbr,n00L00L0LLLL L LL00L00L0100010MMM0,0, , 1线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此，000MMM000100010MMM0,0, , 1为PA的极大线性无关组，其个数为r ,因此，a1,a2, ,a线性无000MMM000关，且A中其余列向量均可由其线性表示（且表示的系数不变）。因此，A的列秩 等于A的秩。bT将A按行分块，A M，则AT （b,b2, ,bm）,因此，按照前面的结论，A £的行秩为AT的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明

19、完毕！【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7 .扩充定理定理2设a1,a2, ,at Rn ,秩为r , a§, a2, ,aik为其中的k个线性无关的向量，k r ,则能在其中加入a1,a2,仇中的（r k）个向量，使新向量组为a1,a2, a的 极大线性无关组。证明：如果k r ,则ai1, a2, ,aik已经是a1,a2, a的一个极大线性无关组，无须再 添加向量。卜不是a1,a2, ,at的一个极大线性无关组，于是,Ma2, ,at必有元素不能由其线性表示，设为aik 1 ,由性质(5),向量组ai1 , ai2 , aik , aik 1 线性无关。

20、如果k 1 r ,则ai1,a2, ,aik,aikl已经是a1,a2, ,at的一个极大线性无关组，无须再添加向量。如果k 1 r ,则为,电，ak, aik 1不是a1, a2,生的一个极大线性无关组，于是，ai,a2, ,at必有元素不能由其线性表示，设为 劭？，由性质(5),向量组aii , ai2 , aik , aik i , aik 2 线性无关。同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法 并不好实现。8 .求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组a1,a2, at Rn的极大

21、线性无关组，可以按照下面的办法来实现。将a1,a2, at合在一起写成一个矩阵 A 0，a);(2)将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为bn b12 Lb1r0 b22Lb2rM LOMA 00 Lbrr00L0MLLM00L0bi,r 1Lbi,nb2, r 1Lb2, nMLMbr,r1Lbr,nB, b.0L0MLM0L00,i 1,2, ,r , r r (A)(3)在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为j1,j2, ,jr歹I，则j1,j2, ,jr为B 列向量组的极大线性线性无关组， 也是A列向量组的极大线性线性无关组， 也就 是a1, a2, at的极大线性无关组。r阶的为了在上