传染病模型SISIR

1、数学模型实验一实验报告10学院： 专 业：姓 名：学号： 实验时间： 实验地点：、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。模型一(SI模型)：(1)模型假设1 .在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变

2、，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s (t)和i (t)。2 .每个病人每天有效接触的平均人数是常数a, a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。(2)建立模型根据假设，每个病人每天可使 as (t)个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni (t),所以每天共有aNs (t) i (t)个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi又因为 s (t) +i (t) =1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为：diai (1 i)dti(0)=i0(3)模型求解(代码、计算结果或输出结果)syms a i t i0% a：日接触率，i：病人比

3、例，s：健康人比例，i0 ：病人比例在t=0时的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,);ezplot(y,0,100)figure i=str2double(i); i=0:1;y=*i.*(1-i); plot(i,y)!ile till Iltr IM:蜂 Ilii Hdpm E 网 &坐厨 > D.t 12 0.3 0.4 Q5 0.6 07 Q6 D.9SI模型的it曲线SI模型的di/dti曲线(4)结果分析由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增

4、大的，且在i=时，取到最大值，即在 t->inf时，所有人都将 患病。上述模型显然不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS模型模型二(SIS模型)(1)模型假设假设条件与SI模型相同；3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数u,成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/u是平均传染期。(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s(t)=1 ;则有：di/dt=ai(1-i)-ui在此定义k=a/b,可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数。 则建立好的模型为：di一 aii (1 1/k) dt

5、i(0)=i0;(2)模型求解(代码、计算结果或输出结果)> > syms a i u t i0 % a：日接触率，i:病人比例，u:日治愈率，i0 :病人比例在t=0时的值> > dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')% 求用 u 表示的 it 解析式> > syms k% k ：接触数> > k=a/u;> > i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t&

6、#39;)% 求用 k 表示的 it 解析式%给k、a、i0指定特殊值，作出相关图像> > y=subs(i,k,a,i0,2,);外卜"的情况，以 k=2 为例> > ezplot(y,0,100)>>pause%作it图，分析随时间t的增加,i的变化> > gtext('1/k')> >legend('k>1 本例中 k=2')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:1;> > y=*i.*i-1/2;&

7、gt; > plot(i,y)%作 di/dt-i 的图像> > gtext('1-1/k,在此图中为')为女力的情况，以k=为例%作i t图，分析随时间t增加，i的变化> > legend('k=2')> > y=subs(i,k,a,i0,);> > ezplot(y,0,100)> > legend('k<1 本例中 k=')>>figure> > i=str2double(i);> > i=0:1;> > y=*i.*i

8、-(1-1/;> > plot(i,y)>> legend('k=')> > gtext('k<=1 时的情况)SIS模型的di/dt-i曲线 (k>1)SIS模型的i-t曲线(k>1)fit Eitd 工工，Jnwrl lanls DsikkspHripnwH占图我时学*二口尾 口I 。1 02 0 3 0 4 OS 06 H IB D9 1SIS模型的di/dti曲线 (k<1)SIS模型的it曲线(k<1)(4)结果分析不难看出，接触数 k=1是一个阈值，当k>1时，i (t)的增减性取决于i

9、0的大小，但其极限值 i(oo)=i-i/k随k的增加而增加；当 k<=1时，病人比例i (t)越来越小，最终趋于 0,这是由于传染期 内经有效解除从而使健康者变为的病人数不超过原来病人数的缘故。模型三.SIR模型(1)模型假设1 .总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称 SIR模型。时刻t三类人在总人数N中占得比例分别记作s(t)，i(t)和r(t)。2 .病人的日接触率为，日治愈率为(与SI模型相同)，传染期接触数为(2)模型建立由假设1显然有s(t) i(t) r(t) 1(1)对于病愈免疫的移出者而言应有drN dtNi(2)再记初始时刻的健康者和病人的比例

10、分别是 模型的方程可以写作s0(s0>0)和i0(i0>0)(不妨设移出者的初始值r0=0),则SIRdi dt ds dtsi i,i(0) t0si, s(0)s0(3)(3)模型求解我们无法求出解析解，先做数值计算:1,0.3,i(0) 0.02, s(0) 0.98,用MATLAB软件编程:function y=ill (t, x)a=1;b=;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=,；t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pa

11、useplot(x(:,2),x(:,1)表1i(t),s(t)的数值计算结果i(t),s(t)的图形is图形(相轨线)(4)结果分析Mtqt)的图形见左图，is的图形见右图,称为相轨线，随着t的增加，(s/)沿轨线自右向左运动。由上图结合表1可知，i(t)由初值增长至约t7时达到最大值，然后减少，t 40; s(t) 则单调,s 0.0398ti(t)012345678s(t)t91015202530354045i(t)0s(t)进行相轨线分析，可得:s-i平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（S）D为D (s,t)|s 0,i 0,s i 1在方程（3）中消去出，并注意到的定义，可得d

12、i 1 d 1dt s 11s S0 i0(4)容易求出它的解为1 . si(So I。) s ln 一So(5)在定义域D内，上式表示的曲线即为相轨线1.不论初始条件S0,i°如何，病人终将消失，即(6)dsdr其证明如下，首先，由（3）, dt而s0故s存在；由（2）, dtI而1 ,故r存在,dr再由（1）,对于充分大的t有dt2 ,这将导致，与r存在相矛盾。2 .最终未被感染的健康者的比例是，在（5）式中令i 0得到，s是方程S0io1 . s 八s 一 ln 0 So在（0,1/）内的根。在图形上，s是相轨线与s轴在（01/ ） 内交点的横坐标。3 .若 s01/ ，则i（

13、t）先增加，当s 1/ 时,i（t）达到最大值iSo1io(1 ln So)(8)然后i（t）减小且趋近于0, s（t）则单调减小至S4 .若So1/ ，则i（t）单调减少至0, s（t）单调减少至sO如果仅当病人比例 i有-一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/是一个阈值，当s0 "（即1/So）时传染病就会蔓延。而减小传1/S。），传染病就不会蔓延（健康者比例的染期接触数，即提高阈值1/ ，使得s0 1/ （即初始值So是一定的，通常可认为 s0接近1）。并且，即使So 1/ ，从（7）, （8）式可以看出， 减少时，s增加（通过作图分析），im降低，也 控制了蔓延的程度，我们注意到，在/中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率 越大，于是 越小，所以提高卫生水平和医疗水平有