初中数学竞赛专题：组合计数

1、初中数学竞赛专题:组合计数23.1加法原理和乘法原理23*有800名乒乓球选手参加淘汰赛,需要进行多少场比赛才能决出冠军？解析由于每场比赛淘汰一名选手,即比赛的场数与被淘汰的选手人数是相等的.要决出冠军, 需淘汰799名选手,所以需要进行799场比赛.23.1.2*一个小朋友有8块相同的巧克力(即不计顺序)，他每天至少吃一块,直至吃完,问共 有多少种不同的吃巧克力的方案？解析 将8块巧克力排成一行.如果笫一天吃2块,第二天吃1块那么,就在笫2块后面画 一条竖线,这后面的第1块的后面(即第3块的后面)画一条竖线这样,吃巧克力的方案就与在8块巧克力的7个空隙里添加竖线对应起来.I于每个空隙里加以加

2、1根竖线,也可以不加,所以,山乘法原理知,加竖线的方法共有2×2×.×2 = 27 =128 (种).从而吃巧克力的方案也就有128种.23.3 有多少个有序整数对(X, y )满足 + r5?解析我们把这个问题分成6种情况2+), =. = o,1,2,5.当F+F"时，a,)= (0,0)；当 x2+r =1 时,(X, y )=(0,-1 ),(0, y ),(1,0),(-1,0)；当x2+y2=2 时1),(1,_1 ),(1,1);当+,y2=3时,不可能；当F+ y2 =3时,不可能；当 x2+y2=4 时,(X, y )=(0,-2),(

3、0,2),(-2,0),(2,0);当x2+y2=5 时,(x,y)=(-2,-1),(-24),(-L-2),(-1,2),(1,-2),(1,2),(2,-1 ),(2,1)山加法原理知,满足题设的有序数对共有1 + 4+4+0+4 + 8 = 21 (个).23.1.4利用数字1、2、3、4、5共可组成(1) 多少个数字不重复的三位数？(2) 多少个数字不重复的三位偶数？(3) 多少个数字不重复的偶数？解析 (1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择,所以共有5×4×3 = 60 个数字不重复的三位数.（2）先选个位数,共有两种选择:2或4.在个位数选

4、定后,十位数还有4种选择；白位数有3种 选择.所以共有2×4×3 = 24个数字不重复的三位偶数.（3）分为5种情况:一位偶数,只有两个：2和4.二位偶数,共有 8 个:12,32,42,52,14,24,34,54.三位偶数由上述（2）中求得的为24个.四位偶数共有2×（4×3×2） = 48个.括号外面的2表示个位数有2种选择（2或4）.五位偶数共*2×（4×3×2×l） = 48个.山加法原理,偶数的个数共有2 + 8 + 24 + 48 + 48 = 130 （个）.23.5从1到300的正整数中

5、,完全不不含有数字3的有多少个？解析1将符合要求的正整数分为以下三类：（1）一位数,有1、2、4、5、6、7、8、9共8个.6、7、8、9八种情形,在个位上出现的数字 除以上八个数字外还有0,共9种情形,故二位数有8x9 = 72个.（3）三位数,在百位上出现的数字有1,2两种情形,在十位、个位上出现的数字则有0、1、2、4、5、6、7、8、9九种情形,故三位数有2×9×9 = 162个.因此从1到300的正整数中完全不含数字3的共有8÷ 72 + 162 = 242个.解析2将0到299的整数都看成三位数,其中数字3不出现的,白位数字可以是0、1或2三种 情况,

6、十位数字与个位数均有九种,因此除去0共有3×9×9-l=242个.23.1.6* 一个班级有30名学生.（1）从中选出2人,一个担任班长,一个担任副班长,共有多少种不同的选法？（2）从中选2个人去参加数学竞赛,有多少种不同的选法？解析 （1）从30个人中选1个人担任班长,有30种选法,再从剩下的29个人中选1个人担任 副班长,有29种选法,则山乘法原理知,共有不同的选法为30x29 = 870 （种）.（2）从30个人中选两人有30 x 29种选法,但由于选出甲、乙去比赛和选出乙、中去比赛是相同 的情况,因此不同的选法共有= 435 （种）.2237在小于IOOoO的正整数

7、中,含有数字1的数有多少个？解析 不妨将1至9999的正整数均看作四位数,凡位数不到四位的正整数在前面补0,使之成 为四位数.先求不含数字1的这样的四位数共有儿个,即有0、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字所组 成的四位数的个数,由于每一位都有9种写法,所以,根据乘法原理,山这九个数字组成的四位数 个数为9×9×9×9 = 6561 .其中包括了一个OOOo,这不是正整数,所以比IOooO小的不含数字1的正整数有6560个,于是,小于IOOOO且含有数字1的正整数共有9999 - 6560 = 3439个.23.1.8在1到9999中,有多少个整数与4567

8、相加,至少在一个数位中发生进位？解析 将0到9999这IoOOo个整数都看成四位数,即位数不中四位的,在左面添0补足四位. 考虑这些四位数中,有多少个在与4567相加时不发生进位.这样的数,千位数字有0、1、2、3、4、5这6种可能;百位数字有0、1、2、3、4这5种可能; 十位数字有0、1、2、3这4种可能；个位数字有0、1、2这3种可能.所以这样的数共有 6×5×4×3 = 360 （个）.其中包括0.所以,在1到9999中,与4567相加产生进位的整数有I（XXX）-360 = 9640 （个）.23.1.19*在1到1999这1999个自然数中,取4的倍数

9、与7的倍数各一个相加,一共可得到多 少个不同的和.解析 在1到1999这1999个自然数中,有4的倍数499个,它们是4,8,12,1992,1996：有7 的倍数285个,它们是7,14,21,1988,1995.可得到的和最小为7+4 = 11,最大为1996 + 1995 = 3991, 介于11至3991之间的自然数,有一部分得不到.例如:12、13、14、16、17、20、21、24、28不能得到,下面能依次得到29 = 21 + 8,30 = 14 + 16,31 = 7 + 24,32 = 28 + 4,33 = 21 + 12,34 = 14 + 20,35 = 7 + 28,

10、36 = 28+8,反过来,不能得到的数还有3990、 3989、 3988、 3986、 3985、3982、 3981、 3978、 3974.不能得到的数共有9 + 9 = 18 （个）.所以可得到的不同的和共有(3991-11 + 1)-18 = 3963 (个).2.3.1.10*600有多少个不同的正约数(包括1和600) ?解析将600质因数分解,有6 = 23×3,×52.一个正整数川是600的约数的弄要条件是M具有2"x3*亍的形式,其中“、/八C是整数且 03,071,0c2.由于 有 4(=3 + 1)种选择:0、1、2、3； b 有 2(=

11、1 + 1)种选择:0、1； C 有 3(=2 + 1)种选择：0、1、2,故由乘法原理知,这样的加有4×2×3 = 24 (个).评注一般地,若一个正整数“的质因数分解式为M = PrP22,rr 其中"S,.",几是互不相同的质数。心,是正整数,则“的不同正约数的个数为(1+l)(2+l).(r+l).23.1.在20000与70000之间,有多少个数字不重复的偶数？解析设赢忑是满足要求的偶数,那么只能取2、3、4、5、6,e只能取0、2、4、6、8.(1) 若“取2、4、6之一,即"有3种选法,此时e有4(=5-1)种选法,/八c、d分别

12、有8、7、6 种选法,由乘法原理知,不重复的偶数有3×4×8×7× 6 = 4032 (个).(2) 若“取3、5之一,则有2种选法,e有5种选法,b、c、分别有8、7、6种选法,由乘法原理知,此时不重复的偶数有2×5×8×7×6 = 3360 (个)最后,山加法原理知,满足题意的偶数共有4032 + 3360 = 7392 (个).评注在很多计数问题中,都是加法原理和乘法原理结合在一起用的.23.1.12求至少出现一个数字6,而且是3的倍数的五位数的个数.解析 设满足要求的五位数为莎忌.由于3整除硕亦的充要条件是

13、3同+“2 +屿+«4 +,所以分情况讨论如下：(I)从左向右看,若最后一个6出现在第5位,即“严6,则心、“3、5可以从0,1,2,9这10个 数字中任取1个,为了保证3”+C-+“3+q+"s ,"i只有3种可能(例姒CII + ai + Ui + a5 = (mod3), 则".只能取2,5,8之一,等等），曲乘法原理,五位数中最后一位是6,且是3的倍数的数有 3×10×10×10 = 30 （个）.（2）从左向右看,最后一个6出现在第4位,即“严6,于是y只有9种可能（因为色工6）心、© 各有10种可能,为

14、了保证3同+勺+他+6 +他宀只有3种可能,由乘法原理,这一类的五位数有 3×9×10×10 = 27 （个）.（3）从左向右看,最后一个6出现在第3位,即他=6,则心、“5均有9种可能,“2有10种可能,q有 3种可能,这类五位数有3×9×9×10 = 2430 （个）.（4）从左向右看,最后一个6出现在第2位,“2=6,则心、©均有9种可能,q有3种可能, 所以这类五位数有3×9×9×9 = 2187 （个）.（5）从左向右看,最后一个6出现在第1位,即“严6,则、-均有9种可能,为了保证

15、3t1 +他+，5只有3种可能,从而这类五位数有3×9×9×9 = 2187 （个）.最后,由加法原理知,五位数中至少出现一个6,且是3的倍数的数有3（X）0+27+2430 + 2187 + 2187 = 12504 （个）.23.1.13*将123,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数 之和都能被这三个数中的第一个数整除,问:满足要求的排法有多少种？解析设吗，“2,他宀，他是123,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于4®,仆不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾. 乂如果Ul（I3）是偶

16、数“+.是奇数,则是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以 上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以5,宀,5,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5:2,3,5,4,1:2,5,1,4,3: 4,3,1,2,5: 4,5,3,2,1.23.1.14由35个单位小正方形组成的长方形中,如图所示,有两个，问包含两个“*” 在内的小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个？*解析含两个“”的矩形,与第二、三两行有公共部分.它们可能与第一行有公共部分,也可 能没有公共部分,即分为两类：每一类中的矩形,可能与四、五两行都有公共部分,或都没有公共部分,或仅与第四

17、行有公共部分 而与笫五行没有公共部分,即乂分为三类,这样,从行考虑共有2x3 = 6类.同样,考虑列,矩形可能与第一、二列都有公共部分,或都没有公共部分,或仅与笫二列有公共部分, 共三类.而与第五、六、七列的关系则有四列(都有公共部分,都没有公共部分,仅与第五列有公 共部分,与第五、六列有公共部分而与第七列无公共部分).所以,由乘法原理,含两个“*”的矩形共有2×3×3×4 = 72 (个).23.1.15*设有红、黑、白三种颜色的球各10个.现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求 每个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等,问共有多少种放法.

18、解析 设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为x、y、z,则有lWx、八z9,H>,z = (10-x)(10->,)(10-z),即XyZ = 500 - 50(X + y + z) + 5(xy + yz + ZX),于是有5rn .因此x,y,z中必有一个取5.不妨设a=5,代入(1 )式,得到y + z = 10 .此时,y可取1,2,&9 (相应地Z取9,&,2,1),共9种放法.同理可得y = 5或者z = 5时,也各有 9种放法,但有= z时两种放法重复.因此可得共有9x3-2 = 25种放法.23.1.16* 设正整数和g互质.问:有多少个非负整数“不能

19、表示成px + (A-和y是非 负整数)的形式？解析首先,由于p、q互质,所以下面g个数n ,n-p,n-2p,n-(c-)p除以"所得的余数不同.事实上,T H -ip = n- jp(InOdt),0 z < J -1,则(丿T) = O(InOdq) ,g(j-i)p ,fi以彳卩-i,矛盾 所以这Q个数中一定有一个除以“余数为0,设这个数为n-Ap,0xfz-l,于是可设n-xp = qy, 即PX + Py = H恰有一组满足Ox<-l的整数解(x,y ).设“与数组(x,y)依上述规律对应,即 = p- + ,Oxr-l.与yNO的数组(x,y)春风一 度的整

20、数“称为“好的”；否则称为“坏的”.若n 与(x,y)对应,即" = zx + q ,0x Wg-1,则PCl-Pqn = pc- pq pxcjy= P(-I-X)+ (->'-l).因为OW § 1 -XWq 1 ,且y与-y-l中恰有一个是非负的,所以,PCl-P-q-n与(q-x-y- )对应,且"与Pq-P-qn 中恰有一个是好的,一个是坏的.所以在0,1,2,刖-O-号中好数与坏数一一对应,从而其中的 坏数有V屮 *-1)(心)(个)当“<0,则“是坏数(显然y<0),故大于IXI-P-q的数均为好数.由此得坏数即不能表为px

21、 + qy (.v,y为非负整数)的非负整数“有i(p-l)-l)个.23.1.把1,2,3,2012这2012个正整数随意放置在一个圆周上,统计所有相邻三个数的 奇偶性得知:三个数全是奇数的600组,恰好两个奇数的有500组,问:恰好一个奇数的有儿组？全 部不是奇数的有儿组？解析 设恰好1个奇数的有X组,则全部不是奇数的有2010 -600 - 500-；=912-.将圆周上的数从某个数开始,依次计为x1, a-2 ,x2012,令(-1,当兀为奇数时,Z = U 为偶数时，则 y, + v2+ y2012 = 0,再令 4 =耳 + 片+2- 3,当石,XM, XM全为奇数时_ -l,.,

22、Ar.+1,x1+好2个奇数时1,当兀,X却,兀+2恰好一个奇数时3,当斗,和必+2全为偶数时其中 212+/ =XiJ = ,2,于是0 = 3(,÷y2+ + 2)=+A,+. + A2oi,= 3x600-500 + x + 3(912-x),解得 *218.恰好一个奇数的有218组,全部不是奇数的有912-218 = 694组.23.2儿何计数23.2. !如图所示,数一数图中有多少条不同的线段？解析 对于两条线段,只要有一个端点不同,就是不同的线段,我们以左端点为标准,将线段分5类分别计数;(1)以A为左端点的线段有M、AD. AE. AF 共 5 条;(2)以3为左端点的

23、线段有BC、BD、BE、3”共 4 条;(3)以C为左端点的线段有3、CE、CF共3条;(4)以D为左端点的线段有DE、DF共2条;(5)以E为左端点的线段只有必一条.所以,不同的一线段一共有5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (条)评注般地,如果一条线段上有+ 1个点（包括两个端点）那么这 + 1个点把这条线段一共分成的线段总数为“ +（1）+ .+ 2 + 1 =空异.2322如果一条线段初上有“个点（不包括两个端点A和3）.它们共有210条不同的线段, 求"的值.解析 线段初上共有“ + 2个点（包括端点），所以不同的线段有匕二1丫二“条.所以 2O2解得” =19

24、2323 图中有多少个三角形?解析以OA为一边的三角形有 M4B OAC . AOAD. AOAE. ZQ4F共5个；以OB为一边的三角形还有4个（前面已计数过的不再数,下同），它们是ZOBC AOBD. AOBE. ZXOBF ； 以OC为一边的三角形有AOCD AOCE. AOCF共3个；以OD为一边的三角形有ZXODE、 ODF共2个；以OE为一边的三角形有HoEF个、所以,共有三角形5 + 4+3 + 2 + 1 = 15 （个）. 23.2.4 图中一共有多少个长方形？解析图中长的一边有5个分点（包括端点）,所以,长的一边上不同的线段共有1 + 2 + 3+4 = 10（条），同样,

25、宽的一边上没的线段也有io条.所以,共有长方形10×10 = l （个）.23.2.5 图中所有长方形的面积和是多少？解析因为长的一边上的10条线段分别为5、17、25、26、12、20、21、8、9、1,宽的一边上的10条线段长分别为2、6. 12、16. 4、11、14、7、10、3,所以,所有长方形面积和为(5×2 + 5×6 + + 5×3) + (17×2 + 17×6 + +17×3) + .+ (l×2 + l×6 + +lx3) = (5 +17+ . + l)×(2 + 6 +

26、 . +13) = 144×86 = 12384.23.2.6* 图中有多少个三角形？解析把图中最小的三角形看作基础三角形,分类计数含1个基础三角形的三角形共有16个;含2个基础三角形的三角形共有16个;含4个基础三角形的三角形共有8个；含8个基础三角形的三角形共有4个； 因此,图中共有三角形16 + 16+8 + 4 = 44 （个）.23.2.7* 图中有多少个梯形？解析 设图中An的长为1个单位.先计算底与3C平行且上底小、下底大的梯形的个数. 下底长是5的梯形有4x1=4 （个）（即梯形BC/, BCHG、BCFE、BCDA ）.下底长是4的梯形有3x3 = 9 （个），其中

27、下底可为皿,KC,对于每一个这样的下底、上底都 有三种可能.类似地,下底的长为3的梯形有2×（3 + 2 + l） = 12 （个）.下底的长为2的梯形有l×（4 + 3 + 2 + l） = 10 （个）.因此,底与BC平行且下底大于上底的梯形有4 + 9 + 12 + 10 = 35 （个）.再计算底与BC平行且下底大于上底的梯形有4 + 9 + 12 + 10 = 35 （个）.再计算底与BC平行且上底大于下底的梯形,易知有1 + 4+6 = 11 （个）底与M平行,且左边底大于右边底的梯形有6 + 10+9 = 25个；左边底小于右边底的梯形有1 + 3 + 7 =

28、 11个,因此共有25 + 11 = 36 （个）.底与CD平行的梯形也有36个.所以,图中共有梯形35 + 11 + 36 + 36 = 118 （个）.评注 本题“分类”要全,不要遗漏了底与初或CD平行的梯形.23.2.8* 图中共有多少个三角形？解析 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形 双可分为6类：最大的三角形1个（即AABC）；第二大的三角形有1 + 2 = 3 （个）；第三大的三角形有1 + 2 + 3 = 6 （个）；第四大的三角形有1 + 2+3+4 = 10 （个）；第五大的三角形有1 + 2 + 3+4+5 = 15 （个）；最小的

29、三角形有1 + 2 + 3+4+5+6 + 3 = 24 （个）.注意在 SC外面还有三个最小的尖向上的三角形（左、右、下各一个），所以最小的三角形 不是21个而是24个.于是尖向上的三角形共1 + 3+6+10+15 + 24 = 59 （个）.图中共有三角形59x2 = 118 （个）.23.29* 图中有多少个等腰直角三角形？456XX×XXXXXXXXXX解析图中有5×5+4×4=41个点.在每点标一个数,它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数.因此由对称性,共 有等腰直角三角形4×8 + 5×16 + 6×4+10&#

30、215;4+8×4 + ll×4 + 16×l = 268 （个）23.2.10* （1）图（a）中有多少个三角形？（2）图（b）中乂有多少个三角形？解析 （1）图（a）中有6条直线一般来说,每3条直线能围成一个三角形,但是这3条直线 如果相交于同一点,就不能围成三角形了.从6条直线中选3条,有i = 20种选法,每次选出的3条直线围成一个三角形,但是在图（a） 6中,每个顶点处有3条直线通过,它们不能围成三角形,因此,共有20-3 = 17个三角形.（2）图（b）中有7条直线,从7条直线中选3条,有公空=356种选法.每不过同点的3条直线构成一个三角形.（b）中

31、,有2个顶点处有3条直线通过,它们不能构成三角形,还有一个顶点有4条直线通过,因 为4条直线中选3条有4种选法,即能构成4个三角形,现在这4个三角形没有了,所以,图（b） 中的三角形个数是35 - 2 - 4 = 29 （个）.评注 从6条直线中选3条,第一条有6种选法,第二条5种选法,第三条有4种选法,共有6×5×4 种选法,但是每一种被重复计算了 6次,例如i,i2,21 i72,1实际上是同一种,所以,不 同的选法应为2空=20种.623.2.1问8条直线最多能把平面分成多少部分？解析 1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多 将平

32、面分成7个部分；再在添上第4条直线,它与前面的3条直线最多有3个交点,这3个交点 将笫4条直线分成4段,其中每一段将原来所在平面部分一分为二,如图,所以4条直线最多将平 面分成7 + 4 = 11个部分.完全类似地,5条直线最多将平面分成11+5 = 16个部分；6条直线最多将平面分成16 + 6 = 22个部 分；7条直线最多将平面分成22 + 7 = 29个部分；8条直线最多将平面分成29 + 8 = 37个部分.评注 一般地,“条直线最多将平面分成2 + 2 + 3÷. + n = l(+n + 2)个部分.23.2.12平面上5个圆最多把平面分成多少个部分？解析 1个圆最多能

33、把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能 把平面分成8个部分；现在加入第4个圆,为了使分成的部分最多,第4个圆必须与前面3个圆 都有两个交点,如图所示.因此得6个交点,这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧,而每一 段圆弧将原来的部分一分为二,即增加了一个部分,于是,4个圆最多将平面分成8 + 6 = 14个部分.同样道理,5个圆最多将平面分成14 + 8 = 22个部分.所以,5个圆最多将平面分成22个部分.说明用上面类似的方法,可以计算出“个圆最多分平面的部分数为2÷1×2÷2×2÷ + (-1)×2= 2

34、 + 2l + 2 + + ("-l)=H2 -H+ 2 .23.2.13*平面上5个圆和一条直线,最多能把平面分成多少个部分？解析 首先,由上题可知,平面上5个圆最多能把平面分成22个部分,现在加入一条直线,由于一 条直线最多与一个圆有两个交点,所以一条直线与5个圆最多有10个交点.10个点把这条直线 分成了 11段,其中9段在圆内,2条射线在圆外,9条在圆内的线段把原来的部分一分为二；圆外 只增加了一个部分.所以,总共增加了 10个部分.因此,5个圆和1条直线,最多将平面分成22 + 10 = 32个部分.23.2.14三角形ABC内部有2008个点,以顶点A、B、C和这2008

35、个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形?AA解析 设 WC内部的“-1个点能把原三角形分割成Cj个小三角形,我们考虑新增加一个点 PIt之后的情况：(1) 若点出在某个小三角形的内部,如图(a),则原小三角形的三个顶点连同P”将这个小三角形一 分为三,即增加了两个小三角形；(2) 若点Pfr在某两个小三角形公共边上,如图(b).则这两个小三角形的顶点连同点P“将这两个小 三角形分别一分为二,即也增加了两个小三角形.所以,ZC内部的“个点把原三角形分割成 的小三角形个数为=n-I + 2 易知° =1,于是«1 =CI0+2,U2 = " + 2 ,“”= an

36、,l + 2 .将上面这些式子相加,得°=2 + 1 所以,当" = 2008时,三个顶点A、B、CD和这2008个内点能把原三角形分割成2×28 + l=4017 个小三角形.23.2.15*平面上有IOO条直线,其中有20条是互相平行的,问这IOO条直线最多能将平面分 成多少部分？解析1首先,这20条平行线将平面分成21个部分.设另加上R条直线,连同这20条平行线最多可将平面分成©个部分,则=Uk + 21 + R 这是因为当再加入第R + 1条直线后,它与前20 + R条直线最多有20 + «个交点,从而这条直线被分 成了 20 + R

37、+ l=21 + k段(其中有两段是射线)，每一段将原来的部分一分为二,即增加了 21 + R个 部分.所以竹_ ST=21 + 仏一1),UI UX = 21 +1,把上面的后R-1个等式相加,得Clk =Ul +21(-l) + (-l) .易知绚=42,故k + 2.所以¾0 = 42 + 2121 +沙伙-1)1 41-×8O2+-×80 + 21=48612 2所以,这IOO条直线最多将平面分成了 4861个部分解析2解法1是先从平行线入手,现在我们先从80条互不平行的直线入手一般地,设平面上k 条直线最多可将平面分成你个部分,则（见题23.2.11） = l×802+-×80+l = 3241 2 2所以,80条直线最多将平面分成3241个部分.现在再加入平行线.每加入一条平行线,它与前面的直线最多有80个交点,从而增加