五年级奥数.几何.五大模型(B级).学生版

1、知识框架、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；SS 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD；反之，如果 SACD S BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等， 面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等， 面积比等于它们的高之比二、共角定理（鸟头定理） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于

2、对应角 （相等角或互补角 ）两夹边的乘积之比 SABC : S ADE （AB AC）:（AD AE）(2)(3)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系 （ “蝴蝶定理 ”：） S1 :S2 S4 : S3 或者S1S3S2S4 AO:OCS1S2:S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系DMSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .几何 . 五大模型（ B 级） .学生版Page 9 of 13梯形中比例关系 （ “梯形蝴蝶定理 ”：）22S1 :S3

3、a :b S1 :S3 :S2 : S422a :bab:ab ； S 的对应份数为2 abC（二 ） 沙漏模型四、相似模型（一）金字塔模型AD AE DE AF AB AC BC AG ；S ADE ： S ABCAF2 : AG2所谓的相似三角形， 就是形状相同， 大小不同的三角形 （只要其形状不改变， 不论大小怎样改变它们都相似 ），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三

4、角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理：设直线AB 与 PQ 交于点 M ，则S PABS QABPMQM特殊情况：当 PQAB 时，SPAB=SQAB例题精讲、鸟头定理11例 1】 如图 16-4，已知 AE= AC ，CD= BC，54BF= 1 AB ，那么6三角形 DEF 的面积三角形 ABC的面积 等于多少 ?1巩固】如图，在 ABC中，延长 AB至D，使 BD AB，延长 BC至E，使 CE 1BC，F 是 AC的中2点，若 ABC

5、 的面积是 2，则 DEF 的面积是多少？、三角形相似模型例 2】 如图，三角形 PDM 的面积是 8平方厘米， 长方形 ABCD 的长是 6厘米，宽是 4厘米， M 是BC 的中点，则三角形 APD 的面积是平方厘米巩固】如图，三角形 ABC的面积为 60 平方厘米， 是 平方厘米D、E、F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积例 3】如图，已知 SABC 14,点D,E,F 分别在 AB, BC,CA上，且 AD 2,BD 5,AF FC，S四边形DBEF SABE 则 SABE 是多少？B巩 固】 如 图， ABCD 为正方形， AM NBDE FC 1cm 且 MN 2cm ，请问四边

6、形 PQRS的面积为多少？、蝴蝶模型D例 4】梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 9cm2 ，问三角形 AOD 的面积是多少？巩 固】 如图，梯形 ABCD 中， AOB 、 COD 的面积分别为 1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面积例 5】 如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形 2 的面积为 36 ，则 三角形 1 的面积为 巩固】 如图，正方形 ABCD 面积为 3平方厘米， M 是 AD边上的中点求图中阴影部分的面积例 6】在下图的正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点，AE与 BD相交于 F 点，三角形

7、 BEF的面积为 1平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米巩固】 右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米 ），阴影部分的面积是 平方厘米AD例 7】CE 是平行四边形 ABCD 的 CD 边上的一点，BD、AE 相交于点 F，已知三角形AFD 的面积是 6，三角形 DEF 的面积是 4，求四边形 BCEF 的面积为多少？D巩 固】 如 图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF 的面积是 5 平方厘米，CED 的面积是10 平方厘米问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？例 8】如图所示，BD、CF 将

8、长方形 ABCD 分成 4块， DEF 的面积是 4平方厘米，CED 的面积是MSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .几何. 五大模型（ B 级） .学生版Page 11 of 136 平方厘米问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？巩固】 如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、 8平方厘米，那例 9】 正方形 ABCD 的边长为 6 ， E 是 BC 的中点（如图） 。四边形 OECD 的面积为DCMSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数 .几何 . 五大模型（ B 级） .学生版Page 14 of 13巩固】 如图，长方形 ABC

9、D 中， AOB是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的长是 9那么四边形 OECD 的面积是 四、燕尾定理【例 10】 如右图，面积为 1的ABC 中，BD: DE :EC 1: 2:1 ，CF :FG :GA 1: 2:1 ，AH :HI :IB 1:2:1 ，求阴影部分面积巩 固】 如 图， ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么 四边形 JKIH 的面积是多少？课堂检测随练 1】 四个面积为 1 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积随练 2】 已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是家庭作业作 业 1】 仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形 ABC 和三角形 BCD 的面积比。作业2】如图，正方形 ABCD 中， E、F、已知正方形 ABCD 边长为 10cm，G 、H 分别为各边的中点， 则图中阴影部分的面积是J为 GD 的中点， EJ交 CD 于I。 _ _ cm2.作业3】 如图，三角形 ABC 的面积是 1， BD DE EC ，CF FG GA，三角形 ABC 被分成 9部分， 请写出这 9 部分的面积各是多少 ?CMSDC 模块化分级讲义体系五年级奥数