中考数学冲刺培优——三角形与四边形综合(解析版)

1、中考数学培优训练三角形与四边形综合1. 如图在RtOABC中，A=90°, AB=AC,点D, E分别在边 AB, AC上，AD=AE,连接DC,点M, P, N分别 为DE,DC, BC的中点.(1)观察猜想图中，线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ；(2)探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图 的位置，连接MN, BD, CE,判断PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=10,请直接写出OPMN面积的最大值.图图第1题图解：（1） PM = PN, PMCCPN;【解法提示】 AB=AC, AD=AE,BD=CE;点M,

2、 P, N分别为DE, DC, BC的中点,PM 1CE 且 PM = 1CE, PN®- BD 且 PN1 BD;2222pm=pn , CDdpm=CDdce, CDcnp=CCb, CCdpn=CDpnc+CDpcn =CDb+CDpcn. OA=90 °, OB+（IACB=90°, OMIPN =CCMPD +CCDPN =CDdce + PCN + B=90 °, PMPN.(2)PMN为等腰直角三角形.理由如下：由题可知：ABC和OADE均为等腰直角三角形AB=AC, AD =AE, CCBAC =CCDAE =90 °, OBA

3、D + DACDAC + CAE, OBADEEAC,OBADOCAE (SAS), CDdABD=CDACE, BD=CE.又点M,P, N分别为DE, DC, BC的中点，PM是CDE的中位线，PM 1 CE 且 PM = 1CE.22同理：PNIbD 且 PN= 1BD.22pm=pn , Oipd=CDecd, CCpnc=CCdbc. CCmpd =CCecd=CDacd+CDace=CDacd+(Iabd , CCdpn=CDpnc+CDpcn=CCdbc+CDpcn, OMPN =CCMPD +CCDPN =d)ACD + ABD + DBC+OPCN =(DABC+ACB=90

4、 °,OPMN为等腰直角三角形；_,一_.-1 c【解法提布】 OPMN为等腰直角三角形，OS®PMN=- PM2,要使PMN的面积最大，即PM最大.第1题解图由（2）得，PM=1CE,即当CE最大时,PM最大.2如解图所示，当点C、E在点A异侧，且在同一直线上时，CE最大，此时CE=AE+AC=14，则PM最大值为7, 故PMN最大面积为Sopmn= X 7X 7=-.222.如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线 BC 运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿射线 BC运动，当点P出发后，过点Q作QEBD,交直线

5、 BD于点 巳连接AP、AE、PE、QE,设运动时间为t (秒).(1)请直接写出动点 P运动过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断AE, PE之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)设EPB的面积为y,求y与t之间的函数关系式；(4)直接写出 EPQ的面积是 EDQ面积的2倍时t的值.解：(1)四边形APQD是平行四边形；理由如下：四边形ABCD是正方形，P、Q速度相同，CD0ABE=CDEBQ=45 o, AD/BQ, AD=BC=2, BP=CQ, BC=AD = PQ,四边形APQD是平行四边形；(2) AE=PE,AEPE;理由如下： QEOBD,OPQE=90

6、6; -45 ° =,45°CD Oabe=CDebq=CD pqe=45 °,BE=QE,在AEB和PEQ中，AB PQABE PQE,BE QEAEBQPEQ (SAS)AE=PE, CDaeb=CDpeq,CDdAEP=CDEBQ=90o, AEOPE;(3)如解图 过点E作EFOBC于点F,第2题解图BC=2, CQ=t, BQ=t+2,EFOBC,且CCEBC=CCEQB=45 °,_1 t 2EF=BF=BQ, CCEF= BQ=22又 OBP=QC=t,- 11 t 2CDy= - EF XBP= - X X,即 y= -12+ t;42(

7、4)分两种情况：当点P在BC的延长线上时，如解图作PMQE于点M,PQ=2, 0BQE=45 o,丁 2-2、2PM=PQ= 一 2 , BE=QE= BQ= (t+2), DE=BE-BD= -y- (t+2)-2、2 = £ t- 2 ,OEPQ的面积是EDQ面积的2倍，X(t+2) 4； 2 =2 X (1- 2 )义(t+2),解得：t=3或t=-2 (舍去),0=3；2当P在BC边上时，解法同，此时DE=j2-t,OEPQ的面积是EDQ面积的2倍,1 X (t+2)42 =2 X1 (、/2 - - t) x2 (t+2), 22222解得：t=1或t=-2 (舍去)t二1

8、 ；综上所述，EPQ的面积是OEDQ面积的2倍时，t的值为1或3.3. 已知：如图，在RtOABC中，AB=4, AC=3,点。为BC的中点，点P从点A出发，沿折线AC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQAB于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,设正方形PQMN与RtOABC重叠部分图形的面积为 S (平方单位)，点P运动的时间为t (秒).(1)当点N落在BC上时，求t的值；(2)当点O在正方形PQMN内部时，求t的取值范围；(3)当点P在折线AC-CO上运动时，求S和t之间的函数关系式；4() M(4)设正方形PQMN对角线的交点为 E,当直线C

9、E平分ABC面积时，直接写出t的值.第3题图解：(1)如解图,当点N落在BC上时, 四边形PQMN是正方形，PNQM, PN=PQ=t, OCPN OCQB.”里CQ QB 'PN=PQ=AP=t, CP=3-t, QB=AB=4,刎 I, 34右12.(Dt=，7(2)如解图，则有 QM=QP=t, MB=4-t,四边形PQMN是正方形, MN/CQ,点O是CB的中点，MNAC,OM是ABC的中位线，QM=BM,t=4-t,0=2;在 RtOABC 中，AB=4, AC=3, CB=5,点。是CB的中点，第3题解图3题解图5 CO=一,25 1 天AC+CO=3+211(Dt=-，2

10、11当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2<t< ；212(3)当0<t<一时，如解图 ,S=S正方形PQMN=PQ2=FA2=t2,7pBmy m第3题解图,4（仍明第3题解图当12<t<3时，如解图, 7八 PG ABtanCB=CP CA PG=4-4t, 3 GN=PN-PG=7t-4,3GN 4,NF 3 NF=3GN=7t-3,442 1S=S正方形 PQMN-SXGNF = t -27(-t-4)3x( 7t-3)425 2t2+7t-6,24第3题解图当3vt1时，如解图2四边形PQMN是正方形， OPQM=CDCAB=90°,

11、PQAC, OBQP OBAC,BP BQ PQD一 一 一BC BA ACBP=8-t, BC=5, BA=4, AC=3,8-t BQ PQ,543c4(8-t) ” 38-1)BQ=,PQ=55c38-t)QM = PQ=-,5_8-t BM = BQ-QM =5 tan BC=FMBMACAB FM=3BM =438-t)201CDS= S 四边形 PQMF =一21s 8-t 3(8-t)38-t) I 9 ,2 18, 72(PQ + FM ) XQM= X 3 X+) X= t - t ;252054055(4)如解图,HQ第3题解图直线CE平分ABC的面积，点E在ABC的A的平

12、分线上，作EH/AB,点HC,AG AC点G是AB的中点，_1AG= AB=2,2由题意得，AP=t,AH = PH = HE=1t, HC=AC-AP+PH=3-t+J t=3-1t,1t二23-1t2312(Dt=.54.已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作菱形ADEF (A、D、E、F按逆时针排列)，使DAF=60 ；连接CF.(1)如图，当点D在边BC上时，求证：BD=CF;AC=CF + CD;(2)如图,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时 ，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说

13、明理由；(3)如图,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时 ，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在 的数量关系.*吁:RC图 图 图(1)证明:第4题图DOB边形AFED为菱形，AF =AD,OABC是等边三角形，AB=AC=BC, CCBAC=60° =DAF ,OBAC-AC =CCDAF - (BAC,即BAD=OCAF,在BAD和CAF中，AB ACBAD CAF,AD AFOBADOCAF (SAS) BD=CF,CF+CD=BD+CD=BC=AC;(2)解：不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是 AC=CF-CD.理由如下：由(1)知：AB=AC=BC,

14、BAC=DAF=60°, OBAC+ DAC=(DDAF +CCDAC,即BAD=OCAF,在BAD和CAF中，AB ACBAD CAF,AD AFOBADOCAF (SAS), BD=CF, CF-CD=BD-CD=BC=AC,即 AC=CF-CD.(3)解：补全图形如解图，AC=CD-CF.E第4题解图【解法提示】OBac=CDdaf=60 ; ODABECAF,在BAD和CAF中，AB ACBAD CAF,AD AFOBADOCAF (SAS), BD=CF, CD-CF=CD-BD=BC=AC, 即 AC=CD-CF.5. 已知,在ABC中,BAC=90 ° , A

15、B=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边在 AD的上边作正方形 ADEF ,连接CF.(1)观察猜想：如图,当点D在线段BC上时,BC与CF的位置关系为：；BC、CD、CF之间的数量关系为：；(2)数学思考：如图当点D在线段CB的延长线上时，以上关系是否成立，请在后面的横线上写出正确 的结论.BC与CF的位置关系为：；BC、CD、CF之间的数量关系为：；(3)如图，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GD,若已知AB=2 22 , CD = -4BC,请求出DG的长(写出求解过程).第5题图解：(1)BCCF;【解法提示】 OBAC=90 ；AB=

16、AC,CD dABC=CDACB=45°,四边形ADEF是正方形，AD=AF,CCDAF=90°,CDOBAC=CDBAD+DAC=90 °, CCdaf =®CAF +CCDAC=90 o, OBADECAF,AB AC 在BAD和CAF中，BAD CAF ,AD AFOBADOCAF (SAS)CD dACF=(DABD=45°, OACF+ACB=90°, OBCF=90°, BCWCF; CF=BC-CD;【解法提示】 由耿口BADOCAF , BD=CF, BD=BC-CD, CF=BC-CD;(2)BCCF;【解

17、法提示】 OBAC=90 , AB=AC,CDdABC=CDACB=45o,四边形ADEF是正方形，AD=AF,CCDAF=90°,CDdBAC=CDBAF+CDFAC=90 °,DAFEBAF+DAB=90 °, OBADECAF,在BAD和CAF中，AB ACBAD CAF ,AD AFOBADOCAF (SAS),CDdACF=CDABD=180o -45 ° =1,35 ° OACB+ FCB=135°, OFCB=90°, BCWCF; CF=CD-BC;【解法提示】 由(2) OWOBADOCAF, BD=CF,

18、BD=CD-BC , CF=CD-BC;由题意得：OBAC=(LRAD=90 , OBADECAF,在BAD和CAF中，AB ACBAD CAFAD AFOBADOCAF (SAS),CD OACF=CDABD=45°,CCFCBACF+ACB=45° +45 ° =90 CFOBC,在 Rt QABC 中，AC=AB=2 2 , BC=4, CD= BC= X 4=144在 Rt QAGC 中，OACF =45 ;CG= <2 AC= 42 x 142 =4,在 RtODCG 中，DG=CCG2 CD2 J42 12 而.6.如图，ABC中，OBAC为钝角

19、，B=45 °,点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP 下方作PCF=(DB.(1)在射线CF上取点E,连接AE交线段BC于点D.如图若AD = DE,请直接写出线段 AB与CE的数量关系和位置关系；如图若AD=五DE,判断线段AB与CE的数量关系和位置关系并说明理由；(2)如图,反向延长射线 CF,交射线BA于点C',将PCF沿CC'方向平移，使顶点C落在点C'处，记平移 后的PCF为P'C'F',将P'C'F'绕点C'顺时针旋转角 a ( 0 °< a< 4

20、5 ) , C'F'交线段BC于点M, C'P'交射线 BP于点N,请直接写出线段 BM, MN与CN之间的数量关系.图图图第6题图解：(1)AB=CE, ABCE.【解法提示】以口解图 过点A作AG/ CE交BC于点G,第6题解图CDCCdag=CDdec, CCdga=CDdce, AD=DE,OADG OEDC (AAS), AG=CE,PCF=45°,OECD=180° -PCF=135 °,CD 0AGD=CDECD=135o,AGB=180° -AGD=45° =®AB=AG,CCBAG=9

21、0°,即 AB=CE 且 ABCE;AB= 2 CE, ABCDCE.理由：过点 E作EG/AB交BP于点G,延长BA、EC交于点H,第6题解图0B=45 : EG/AB,CD CCegd=CDb=45o, OADBEEDG, OABD OEGD,AB AD,EG DEAD= ,2 DE,些在2,EG DEAB= 2 EG,CD CCpcf=CD B=45°,(D OPCF=(D EGD,EG=CE, AB= .2 CE,CDCChcb=CDpcf=45o,CCH=180° -BDOHCB=90o,ABWCE;(2) MN2=BM2+CN2.【解法提示】aBCC&

22、#39;=PCF=45 ° CBC,OBC'C=90°, BC' = C'C,C'CN=135 ：如解图,将CC'N绕点C顺时针旋转90°,得到C'BQ,连接QM,第6题解图则 BQ=CN,BC'Q七NC'C, C'Q = C'N, OMIC'N =CDNC'C+(DMC'C=45 °, 0BC'Q+(DMC'C=45°, 0QC'M=45° =NC'M,C'M=C'M, C'

23、Q = C'P,CDC'QM CDC'NM (SAS),QM=NM,CDC'BQ =135 : CDC'BM =45 °, CDQBM=90°,BQ2+BM2=QM2,即 BM2+CN2=MN27.如图，在 ABC中,AB=AC,点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点D、E移动的速度相同,DE与直线BC相交于点F.当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE,判定四边形CDG E的形状，并 证明你的结论；(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为M,当点D、E在移动的过程中

24、，线段BM、MF、CF有何数量关系？请 直接写出你的结论.解：(1)四边形CDGE是平行四边形.理由：如解图，E移动的速度相同，BD=CE,DGAE,GB=CCACB, ®B=AC, OB=(DACB, BMDDGB, BD=GD=CE,又DGCE,幽边形CDGE是平行四边形；(2)BM + CF = MF 或 BM -CF=MF.【解法提示】如解图 当点D在线段AB上时，由得:BD = GD = CE, ODMBC, BM = GM,四边形CDGE是平行四边形，F = CF,BM + CF = GM +GF=MF ;如解图当点D在线段BA的延长线上时，同理可得四边形 ADGE是平行

25、四边形CF=GF, DGAE,CCdgbEabg, CBd=dg, dmCCbc, BM = MG, MF = MG FG, BM CF = MF.第7题解图8. 已知：RtABC的斜边 AB上点D,E,满足/ DCE=45°.如图当AC=1,BC= J3,且点D与A重合时，求线段BE的长；(2)如图当ABC是等腰直角三角形时，求证:AD2+BE2=DE2；如图当AC=3,BC=4时，设AD=x,BE=y，求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围.E A(D)图图第8题图(1)解:如解图，ACB=90BC= 3,AC=1,AB=2,过B作BFAC交CE的延长线于 F, OF=(Dac

26、e,OBCA=90° ,DCE=45(D OBCE=(D DCE,BCOBCE=(DF, OF=BC= y/3,OBEF OAEC, (DBE BF 3 , AE AC BE=3 J3;(2)证明：如解图过点A作AFAB,使AF=BE,连接DF,CF,在ABC 中,AC=BC, QACB=90° ,aCAB=CCB=45° , 0FAC=45 ° , OCAF OCBE(SAS),CF=CE, 0ACF=aBCE,OACB=90° ,DCE=45° ,(DOACD + OBCE =CDACB - CCDCE =90 ° -

27、45 ° =45° ,CDdACF=CDBCE,ACD + CCACF=45 ° ,即DCF =45 ° , DCgXWCE,又 ®CD = CD, CDF OCDE(SAS), DF=DE,在 RtOADF 中,AD2+AF2=DF2, QAD2+ BE2=DE2；(3)解:如解图作BCEQFCE,等CDCACD,延长DG交EF于H,CDCChfg=CDb, OHgf=CDcgd=CDa, 0A+ OB=90O ,CCDHF=90° ,FG=CF CG=BC AC=1,解F, hf = 4,hg=3, ®h2+hd2=ed

28、2,5 5(y )2+ (x+ 3)2=(5x y)2,6 53=6X(0wxw15).21 5x 7第8题解图9.【操作发现】(1)如图，4ABC为等边三角形，先将三角板中的 60 °角与/ ACB重合，再将三角板绕点 C按顺时针 方向旋转(旋转角大于0°且小于30 °,)旋转后三角板的一直角边与 AB交于点D,在三角板斜边上取一点 F, 使CF=CD,线段 AB上取点E,使/DCE = 30；连接 AF, EF.求/EAF的度数；DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图， ABC为等腰直角三角形，/ ACB=90°,先将三角板的 90&#

29、176;角与/ACB重合，再将三角板 绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45 °,)旋转后三角板的一直角边与 AB交于点D,在三角板 另一直角边上取一点 F,使CF=CD,线段AB上取点E,使/DCE=45；连接AF , EF.请直接写出探究结 果./EAF的度数;线段AE, ED, DB之间的数量关系.第10题图解：(1).一 ABC是等边三角形，. AC=BC, ZCAB = Z B= Z ACB=60 °, . zACB= 60 ； ZFCD = 60 ； .zFCA= / BCD.在FCA与ADCB中，CF=CD/ FCA = / BCDAC =

30、 BC . FCAA DCB , .zCAF= ZB=60 °,，zEAF= /FAC+/CAB=60 °+ 60 = 120 ° .DE与EF相等.理由如下： . zFCD = 60 °, ZDCE =30 °, .zFCE= 30 ； .zDCE= / FCE,在 FCE 与 ADCE 中 CF = CD, /FCE=/DCE, CE=CE, . FCEADCE, EF= ED.(2)/ EAF = 90 ° ed2=ae2+bd2.【解法提示】 ABC是等腰直角三角形， ZACB = 90°, .AC=BC, /BAC

31、=/B=45°, ,/DCF= 90°,CF=CD ./ACF = / BCD,在 ®CFA 和 CDCDB 中， / ACF = / BCD , /.ACFAA CDB ,CB = CA ./CAF = / B=45°, AF=DB, . . / EAF = / BAC +ZCAF = 45°+45 =90O;ae2+db2=de2.理由如下： . Z DCF = 90°, Z DCE =45°, . . / FCE = 90° - 45° = 45°, . . / DCE = Z FCE ,在 CCDCE 和 CCFCE 中，CD = CF/ DCE = Z FCE, CE= CE .DCEQFCE(SAS), . DE = EF ,在 RtAEF 中，AE2 +AF2= EF2,又AF = DB , DE=EF, . . AE2+DB2= DE210.问题背景：已知 Z EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上(不与A, B重合)，DE