中考数学折叠问题专项突破4--折叠中直角三角形存在性问题

1、中考数学折叠问题专项突破4-折叠中直角三角形存在性问题模块四图形折叠中的直角三角形存在性问题【典例1如图例3-1,在氏ZUBC中，ZACB=90 N3=30。，BC=3,点。是8C边上一动点（不与点 B、。重合），过点。作交一43边于点E,将沿直线QE翻折，点3落在射线上的点产 处，当ZU产为直角三角形时，8。的长为AD C F图例3-1图例3-2图例3-3【解析】从题目所给的“当人龙产为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论.通过 观察及分析可知N8EO=NDEF=60。，所以乙LE产 =180 120。=60。.即点E不可能为直角顶点.分两种情况考虑：当NE4F=90。时，

2、如图例3-2所示.N3=30。，BC=3,：.AC = tan3O xBC = -x 3=43 , AB = 2AC=2y/3 , V ZE.1F=9O A Z.1FC=6O, NC1F=3O。 3在 KfZk/C尸中，有：AF = AC 4-cosZCAF=y/3 =2 , BF = 2AF = 42由折叠性质可得：NB=/DFE=30。, BD = DF = -BF = 22当乙疔二90。时，如图例3-3所示.由折卷性质得：/B=/DFE=30, BD = DF = -BF = 22. ZAFC=60 ZE4C=3Q：. CF = tan ZFAC xAC =3后=1,所以，BF=2,3B

3、D = DF = 1BF = l,综上所述，3。的长为2或L 2【小结】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用 勾股定理及相似三角形知识.通过此题，可总结出：遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置：解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再 用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.【典例2如图例4-1,矩形，88中，X3=3, 8c=4,点E是8C边上一点，连接把沿NE折叠，使点8落在点9处.当CE9为直角三角形时,3E的长为图例4-2图例4-3【解析】此题以“当CEB，为直角三角形时“为突破口，分析

4、可能是直角顶点的点，得出存在两种情况, 即点夕及点E分别为直角顶点.分两种情况考虑：当NCEQ=90。时，如图例4-2所示.由折登性质得：，/=”，四边形诳8,是矩形.所以四边形一铝E8是正方形.此时，BE=AB=3.当NC3E=90。时，如图例4-3所示.由折叠性质知，Nz15C=90。，所以乙护。+/。3度=180。.，点乂、B。共线在用ZUBC中，由勾股定理得KG5由折登得：43=43=3所以夕。=2 设 8E=x,则9E=x, EC=4-x在小A8C中，由勾股定理得：ECJBEBC?即：（4-x） 2=+22 解得:x=1.5.综上所述，3E的值为3或15【小结】本题解题关键在准确对问

5、题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折 叠的性质及勾股定理的应用.【典例3如图例5-1,在中，44=90。，AB = AC , 8C = & + 1,点M , N分别是边BC, AB上的动点，沿/WN所在的直线折卷N8,使点8的对应点8始终落在边AC上.若为 直角三角形，则的长为.图例5-1图例5-2图例5-3【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.当NCM8=90。时，如图例5-2所示.由折登知：/BMN=/B，MBF5。,又因为NB=45。，所以NAMM=90。，乙忆丹=90。即N3NA-NMVB=180。，所以从 M 8三点共线，此时5,与

6、点,4重合.所以，BM =-BC = - 22当NCB1W=9O。时，如图例5-3所示.由折登知N8=N8=45。，因为NC=45。，可得NBA/C=45。，所以是等腰直角三角形iBM=BfM=x, B，C=x,则 MC=及 x因为BC=yfl+l,所以x+尤尸&+1解得：尸1,即如1.综上所述，8M的值为二一或1. 2【小结】根据题意判断。点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形三边关系求解.【典例4】如图例6-1,在NM：LV=90。，点C在边，M上，乂。=4,点3为边4V上一动点，连接8C, 与.(?关于3c所在直线对称.。、E分别为HC、BC的中点，连接DE并延长交,4方

7、所在直线于点 尸，连接HE当&4名尸为直角三角形时，乂3的长为.图例6-1图例6-2图例6-3【解析】分两种情况讨论.当N，FE=90。时，如图例6-2所示.:D、E分别为AC、8c的中点，。石是三角形,北。的中位线，即。EA4，NzTA4=90。，四边形ABAfC为矩形由折登得，4C=,4C,.四边形,43,4C为正方形，HP AB=AC=4. 当N4E产 =90。时，如图例6-3所示.:乙fEF=/CDE=9。, ：.AfE/CD, ：. ZDCE=ZCEA,由折趣知：NDCE=S, ：./CE=/A，CE, AJ,C=J;E=4又YE是3C中点，即IE是少。的中线，3C=ZrE=8在dB

8、C中，由勾股定理得，48=4的由折慢性质得：少=4百.综上所述，的长为4或46.【小结】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.1、矩形.48中，43=3, BC=4,点、E是BC边上一点、,连接4E,把N3沿，E折叠，使点8落在点夕处，当CEB，为直角三角形时，8E的长为图1图2【分析】当9为直角三角形时，有两种情况：当点夕落在矩形内部时，如图1所示.连结乂C先利用勾股定理计算出，4C=5,根据折叠的性质得/ AB，E=NB=900,而当ACE9为直角三角形时，只能得到NEBC=90。，所以点,4、B C共线，即N3沿 .小折叠，使点8落在对角线上的点夕处，

9、则初=9,48=49=3,可计算出C9=2,设BE=x,则 EB=Xt CE=4-x,然后在RACE夕中运用勾股定理可计算出x.当点夕落在.10边上时，如图2.此时 ABEB为正方形.【解析】当CE9为直角三角形时，有两种情况：当点9落在矩形内部时，如图1所示.连结.4C在 RtZXXB。中，,45=3, BC=4, ；4C=+32 =5,N3沿.4E折卷，使点3落在点夕处，.44BE=N3=90。，当CE9为直角三角形时，只能得到NEBC=90。，.点X、9、C共线，即NB沿折叠，使点8落在对角线,4。上的点夕处，：.EB=EB AB=AB=3f ACB =5-3=2,设 8E=x,则=x,

10、 C=4-xt33在 RtaCEQ中，:EBACBJS,，+22= (4-x) 2,解得 户二，?.5=-；223当点9落在边上时，如图2所示.此时，5E3为正方形一班=铝=3.综上8E长为二或3 2【小结】本题考查了折卷问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等：对应角相等.也考查了矩形的 性质以及勾股定理.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.2、如图，矩形纸片H3CD .43=4, BC=3,点P在BC边上,将CD尸沿。尸折卷，点C落在点E处，PE、OE分别交，始于点0、F, K 0P=0F,则二一的值为DF111313B.151517D.1719【分析】根据折叠的性质可得出CP=E

11、P,由NEOF=NBOP、/B=/E、OP=O尸可得出尸9XOBP (JJS),根据全等三角形的性质可得出OE=O5、EF=BP,设瓦,贝ij8P=x、DF=4 - x.BF=PC=3 - x,进而可得出JF=l+x.在母ZUF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得出答案.【解析】根据折叠，可知：ADCP/DEP, ：.DC=DE=4, CP=EP.ZEOF = NBOP在aOE产和AOB尸中，V ZB = ZE = 90 , :.OEF岭AOBP (AAS) , ：.OE=OB, EF=BP. OP = OF设石产=x,贝lj3P=x, DF=DE - EF=4 - x.又：BF=OB+OF=

12、OE+OP=PE=PC, PC=BC BP=3 x, ：.AF=AB - BF=l+x.在 RtZYEU 尸中，乂尸十步=。产即(1+x) 2+32= (4-x) 2,解得：尸0.6, ：.DF=4 - x=3.4,，【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合,4F=l+x,求出心的长度是解题的关键.3、如图，已知正方形H3CQ的边长为3, E是BC上一点,BE=B。是CQ上一动点，将CE。沿直线E0折叠后，点C落在点尸处，连接EL点。从点。出发，沿线段CD向点。运动，当用的长度最 小时，C0的长为（）LL3A. 35/1一3 B. 3-/3C. -D

13、. 3【解析】如图所示：在 RtABE 中，止 + BE=盾= 2出:BC=3, BE=6，EC=3-6由翻折的性质可知：PE=CE=3-栏.: AP+P0E, ：.A0E-PE.，当点，4、尸、E一条直线上时，.季有最小值.:.AP=AE-PE=2拒（3-拒）=3拒-3.故选工4、如图，矩形A3C0中，AB = 3, BC = 4，点、E是BC边上一点、,连接AE，把矩形沿AE折叠，使 点6落在点8处.当zXCEB为直角三角形时，8E的长为.【分析】当CE9为直角三角形时，有两种情况：当点夕落在矩形内部时，如答图1所示.连结XC先利用勾股定理计算出工C=10,根据折卷的性质得乙0E=NB=9

14、O。，而当CEB为直角三角 形时，只能得到NE9G90。，所以点,4、B C共线，即沿，E折卷，使点8落在对角线3C上的点 8处，则,43=,0=6,可计算出C8=4,设BE=x,则E3=x, C=8-x,然后在及心。砂中运用 勾股定理可计算出x.当点9落在,10边上时，如答图2所示.此时四边形.43E9为正方形.【解析】由题意知，需分两种情况讨论：当 NC8E = 90 时，如图 1，由折叠得，ZABE = ZB = 90 AB = AB,.Z48C = 180,，九夕,。三点共线.在矩形A8C。中，AB = 3, BC = 4, .AC=5. VAB* = AB = 3, ：.BfC =

15、AC-ABf = 2.设 BE = x, CE = BC-BE = 4-x, B，E = x,3在RtMCE中，BfE2 + BfC2 = CE2 即V+2?=一工/，解得不二弓.当N8EC = 90时，如图2,由折登可知AA3E/AABE，: BE = BE, N8 = ZABE = 90，3，四边形A8E3是正方形，3E = A3 = 3.综上，当CEB为直角三角形时，跖的长为二或3 2【小结】考查了折叠问题：折卷前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等,也考查了矩形的性质 以及勾股定理.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.5、如图，在矩形,28中，,43=6, XO=2jI,

16、E是，4边上一点，zl=2,尸是直线CQ上一动点，将产沿直线”折叠，点工的对应点为点工，当点，。三点在一条直线上时，QF的长为.H”【分析】利用勾股定理求出CE,再证明CF=CE即可解决问题.（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，NFE.4=/FEA.,-CD/AB. ；/CFE=/AEF,:/CFE=/CEF, :.CE=CF,在 RtABCE 中，EC= JbC? + EB? = 2厨 +4? = 24，：.CF=CE=2yfl . :AB=CD=6, :.DF=CD CF=6 2 币,当点尸在。C的延长线上时，易知C尸=C尸=2, ：.DF=CDCF=6+21【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明庄的等腰三角 形，属于中考常考题型.6、如图，在菱形48 中，/ZU3=45。，43=4,点尸为线段43上一动点，过点尸作尸EL43交直线dD于点将NX沿尸E折叠，点/落在尸处，连接。尸，。尸，当CQ尸为直角三角形时，线段乂尸的长为. P F 8图1图2【分析】分两种情形讨论：如图1，当时，口）尸是直角三角形：如图2,当CFU3 时，DC产是直角三角形，分别求出即可.【解析】分两种情况讨论：如图1，当QFL时，8尸是