SARS流行病模型及其对未来走势的预测

1、SAR瑜行病模型及其对未来走势的预测摘要SAR舆21世纪第一个在世界范围内传播的疾病，它的爆发和蔓延给我国的 经济发展和人民生活带来了巨大影响，因此定量地研究传染病的传播规律具有十 分重要的意义。本文在一系列合理假设的基础上，通过对问题的详细分析，首先对于附件（1） 中的模型给予客观公正的评价。该模型简单明了，具有一定的合理性和实用性， 但是又存在很多的缺陷，具有一定的片面性，对影响SARSg情传播的因素考虑的不够全面。在此基础上，我们提出了 SIR模型，该模型将某一地区的人们看作 一个动力系统，再将其划分为易感染者、 患病者和移出者，通过建立微分方程组 来加以解决。在此模型中，我们考虑了个体

2、的免疫率、死亡率以及被感染者的康 复率等因素。为了验证模型、算法的正确性和有效性，通过计算机模拟，对北京、 内蒙古、广东、河北、山西各地的SARS疫情进行拟和，并给出了我们的预测数 据，结果表明我们的模型与实际情况相当的吻合。另外，我们还分别针对得病后入院时间以及隔离强度的不同，对SARS5情传播所造成的影响做出估计，其结果表明：SARSW人1.5天后入院与2天后入院相比，SARSS病总人数可能会减少1500人，SARSS情得到控制的时间可能会 提前1个月；而得病1.5天后入院与2.5天后入院相比，SARSS病总人数可能 会减少2400人，SARSS情得至IJ控制的时间可能会提前1个半月；隔离

3、措施强度 60%与50%相比，SARS发病总人数可能会减少700人，SARS疫情得到控制的 时间可能会提前半个月；隔离措施强度60%与隔离措施强度40%相比，SARS发 病总人数可能会减少1100人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月。一、问题的重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome ,严重急性呼吸道综合症，俗 称：非典型性肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。 SARS勺爆发 和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响， 我们从中得到了许多重要 的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延 创造条件的重

4、要性。请对 SARS的传播建立数学模型，具体要求如下：(1)对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。(2)建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型， 这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。(3)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。二、已有模型的分析对于附件1中的模型，我们可以很直观地看出，此模型简单明了，没有涉及 到太多的变量和参数，读者很容易理解。模型不但包括了每个病人可以传染

5、他人 的期限L,而且还考虑了不同阶段、不同环境下传染概率的变化，并对香港和广 东的疫情进行计算和分析，其结果论证了该模型具有一定的合理性。 为了便于分 析，其假定参数L为20天，此时该模型能较准确地反映出香港疫情的变化趋势。 用此模型对广东疫情进行测算时也较准确地反映了疫情上升期间的趋势，但在随后的下降过程中反映的数据却与实际情况有一定出入，这可能与后期广东对SARS 疫情的预防或控制状况有一定的关系，需要更进一步的分析。经过对广东及香港两地的疫情的计算和分析，他们又利用该模型来计算和预 测北京地区的病例情况，发现其预测结果与实际情况大致相同， 且基本上能够反 映疫情的走势。从文中的实际数据和

6、模拟结果的对比情况来看，该模型比较合理地反映了上述三处的SARSE情，并对后期的实际操作及预防起到了一定的作用。 但是我们看到，该模型还是存在着某些不足。比如期限L被固定在20天，这就有了一定的局限性，因为随着社会的重视程度及医疗水平的不断提高，还有其它诸多因素的影响，期限L将会缩短，而不是一个恒定不变的值；另外该模型考虑 的影响SAR琬行病的因素较少，从而导致其未能反映出一些必要的数据，比如 病人的康复数及康复率等等。因此在此基础上，经过合理的假设和必要的分析， 我们提出了如下的SIR模型：三、SIR模型的建立及求解大多数流行病如天花、肝炎、麻疹等治愈后有很强的免疫力，它们已退出传染系统。严

7、重的急性呼吸道综合症一一SARS就是21世纪出现的第一个既严重 且又易于传播的疾病。但是它又不同于其他传染病，它引起了社会的极大恐慌， 并造成社会运作方式发生相应的变化，因此其本质已经超出了一般传染病的发展 规律。但在政府、各单位以及每个公民的共同努力下， 如传染者与其他人接触率 的减少、改进医院的控制措施、患者接触的检疫以及公众自动减少的接触等有效 措施的实行，必然使非典疫情的发展满足更一般意义的规律。因此，我们结合 SARS流行病的特点，建立SARS流行病动力学的SIR模型2。我们将人群分为易感染者(Susceptible )、患病者(Infectious )、移出者 (Removed o

8、所谓易感染者是那些健康且与病人接触过就容易感染疾病的人，他们中的一部分可能转化为患病者；患病者是那些能够将疾病传染给易感染者的 人，在一定期限内(感染阶段)，他们仍属于患病者；移出者则包括已治愈的患 病者和死亡者3,我们可以通过图1来表示他们之间的转化关系：Susceptible Infectious Removed图1.SIR模型中各群体间的相互转换各类t时刻的人数分别用St、I t、Rt表示，且t时刻因病死亡人数也属于移出者一类。若用 t表示t时刻人口总规模，则有：假设每个个体都具有因感染 SARSm死去的相同的死亡率；单位时间内每个患者传染的人数为kIS （非线性传染率），其中k为大于0

9、的常数；一个易受感 染者在与病人进行有效接触后立即被感染且被感染后的康复率；患者病愈后具有一定的免疫能力，其免疫率为ho我们再假设只考虑因SARSFE亡、康复的人，而不考虑人的自然出生与自然 死亡人数（因数据不全，且影响小），则S t E t R t N （常数）由此我们得出带有免疫率的SAR航行病的数学模型为:dS dt dl dt dR dtN t(klS)ISrR(klS)I ( h)IhI ()RSt I t RtB(N)(D其中B N为出生率，它是总人口数 N的函数，初值S0 =S0>0, I 0 I0>0,R0 0, t 0,T , T为流行病的流行时间。若假定出生率等

10、于死亡率，即N S I R保持不变，记为N。，则B N N。，从（1）式中消去S可得:dIdtkI2(N° I R) ( h)I(2)R相对于附件（1）中的模型，我们的模型较全面地考虑了影响 SARS的因素， 包括复发率、感染率、免疫率等。为了进一步验证模型的合理性和有效性，我们 根据世界卫生组织、中国卫生部以及香港卫生署等公布的疫情数据 （包括确诊数、 死亡数和出院人数），通过计算机，利用 MatLab语言5（程序详见附录一），对 北京、内蒙古、广东、河北、山西各地的 SARS疫情进行拟和，并给出了我们的 预测数据（详见附录二、三）。拟和结果表明我们的模型与实际情况相当的吻合， 以

11、下是各地区的疫情变化曲线图：4月20日至7月1日北京SARS累计感染人数曲线图4月20日至7月1日内蒙古SARS累计出院人数曲线图4 月 a5日至7月14日r北亨计出院人会4月25日至7月14日广东SARS累计出院人数曲线图4月25日至7月14日广东SARS累计感染人数曲线图4月21日至7月1日河北SARS累计确诊人数曲线图4月21日至7月1日山西SARS累计死亡人数曲线图为了建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，我们收集了 SARS发病较严重的部分地区的资料，其难点是：(1)数据收集 相当困难，而且我们根本无法保证其可靠性；(2)为了使模型的参数尽量符合实际，我们从

12、多方面加以考虑，但其困难在于程序的调试比较麻烦，而且我们无法保证模拟时数据的选择是否合理。四、评价与分析政府的措施我们选择得病后入院时间变化的模拟分析和隔离措施强度两个参数疫情传 播所造成的影响做出估计。1、得病后入院时间变化的模拟分析在SIE模型其他参数不变的情况下，我们针对得病后入院时间的不同，在得 病后入院时间为1.5天、2.0天与2.5天情况下，对模型进行模拟，得到三种不同 的曲线，图形如下：得病后入院时间不同的SARSS病总人数曲线图对上述的三条曲线进行分析，可获得：SAR9W人1.5天后入院与2天后入 院相比，SARSS病总人数可能会减少1500人，SARSS情得到控制的时间可能会

13、 提前1个月；而SARSW人1.5天后入院与2.5天后入院相比，SARSS病总人数 可能会减少2400人，SARSS情得到控制的时间可能会提前1个半月。2、隔离强度不同的模拟分析在SIE模型其他参数不变的情况下，我们针对隔离强度的不同，对隔离强度 分别为40%、50%、和60%的情况进行模拟，得到三种不同的曲线，如下图所示：隔离措施强度不同SARS发病总人数的变化曲线对以上三条曲线进行分析，可获得：隔离措施强度60%与隔离措施强度50% 相比，SARS发病总人数可能会减少700人，SARS疫情得到控制的时间可能会 提前半个月；隔离措施强度60%与隔离措施强度40%相比，SARS发病总人数可 能

14、会减少1100人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月。五、模型分析与评价我们在建立模型时没有将病例加以细分，因为根据实际情况，病例可分为显 性病例和隐性病例（即潜伏患者），我们只是将其视为患病者。表面上看我们似 乎考虑的不够全面，而实际上我们是根据易感染者的感染比率来确定患病人数 的，这就说明对于任何的显性患者或是隐性患者， 其感染率是通过易感染者的自 身免疫力来确定的，跟患者数目没有直接关系。根据全国非典科技攻关组公布的 七大科研进展可知，已出院的非典患者都不具有传染性， 密切接触者无隐性感染 可能，潜伏期患者传染可能性很小，而 SARS则是一种潜伏期较短的传染病。当然，我们不否认所

15、建立的模型并不是十分完美的，因为还有很多因素都可 能对预测结果造成影响，诸如 SARS潜伏期天数，患者被发现前的时间长短， 住 院后治愈时间的长短，隔离措施的强度，还有个人每天接触的人数等等。另外， 我们并不能保证避免地区外的病例输入，而这一因素对预测结果也有很大的影 响。若有可能，可以通过建立系统动力学模型对其进行预测。六、建立传染病数学模型，势在必行“山雨欲来风满楼”，中国古代传说中就有能够根据某些迹象预测灾难发生 的圣贤之辈，但现实中我们不能再用迷信的方法来欺骗自己，尤其是在划时代的 今天，我们要用科学的理论来预防任何灾难的发生。如今，SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它

16、的爆发和蔓 延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，如果SARS能够被预测的话，中国就不会陷入动荡不安的社会状况， 就不会有数百个生灵离开人问，就不会有那么多不幸的事情发生所以，痛定思痛之后，我们有必要建立数学模型来解决这些难题。建立传染病数学模型的优点在于它具有科学的理论依据，根据已有的相关信 息定量地研究传染病的传播规律，用抽象的数学方法能够计算出不同条件下的各 种可能性结果，进而采取有效措施来预防灾害的发生。然而，传染病数学模型的建立并不是一件轻松容易的事情，它需要对疫情传播所造成的影响做出估计，需要研究人员具备严谨的数学理念， 通过计算机编程来预

17、测和控制传染病蔓延，并对各种结果进行误差分析，使传染病产生的危害降到最低限度。我们有信心，有能力建立一个最佳的传染病数学模型来解决我们身边的任何 一类疾病传播问题。虽然我们的认识是有限的，但我们的不断创新能力是无限的， 我们渴望幸福生活的拼搏精神是永远不会磨灭的。参考文献：1R.M.Anderson and R.M.May, Population biology of infectious: Part I, Nature 280, 361-367(1797)2吴子牛、杨清红等自控制起效后非典滞留患者数目变化规律的预测2002年5月233 /issue4/

18、fertures/disease4黄运新一种非线形传染病模型的定性分析数理医药学杂志1999年第12卷第一期第7页 1999年出版5薛定宇、陈阳泉基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用北京清华大学出版社2004、46阻止SARS疫病在农村传播的建议，中国科学院研究生院管理学院“SARS”管理与控制研究小组研究简报第 3期附录一：Matlab程序"fd"."dydq","dydq2"为自编的matlab识别的m文件，依照这三个 m文件内的说 明文件输入数据，然后在 matlab工作区间运行“ dydq2"即可。

19、下面为这三个 m 文件：“fd ” : function output1,output2,output3=fd(t,x,flag,theta)if nargin<4|isempty(theta),%theta=1 1 0.1 1 1 1,theta=1 1 0.1 1 1, endif strcmp(flag,'')%output1=-theta(1)*x(1)*x(3);.%theta(1)*x(1)*x(3)-theta(2)*x(2);.%theta(2)*x(2)-theta(3)*x(3)-theta(4)*x(3);.%theta(3)*x(3);.%thet

20、a(4)*x(3);output1=theta(1)*(x(1)A2*(N0-x(1)-x(2)-(theta(3)+theta(4)*x(1);.theta(2)*x(1)-(theta(3)+theta(2)*x(2);.0;0;%output1=-theta(1)*x(1)*x(3);.%theta(2)*(theta(1)*x(1)*x(3)-x(2)*(theta(3)-theta(4)*x(2)/(theta(3)- 2*theta(4)*x(2);.%x(2)*(theta(3)-theta(4)*x(2)-theta(5)*x(3);.%theta(5)*x(3);elseif

21、 strcmp(flag,'init'),output1=0,59;output2=6999900 7000000-23-6999900 23 0;output3=odeset; end%/(1+theta(2)*7000000+sqrt(1+2*theta(2)*7000000)“dydq” function E=dydq(theta)format long;x=;%输入数据长度B= ；%对应地区死亡人数C= ;%对应地区出院人数A= ;%对应地区累计个案y=A-B-C;s0=theta(4);n0=theta(5);t,s=ode45('fd',0:93,s

22、0 n0 23 0,theta);%fun=inline('s(:,3)','theta',);%quad8(fun,0,73)%fun = inline(",'theta','x');%theta = lsqcurvefit(fun,1 1 1 , x, y)E=sum(y-s(:,3)A2+(B+C-s(:,4)A2)%+(C-s(:,5)A2)%(y-s(:,3).A2%(B-s(:,4).A2+(C-s(:,5).A2+(A-s(:,3)%plot(t,s(:,3),t,y,'o')%figure

23、%plot(t,s(:,1),t,s(:,2),t,s(:,3),t,s(:,4),t,s(:,5)%X,FVAL,EDITFLAG=fminsearch('HK',0.0000063 0.01 0.01 0.01)dydq2” X,FVAL,EDITFLAG=fminsearch('dydq',0.0002 0.2 0.05 1800 180);options=odeset('reltol',10A(-14),abstol,10A(-15);theta=XIMIN=FV ALy=zeros();%输入对应地区数据长度B= ；%对应地区死亡人数C

24、= ;%对应地区出院人数A= ;%对应地区累计个案y=A-B-C;%mm=max(s(:,3)t,s=ode45('fd',0:100,theta(4) theta(5) 23 0,options,theta);a=theta(1)*(theta(4)+theta(5)+23)a1=1/theta(2)a2=1/theta(3)a3=a*a2%for i=1:80%ss(i)=s(i,3)/mm;%end%ss;%T=0:79;%plot(T,ss)%figureplot(t,s(:,3)hold onT=0:93;plot(T,y,o,)xlabel('时间'

25、);ylabel(,染病人数');title('对应地区：对应时间,);%输入对应数据figureplot(t,s(:,4)hold onT=0:93;plot(T,B+C,'o')xlabel('时间');10ylabel('移除人数');t田e('对应地区：对应时间');%输入对应数据figure%plot(t,s(:,5)%hold on%T=0:93;%plot(T,C,'o')%xlabel('时间');%ylabel('出院人数');%title('

26、;对应地区：对应时间');%输入对应数据%figureplot(t,(s(:,3)+s(:,4)%+s(:,5)hold onT=0:93;plot(T,(y+B+C),'o')xlabel('时间');ylabel('累计人数');title('对应地区：对应时间');%输入对应数据figureplot(t,s(:,1)xlabel('时间');ylabel('易感人数');title('对应地区：对应时间');%输入对应数据figureplot(t,s(:,2)xlabe

27、l('时间');ylabel('潜伏人数);title('对应地区：对应时间');%输入对应数据%figure%plot(t/93,s(:,3)/(theta(4)+theta(5)+23)%hold on%plot(t/93,s(:,4)/(theta(4)+theta(5)+23)%hold on%plot(t/93,s(:,1)/(theta(4)+theta(5)+23)%hold on%plot(t/93,s(:,2)/(theta(4)+theta(5)+23)%legend('实际染病人数');%text(65,s(65,3

28、),'leftarrow 拟合人数为 s(65,3)');%text(65,s(65,3),'leftarrow 实际人数 309');附录二:11北京地区SARS疫情表日期已确诊病例累计现有疑似病例死亡累计治愈出院累计预测结果（累计病例）4月20日33940218332874月21日48261025434114月22日58866628465334月23日69378235556454月24日77486339647504月25日87795442738524月26日988109348769614月27日11141255567810894月28日11991275597

29、811774月29日13471358668313224月30日14401408759014215月01日155314158210015265月02日163614689110916115月03日174114939611517225月04日1803153710011817765月05日1897151010312118765月06日1960152310713419345月07日2049151411014120225月08日2136148611215221115月09日2177142511416821545月10日2227139711617522055月11日2265141112018622515月1

30、2日2304137812920822905月13日2347133813424423335月14日2370130813925223595月15日2388131714025723785月16日2405126514127323965月17日2420125014530724115月18日243412501473322423125月19日2437124915034924305月20日2444122515439524385月21日2444122115644724395月22日2456120515852824515月23日2465117916058224635月24日2490113416366724805月

31、25日2499110516770424925月26日2504106916874724995月27日2512100517282825075月28日251494117586625105月29日251780317692825155月30日2520760177100625175月31日2521747181108725196月01日2522739181112425216月02日2522734181115725236月03日2522724181118925236月04日2522718181126325256月05日2522716181132125256月06日2522713183140325286月07日

32、2523668183144625286月08日2522550184154325286月09日2522451184165325306月10日2522351186174725306月11日2523257186182125306月12日2523155187187625306月13日252271187194425316月14日25224189199425316月15日25223189201525326月16日25213190205325326月17日25215190212025326月18日25214191215425326月19日2521319121712532136月20日252131912189

33、25326月21日25212191223125326月22日25212191225725326月23日252121912277253214附录三广东省非典疫情累计表5.23 1513571428 1495日期确诊死亡出院（预测）7.1 1512 58 1451 1495日期确诊死亡出院（预测）6.30 1512 58 1451 14955.22 1513571423 14966.29 1512 58 1451 14955.21 1513561419 14966.28 1512 58 1450 14955.20 1514561415 14946.27 1512 58 1450 14955.19

34、1514561388 14956.26 1512 58 1450 14955.18 1514561363 14956.25 1512 58 1450 14955.17 1514561355 14946.24 1511 58 1450 14955.16 1515561353 14936.23 1511 58 1450 14955.15 1513561342 14936.22 1511 58 1450 14945.14 1510561327 14926.21 1511 58 1450 14945.13 1509561322 14896.20 1511 58 1450 14945.12 150956

35、1319 14876.19 1511 58 1450 14945.11 1506561314 14866.18 1511 58 1450 14945.10 1504561305 14836.17 1511 58 1450 14945.9 1502561288 14746.16 1511 58 1450 14945.8 1485561273 14656.15 1511 58 1450 14945.7 1478551256 14586.14 1511 58 1450 14945.6 1465551251 14446.13 1511 58 1450 14945.5 1453541245 14326.

36、12 1511 58 1450 14945.4 1441511237 14266.11 1511 58 1450 14945.3 1432511233 14176.10 1511 58 1449 14945.2 1421511208 14086.9 1511 58 1449 14945.1 1412511206 13996.8 1511 57 1449 14944.30 1405511201 13916.7 1511 57 1447 14944.29 1399511201 13826.6 1511 57 1447 14944.28 1395511191 13746.5 1511 57 1447

37、 14944.27 1382511185 13636.4 1511 57 1447 14944.26 1379511178 13556.3 1511 57 1445 14946.2 1511 57 1445 14946.1 1511 57 1442 14945.31 1511 57 1441 14945.30 1511 57 1439 14945.29 1511 57 1438 14945.28 1511 57 1436 14945.27 1512 57 1434 14945.26 1513 57 1433 14945.25 1513 57 1432 14945.24 1513 57 1429

38、 14954.25 1374501173 135115内蒙古非典疫情累计表日期 确诊 死亡 出院日期 确诊 死亡 出院7.1282282545.22285 25 616.30282282545.21285 25 586.29282282545.20287 25 566.28282282545.19286 25 526.27282282545.18289 25 416.26282282545.17290 25 406.25282282545.16288 24 366.24282282525.15288 24 236.23282282525.14288 23 236.22282282525.132

39、88 23 236.21282282525.12288 20 216.20282282525.11288 18 206.19282282525.10289 17 1869284 17 1668266 16 136.16282282525.7258 16 1366251 14 1065230 14 1064225 14 66.12282282455.3190 14 66.11283292445.2180 13 56.10283292315.1154 11 26.928

40、3292244.30127 9 26.8283292164.29120 8 06.7284292074.28114 7 06.6284291964.2776 6 06.5284291904.2674 6 06.4284291804.2570 6 06.3284291716.2284291666.1284281655.31284281565.30284281415.29284281315.28285281275.27285281105.2628628975.2528627805.2428626755.23286256716河北省非典疫情累计表日期确诊死亡出院（预测）日期确诊死亡出院（预测）7.1

41、215122032645.2222711972206.30215122032625.2122111882166.29215122032625.2021711792156.28215122032615.1921411632116.27215122032615.1821010572076.26215122032605.1720210432026.25215122032605.1620210352016.24215122032595.152009322006.23215122032585.141948271986.22215122032585.131918221946.21215122032575.121778211926.20215122032565.111668131876.19215122032555.101578111816.18215122032545.91568111766.17215122032545.8147691636.16215122022545.7134651496.15215122022535.6113631346.14215122022535.5107611236.13215122022535.498601126.12215122022515.37940946.11215122002495.27040786.