leslie人口模型及例题详解

1、(2)Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的 发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划， 因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。模型假设(1)将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1 ,因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为 S岁，将其等间隔划分成 m个年龄段，不妨假设 S为m的整数 倍，每隔S/m年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化；(2)记ni为第i个年龄组t次观察的女性总人数，记n(t)

2、 ni(t),n2(t), nm(t)第i年龄组女性生育率为 bi (注：所谓女性生育率指生女率)，女性死亡率为di ,记S 1 di,假设bi,di不随时间变化(3)不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响(4)生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。建立模型与求解根据以上假设，可得到方程mn1(t 1)=bEi(t)i 1ni 1 (t 1)sini(t) i 1,2 .，m-1写成矩阵形式为n(t1)Ln(t)bl b2bm 1 bm&000其中，L= 0 s2 0000sm 10(1)记n(0) n1(0),n2(0),nm(0)假设n (0)和矩阵L

3、已经由统计资料给出，则n(t) Ltn(0), t0,1,2,|为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) si 0, i =1, 2,，ml;(ii) bi 0, i=1, 2,，m且b不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件( i )、( ii )下，下面的结 果是成立的：定理1L矩阵有唯一的单重的正的特征根0,且对应的一个特征向量为2m 1 Tn =1 ) s1/ 0, s1s2/ 0)s1S2 sm1/ 0 (3)定理2若1是矩阵L的任意一个特征根，则必有 | 1。定理3若L第一行中至少有两个顺次的灯，bi 1 。，则(i )若1是矩阵

4、L的任意一个特征根，则必有|10。(ii ) Jim n(t)/ 0 =cn* ,(4)其中c是与n (0)有关的常数。定理1至定理3的证明这里省去。由定理 3的结论知道，当t充分大时，有n(t) c 0n*定理4记i b&s2 1Hsi 1, q ( ) = 1 / +2/+ m/，则是L的非零特征根的充分必要条件为q ( ) =1(6)所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按-1的比例增长。由(5)式可得到如下结论：(i) 当1时，人口数最终是递增的；(ii) 当 1时，人口递增；当R/ p130.1448(1,)s0s；

5、1/6, 14 0.1448(1,)s0 ,(s)11(s)212(14 i 61)q( p)11314 J”61111,710.1448s0 s111/6 s2(1s28)/(1 s,2)当p 1.01,每年的避孕率为每年迁出110头；当p 1.02,每年的避孕率为 每年迁出220头；当p 1.025,每年的避孕率为 %迁出275头。1-1/*仰1*(1/6+ ans =1-sqrt ans =p=；1-pA12./*A11*(1/6+./p-./p),A49)/,/p)ans =1-sqrt ans =p=；1-p.A12./*A11*(1/6+./p-./p)A49)/p)ans =15

6、1-sqrt ans =P=；1-p.A12./*A11*(1/6+./p-./p)A49)/p) ans =1-sqrt ans =进一步分析可以知道，对于s00.75, G s 0.98,如果增长率为p(1 p 1.0322，即每年移 11000(p-1),令工s0 / p, s1G/p,与颔/p% 0.1448(1篇0宫/6, J 0.1448(1)务(s)11(s)212(14 i 61)0.1448s0s；11/6 s2(1 s28)/(1 s2)每年需要避孕的母象为 5500 ，每年需要迁移的大象数为11000( p 1)。从相关的文献中我们大致可以得到，设平均每迁移一头大象的成本

7、约避孕一头大象费用的倍，由此得到增长率为p时的总费用函数为c(p) k(5500* 11000* t*( p 1)记y(p) 2t(1 p)易见，p 1,y 0.3868, p 1.01, y 0.346, p 1.02, y 0.396clear;p=1:;q=1-p.A12./*A11*(1/6+./p-./p)A49)././p)q =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 15Columns 16 through 17a=1-sqrt(1-q)a =Columns 1 through 5Columns 6 through 10Columns 11 through 1516Columns